1、2.4.2 2.4.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质一、复习回顾：一、复习回顾：l定点F是抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线.l.FMd.xOyK1、抛物线的定义：、抛物线的定义： 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l (l不经不经过点过点F )的距离相等的距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛物线抛物线.标准方程标准方程 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线)0(22ppxy) 0(22ppyx.xyFo) 0 ,2(pF.yxoF2px)2, 0 (pF.xoyF2py) 0(22ppxyxyoF.) 0 ,2(pF 2px ) 0(22ppyx)2
2、, 0(pF2py 2、抛物线的标准方程：、抛物线的标准方程：1、范围：范围：2、对称性：对称性：3、顶点：顶点：x0,yR关于关于x轴对称轴对称,对称轴又叫抛物线的轴对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点.二、讲授新课：二、讲授新课： 抛物线上的点到焦点的距离和它到准抛物线上的点到焦点的距离和它到准 线的距离的比线的距离的比, ,叫做抛物线的离心率，用叫做抛物线的离心率，用e e表示，表示，4 4、离心率：离心率：由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，e=1 e=1 抛物线抛物线y2=2px(p0)的几何性质的几何性质:l.FMd.xOyK 5、焦点弦：通过焦点的直
3、线，焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接两点与抛物线相交于两点，连接两点的线段叫做抛物线的的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦。12ABxxpxOyFA),(11yxB),(22yx特别的，过焦点而垂直于对称轴的弦特别的，过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为，称为抛物线的抛物线的通径。通径。 |AB|=2p焦点弦公式：焦点弦公式：xyOFABy2=2px2p 过焦点而垂直于对称轴的过焦点而垂直于对称轴的弦弦ABAB，称为抛物线的，称为抛物线的通径通径. . 利用抛物线的利用抛物线的顶点、顶点、通径通径的两个端点可较准的两个端点可较准确画出反映抛物线基本确画出反映抛物线基本特征的草图特征的草
4、图. . pp,2(,)2pp|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大.6.6.通径通径 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的物线的焦半径焦半径.焦半径公式：焦半径公式：xyOFP7.7.焦半径焦半径0pPFx.2方程图形范围对称性顶点离心率y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）e=1抛物线的几何性质抛物线的几何性质 例例1. 已
5、知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称轴对称, 顶点在坐标原顶点在坐标原点点, 并且过点并且过点M(2, ), 求它的求它的 标准方程标准方程.2 2三、典例精析三、典例精析解解:因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M M（，（， ），），2 2所以设方程为：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点又因为点M M在抛物线上在抛物线上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：24yx 例例1. 已知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称轴对称, 顶点在坐标原顶点在坐标原点点, 并且过点
6、并且过点M(2, ), 求它的求它的 标准方程标准方程.2 2练练1.已知抛物线顶点在坐标原点已知抛物线顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2, ),求它的标准方程求它的标准方程.2 2MOyxABF1lyx的方程为：2216104yxxxyx 解法解法1 1 F1(1 , 0), 121232 232 2 22 222 2xxyy或222212121212AB = (x -x ) +(y -y ) = 8AB = (x -x ) +(y -y ) = 81lyx的方程为：2216104yxxxyx 22 =1 164 18AB 22121214kxxx x 解法
7、解法2 2 F1(1 , 0), 1 12 21 1 2 2x x + +x x = =6 6, , x xx x = =1 11lyx的方程为：2216104yxxxyx 解法解法3 3 F1(1 , 0), 1 12 21 1 2 2x x + +x x = =6 6, , x xx x = =1 1 |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8ABFA1B1解法解法4 4ABFA1B1KH同理同理1cospFB 221cos1cos22 2 8sinsin 45ppABp 1cospFA 练习：练习： 1 1、
8、过抛物线过抛物线 的焦点作直线交抛物的焦点作直线交抛物线于线于 两点，若两点，若 ，那么那么 = .xy1622211,yxByxA1021 xxAB182 2过抛物线过抛物线y y2 28 8x x的焦点，作倾斜角为的焦点，作倾斜角为4545的的直线，则被抛物线截得的弦长为直线，则被抛物线截得的弦长为( () )A A8 8 B B1616C C32 32 D D6161BxyO3.3.相交（一个交点，两个交点）相交（一个交点，两个交点）. .直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系问题：问题：直线与抛物线有怎样的位置关系？直线与抛物线有怎样的位置关系？1.1.相离；相离；2.2.相切；相切；与双曲线与双曲线的情况一的情况一致致把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行（重合）对称轴平行（重合）相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00=00相交相交相切相切相离相离
