1、第一章第一章 材料科学研究中的材料科学研究中的数学模型数学模型1.1 材料科学研究中数学模型的建立材料科学研究中数学模型的建立o 计算材料学计算材料学(Computational Materials Science)，正是这些数学手段使使材料研究，正是这些数学手段使使材料研究脱离了原来的脱离了原来的试错法试错法(Trial or Error)研究，研究，真正成为一门科学。通过建立适当的数学模真正成为一门科学。通过建立适当的数学模型来对实际问题进行研究，已成为材料科学型来对实际问题进行研究，已成为材料科学研究和应用的重要手段之一。研究和应用的重要手段之一。1.1.1 数学模型基础数学模型基础o
2、广义广义：凡是以相应的客观原型（即实体）作为背景加以：凡是以相应的客观原型（即实体）作为背景加以一级抽象或多级抽象一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论的数学概念、数学式子、数学理论等等都叫做数学模型。等等都叫做数学模型。o 狭义狭义：利用数学语言对特定问题或特定事务系统的特征：利用数学语言对特定问题或特定事务系统的特征和数量关系建立起来的符号系统。和数量关系建立起来的符号系统。o 数学模型刻画客观事物的本质属性与内在联系，是数学模型刻画客观事物的本质属性与内在联系，是对现对现实世界的抽象、简化而又本质的描述实世界的抽象、简化而又本质的描述。它源于实践，却。它源于实践，却不是原型的简
3、单复制，而是一种更高层次的抽象。不是原型的简单复制，而是一种更高层次的抽象。o 按照按照对实体的认识过程对实体的认识过程分：描述性数学模型、解释性数学模分：描述性数学模型、解释性数学模型；型；o 按照按照建立模型的数学方法建立模型的数学方法分：初等模型、图论模型、微分方分：初等模型、图论模型、微分方程模型、随机模型等；程模型、随机模型等；l 初等模型初等模型：采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。：采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。l 微分方程模型微分方程模型：在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间，：在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间，然后找出有关变量和未知变量的微分（或差分
4、）之间的关系然后找出有关变量和未知变量的微分（或差分）之间的关系式，从而获得系统的数学模型。式，从而获得系统的数学模型。1.1.2 数学模型的分类数学模型的分类o 按照按照模型特征模型特征分：静态模型和动态模型、离散分：静态模型和动态模型、离散模型和连续性模型等；模型和连续性模型等；o 按照按照模型的应用领域模型的应用领域分：人口模型、环境模型、分：人口模型、环境模型、水资源模型、污染模型等；水资源模型、污染模型等；o 按照按照对模型的了解程度分对模型的了解程度分：白箱模型、灰箱模：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型等型和黑箱模型等o 科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场科学预见、科学预
5、测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。重要作用。o 材料科学从最早的试错法的手工操作成为当代科学重要材料科学从最早的试错法的手工操作成为当代科学重要支柱，数学的应用起着非常重要的作用。支柱，数学的应用起着非常重要的作用。o 当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透。法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透。o 计算机模拟来部分代替实验，可以节约人力、物力和财计算机模拟来部分代替实验，可以节约人力、物力和财
6、力，还可以避免发生故障或危险，甚至完成实验不可能力，还可以避免发生故障或危险，甚至完成实验不可能完成的任务。完成的任务。1.1.3 数学模型的作用数学模型的作用o 数学建模的过程数学建模的过程包括：建模准备；建模假设；构造模包括：建模准备；建模假设；构造模型；模型求解；模型分析；模型检验；模型应用。型；模型求解；模型分析；模型检验；模型应用。 1.2 建模步骤和原则建模步骤和原则l数学模型的建立，数学模型的建立，要求要求研究者不仅对研究者不仅对材料科学有关专业知识材料科学有关专业知识有非常深入的有非常深入的了解，而且要求其对了解，而且要求其对工程数学、计算机编程以及算法工程数学、计算机编程以及
7、算法等方面也有全面的了等方面也有全面的了解。可以这么说，它对研究者的综合素质要求是非常高的。具体的建模过解。可以这么说，它对研究者的综合素质要求是非常高的。具体的建模过程程并不单纯是上面几个步骤的顺序实现并不单纯是上面几个步骤的顺序实现，往往需要循环多次才能确保，往往需要循环多次才能确保建模建模工作的正确性，能够真正为实际生产提供指导。工作的正确性，能够真正为实际生产提供指导。l对于对于建模过程的理解，是重点内容建模过程的理解，是重点内容，为便于了解，利用下图说明。，为便于了解，利用下图说明。 o 了解问题的实际背景，明确建模的目的。了解问题的实际背景，明确建模的目的。o 建模筹划建模筹划：深
