1、 第四章高阶谱分析第四章高阶谱分析l1。高阶谱的定义多谱特例： n=2 功率谱 n=3 三阶谱或双谱Bispectrum n=4 四阶谱（三谱）Trispectrum 高阶统计量包括：高阶矩、高阶累积量、高阶矩谱和累积量谱。 信号处理中为什么要用多谱？ 多谱（polyspectra）高阶矩谱（higher-order moment spectra）高阶累积量谱(higher-order cumulant spectra)组成，可对确定性信号和随机信号定义。 1) 在信号检测、参数估计和分类问题中可以抑制具有未知谱特征的高斯噪声过程；双谱还可以抑制具有对称概率密度函数pdf的非高斯噪声。 由于仅
2、对高斯过程所有高于2阶的累积量（谱）均为零。因此，如果一个非高斯过程与加性高斯噪声同时被接收，当变换到高阶累积量域时，理论上可以消除该噪声。所以，在这类信号处理中，从观察信号的累积量谱中检测和/或估计信号参数将是有利的。累积量谱域是高信噪比（SNR）域，可进行信号检测、参数估计，甚至全信号重构。非零多谱可表明过程对正态性的偏离程度。 2) 重构信号或系统的相位和幅度响应；提取信号偏离高斯性的信息，估计非高斯参量信号的相位。 多谱（矩和累计量）保留了信号的真实相位特征。对于信号处理中时间序列数据的建模，过去几乎仅利用二阶统计量，他们通常是最小二乘优化准则的结果。然而，自相关域抑制了信号的相位信息
3、。在自相关域（或功率谱）仅对最小相位信号才能精确重构相位。而由于多谱同时保留了幅度和非最小相位信息，因此在高阶谱域可进行非最小相位信号重构或系统辨识3) 通过谐波分量间的相位关系，可检测和表征时间序列中的非线性，以及辨识非线性系统。 4) 检测和表征信号中的循环平稳性以及分析和处理循环平稳信号。 高阶循环统计量能自动抑制任何平稳（高斯与非高斯）噪声的影响。 2。确知信号的矩谱分析 2.1确定性信号的能量与功率 设 X(k)(k=0;1,为实确知信号,其瞬时功率为 !X(k)!2，总能量为: 同样X(k), 的平均功率为： 2.2 能量信号的Fourier分析 如果x(k)为实，则有共轭对称性，
4、有： X()=X* (- )2.3能量信号的矩 设x(k)为实能量有限信号k=0, 1, 2,且其矩存在。则n阶矩为 这些矩是对信号x(k) 与其延迟或超前信号乘积之间的相似程度的数字度量。 性质: 特例 准周期能量信号的矩谱 另一种定义 矩谱的特殊情况 能量信号的标量度量 旋转机械的非线性耦合在状态监测和故障诊断中,系统及有关故障源所产生信号的基频及高阶谐波会出现一种非线性耦合现象,如3 个波形非线性耦合现象的产生与传递波连续介质中的非线性扰动有关. 在介质中,各种非线性因素(如磨损、非线性刚度、间隙、波形的调制等等) 会激发各种不稳定的振动模态,最初这些模态线性变化,随着进一步发展,在一定
5、条件下会通过非线性耦合作用产生新的频率成分,能量从不稳定模态通过耦合传递给新的频率成分,从而达到稳定振动模态. 可见非线性因素会使得拾取的时间序列表现出一定的非线性,在频域表现为不同频率成分间的相位变化与其频率变化相同;某一频率成分等于2个频率成分的和或差,且相应相位为2 个频率成分的相和或差;相位之比等于频率之比等. 这就是所谓的非线性耦合现象. 大量的实验证明,在旋转机械中存在非线性耦合现象.旋转机械的非线性耦合主要表现模式：.(1) 调制信号的非线性耦合模式：设载波信号为x ( t) = A sin (t + 1)被调幅信号和被调相信号分别为a ( t) = asin ( pt + 2)
6、和( t) = sin ( pt + 2)x ( t) = A 1 + asin ( pt + 2) sin (t + 1) =A sin (t + 1) +a2cos ( - p) t + 1 - 2 +a2cos ( + p) t + 1 + 2 (2) 某一频率成分自身的非线性耦合模式旋转机械产生信号的周期性表现为一簇特征频率谐波,且在相位上表现出一定的相关性,该频率成分自身会产生非线性耦合.(3) 结构参数变化引起的耦合模式由于故障使系统结构的几何参数变化,会使振动信号隐含的频率成分与相位间存在一种相位耦合关系,即不同频率之比与相应相位之比相同.(4) 不同频率成分间的耦合模式.旋转机