8、入生产和科研实际以及社会生：深入生产和科研实际以及社会生活实际，掌握与课题有关的第一手资料，汇活实际，掌握与课题有关的第一手资料，汇集与课题有关的信息和数据。集与课题有关的信息和数据。1.2.1 建模准备建模准备o 原型抽象和简化，准确把握本质属性。原型抽象和简化，准确把握本质属性。o 简化掉那些非本质的因素，形成对建模有用的信息资源和前简化掉那些非本质的因素，形成对建模有用的信息资源和前提条件。提条件。o 假设合理性原则有以下几点：假设合理性原则有以下几点：l目的性原则目的性原则：从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化那些与建模：从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化那些与建模目的无关的
9、或关系不大的因素。目的无关的或关系不大的因素。l简明性原则简明性原则：所给出的假设条件要简单、准确、有利于构造模型。：所给出的假设条件要简单、准确、有利于构造模型。l真实性原则真实性原则：假设要科学，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的：假设要科学，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的误差范围。误差范围。l全面性原则全面性原则：对事物原型本身做出假设的同时，还要给出原型所处的环：对事物原型本身做出假设的同时，还要给出原型所处的环境条件。境条件。1.2.2 建模假设建模假设o 首先区分哪些是常量、变量；已知量、未知量；然后查首先区分哪些是常量、变量；已知量、未知量；然后查明各种量所处的地位、
10、作用和它们之间的关系，选择恰明各种量所处的地位、作用和它们之间的关系，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻画实际问题的数学模型。刻画实际问题的数学模型。o 在构造模型时采用数学工具，要根据问题的特征、建模在构造模型时采用数学工具，要根据问题的特征、建模的目的要求及建模人的数学特长而定。的目的要求及建模人的数学特长而定。1.2.3 构造模型构造模型o 构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和
11、算法，然后编写计算机求解模型的数学方法和算法，然后编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型的求解。算机完成对模型的求解。1.2.4 模型求解模型求解o 稳定性分析（分析结果重复获得的可能性）稳定性分析（分析结果重复获得的可能性）o 系统参数灵敏度分析，或进行误差分析系统参数灵敏度分析，或进行误差分析o 对模型进行评价、预测、优化等方面的分析对模型进行评价、预测、优化等方面的分析和探讨。和探讨。1.2.5 模型分析模型分析o 模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，
12、看是否符合客观实际，若不符合，就修改型进行检验，看是否符合客观实际，若不符合，就修改或增减假设条款，重新建模。循环往复，不断完善，直或增减假设条款，重新建模。循环往复，不断完善，直到获得满意结果。到获得满意结果。o 目前计算机技术已为进行模型分析、模型检验提供了先目前计算机技术已为进行模型分析、模型检验提供了先进的手段，充分利用这一手段，可以节约大量的时间、进的手段，充分利用这一手段，可以节约大量的时间、人力和经费。人力和经费。1.2.6 模型检验模型检验o 模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验。一个成功的数学模型，客观、最公正的检
13、验。一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。研中的特殊作用。1.2.7 模型应用模型应用u以金属材料中空位形成能为例研究建模过程以金属材料中空位形成能为例研究建模过程o 建模准备建模准备l 原子能的发展对于金属研究提出了一个新的课题，即高能粒原子能的发展对于金属研究提出了一个新的课题，即高能粒子对于金属材料性能的影响。子对于金属材料性能的影响。l 固体受到辐照后产生的效应主要有三种类型：固体受到辐照后产生的效应主要有三种类型：电离、蜕变和电
14、离、蜕变和离位离位（产生空位和间隙原子产生空位和间隙原子），其中空位是金属中最主要的），其中空位是金属中最主要的辐照效应，金属中空位研究是非常重要的。辐照效应，金属中空位研究是非常重要的。要研究空位，必要研究空位，必须要研究空位缺陷形成能须要研究空位缺陷形成能。l 空位形成能空位形成能：空位的出现破坏了其周围的结合状态，因而造：空位的出现破坏了其周围的结合状态，因而造成局部能量的升高，由空位的出现而高于没有空位时的那一成局部能量的升高，由空位的出现而高于没有空位时的那一部分能量称为空位形成能。部分能量称为空位形成能。p构造模型构造模型l 设想晶体为设想晶体为fcc结构，结构，原子间的交互作用原
15、子间的交互作用限于最近邻。限于最近邻。l 空位形成能被定义空位形成能被定义为在晶体内取出一为在晶体内取出一个原子放到晶体表个原子放到晶体表面所需要的能量。面所需要的能量。l 在在fcc晶体内取出一个原子要割断晶体内取出一个原子要割断12个键（配位数为个键（配位数为12），而在表面台阶处置放一个原子，要形成），而在表面台阶处置放一个原子，要形成6个键。个键。p模型求解和分析模型求解和分析p模型检验模型检验l 模型得出的结论：空位形成能和结合能之间有密切的模型得出的结论：空位形成能和结合能之间有密切的关系是符合实验事实的，但事实上空位形成能大约只关系是符合实验事实的，但事实上空位形成能大约只为结合
16、能的为结合能的1/2到到1/4。l 根据自由能最小的条件，可以求出在热力学平衡状态下根据自由能最小的条件，可以求出在热力学平衡状态下的空位浓度。的空位浓度。p模型应用模型应用建模准备建模假设构造模型模型求解模型分析模型检验模型应用FTTF确立建模课题的过程，确立建模课题的过程，就是要了解问题的实就是要了解问题的实际背景，明确建模的际背景，明确建模的目的。作为课题的原目的。作为课题的原型往往都是十分复杂型往往都是十分复杂的，具体的。的，具体的。对原型进行适当的抽象、对原型进行适当的抽象、简化，把那些反映问题简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化其关系抽象
17、出来，简化掉那些非本质的因素，掉那些非本质的因素，使之摆脱原来的具体复使之摆脱原来的具体复杂形态，形成对建模有杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条用的信息资源和前提条件确立建模课题的过程。件确立建模课题的过程。在建模假设的基础上，在建模假设的基础上，进一步分析其内容，区进一步分析其内容，区分各物理量的意义，明分各物理量的意义，明确各物理量之间的关系，确各物理量之间的关系，选择恰当的数学工具和选择恰当的数学工具和构建模型的方法对其进构建模型的方法对其进行表征，构造数学模型行表征，构造数学模型根据已知条件和数据，根据已知条件和数据，分析模型的特征和结分析模型的特征和结构，设计或选择求解构，设计
18、或选择求解模型的数学方法和算模型的数学方法和算法，随后编写计算机法，随后编写计算机程序或运用与算法相程序或运用与算法相适应的软件包，借助适应的软件包，借助计算机对模型进行求计算机对模型进行求解。解。对模型求解的数字结果，进行分析，对模型求解的数字结果，进行分析，例如稳定性、灵敏度或误差分析。例如稳定性、灵敏度或误差分析。如果不符合要求，就修改假设条件如果不符合要求，就修改假设条件重新建模，直到符合要求；如果符重新建模，直到符合要求；如果符合，还可以进行评价、预测或者优合，还可以进行评价、预测或者优化等方面的工作。化等方面的工作。模型分析符合要求之后，模型分析符合要求之后，还需要回到客观实际中还
19、需要回到客观实际中进行检验，若不符合，进行检验，若不符合，仍需对模型进行修复，仍需对模型进行修复，重新建模，直到获得满重新建模，直到获得满意的结果。意的结果。模型应用是数学建模的模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型最客宗旨，也是对模型最客观、最公正的检验。观、最公正的检验。o 理论分析法理论分析法：应用自然科学中的定理和定律，对被：应用自然科学中的定理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。理论分析方法是人们在一切建立系统的数学模型。理论分析方法是人们在一切科学研究中广泛使用的方法。科学研究中广泛使用的方法。l 例
20、：在渗碳工艺过程过程中通过平衡理论找出控制例：在渗碳工艺过程过程中通过平衡理论找出控制参量与炉气碳势之间的理论关系式。参量与炉气碳势之间的理论关系式。1.3 常用的数学建模方法常用的数学建模方法o 模拟方法模拟方法：如果模型的结构及性质已经了解，但是数量：如果模型的结构及性质已经了解，但是数量描述及求解却相当麻烦。如果有另一种系统，结构和性描述及求解却相当麻烦。如果有另一种系统，结构和性质与其相同，而且构造出的模型也是类似的，就可以把质与其相同，而且构造出的模型也是类似的，就可以把后一种模型看作是原来模型的模拟，对后一个模型去分后一种模型看作是原来模型的模拟，对后一个模型去分析或实验，并求得其
21、结果。析或实验，并求得其结果。l 钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布，钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布，采用环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根据钢铁采用环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根据钢铁材料中裂纹形式在环氧树脂模型加工出裂纹，借助实验材料中裂纹形式在环氧树脂模型加工出裂纹，借助实验光测力学的手段来完成分析。光测力学的手段来完成分析。o 类比分析法类比分析法：如果有两个系统，可以用同一形式的数学：如果有两个系统，可以用同一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分析模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分析法是根据两个（或两类）系统
22、某些属性或关系的相似，法是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。l 例：在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断例：在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在理论上描述这一动力学过程（即推导理论上描述这一动力学过程（即推导Avrami方程）。方程）。l 聚合物的结晶聚合物的结晶过程包括过程包括成核成核和和晶体生长晶体生长两个阶段，这与两个阶段，这与下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波并向外扩展下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波并向外扩展的情形相类似，因此可以的情形相类似，因此可以通过水波扩散模型来推导聚合通过水波扩散模型来推导聚合物结晶时的结晶度与时间的关系物结晶时的结晶度与时间的关系。o 数据分析法数据分析法：当有若干能表征系统规律、描：当有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可以利用时，就可以通过述系统状态的数据可以利用时，就可以通过描述系统功能的数据分析来连接系统的结构描述系统功能的数据分析来连接系统的结构模型。模型。回归分析回归分析是处理这类问题的有利工具。是处理这类问题的有利工具。