7、械不同部件或零件产生的信号往往表现为不同特征频率的谐波,由于相位的相关性,可能与其他部分自激发生的谐波间产生相位耦合.基于高阶谱的旋转机械故障征兆提取基于高阶谱的旋转机械故障征兆提取振动信号非线性相位耦合主要有以下几种来源: 一是滚动轴承、齿轮等零件振动信号中的调制现象; 二是由于系统结构参数变化(如不对中) 产生的非线性相位耦合; 三为非线性刚度、摩擦、复杂润滑条件等引起的非线性。这些非线性因素会激发各种不稳定的振动模态, 随着故障的发展, 在一定条件下会通过非线性耦合产生新的频率成分, 能量通过耦合传递给新的频率成分, 从而达到稳定振动模态。因此, 非线性因素会使振动信号表现出一定的非线性
8、,在频域表现为不同频率成分间的相位变化与其频率的变化相同。例一：碰摩引起的不同频率成分的二次相位耦合模式。用如下仿真信号说明:设转子振动信号包含两个不同的频率, 即式中X1 是由不平衡引起的与转速同步的频率, X2为异步自激频率, 典型的波形如图1 (a) 所示。设由于发生碰摩, 一边的波形被截断, 如图1(b) 所示, 则对应频谱上出现和频与差频频率成份,参见图1 (c)。双谱的性质双谱的性质(1) 双谱满足以下对称性(2) 零均值高斯信号的高阶谱(阶数大于2) 等于零。因此双谱很适宜于分析淹没在高斯噪声中的非高斯信号, 理论上可以完全抑制噪声, 提取有用信息。(3) 双谱保留了信号的相位信
9、息, 可以用来描述非线性相位耦合。使用中常将双谱做归一化处理得到双相干谱双相干谱的物理意义为: 频率X1 与X2 二次相位耦合产生的能量在X1+ X2 处总能量中所占的比例。双相干谱函数的平方, 值在0 与1 之间, 定量描述了二次耦合的程度。当双相干谱函数的平方值为1时, 表示X1+ X2 处的能量全部来自X1 与X2 间的相位耦合; 当其值为0 时, 表示不存在相位耦合。第五章时频分析基础及短时傅利叶变换第五章时频分析基础及短时傅利叶变换 所谓时变，是指信号的统计特性是随时间变化的。由于平稳信号只不过是非平稳信号的最简单的例子，所以本章要着重讨论的信号分析方法对任何信号都是适用的。这类分析
10、方法统称为时频分析方法，它是在时间频率域而不是仅在时域或仅在频域上对信号进行分桥的 傅里叶变换及其反变换建立了时域(信号x(t)和领域(谱x(f)之间的对一(射)关系。6.1非平稳信号的研究领域时域和频域构成了观察一个信号的两种方式。虽然傅里叶变换建立了从一个域到另一个域的通道，但它并没有把时域和频域组合成一个域。特别是大多数的时间信息在频域是不容易得到的。而谱x(f)只是显示任一频率f包含在信号x(t)内的总的强度，它通常不能提供有关谱分量的时间局域化的信息。通常的做法是在博里叶分析中引入时间相关性而又保持线性不变。其思想是引入一个“局部频率”参数(在某时间内局部)。这样一来，“局部”傅里叶
11、变换便是通过一个窗口来观察信号，在这个窗口内信号接近平稳。另一种等价的方法是将傅里叶变换中所用的正弦基函数修改为在时间上更集中而在频率上较分散的基函数。 6.2 时频分析时频分折的基本思想时频分折的基本思想是设计时间和频率的联合函数，用它同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度时间和频率的这种联合函数简称时频分布假定我们已知一群人的体重和身高的联合密度分布，该联合分布对体重积分就能得到身高的分布，进而也可以从联合分布知道体重在60h65k8之间、身高在16。165m之间的人所占的比例 设计联合时频分布的基本要求是能够用相同的方式使用和处它具体说来，如果有了某信号的这样一种分布，我们就会问该
12、信号在某个频率和时间范围究竟有多少能量，要求能够计算出信号在某个频率的能量，能够计箕分布的总体和局部均值（如平均频率及其局部宽度）等等为了满足这些要求，连续信号s(t)的时频分布定义为6.3 基本概念1解析信号假设实信号s(t) 2。信号的解析化方法：实信号的频谱中剔除负频率的表示复信号的频谱： 3。瞬时频率和群延迟 4。不确定性原理：令：z(t)是一个具有有限能量的零均值复信号，令z(t)的有限宽度Tdt和频谱的有限宽度Bdf(或对应角频率dw)分别称为该信号的时宽和带宽并定义为：下面考虑时宽和带宽之间的关系令信号z(t)具有严格意义下的时宽T，现在让我们在不改变信号幅值的条件下沿时间轴拉伸
13、k倍若：zk(t)z(kt)代表拉伸后的信号，其中k为拉伸比由时宽T的定义式知拉伸信号的时宽是原信号时宽的k倍，即TzkkTz另外，计算拉伸信号F变换得到。Zk(f)=1/kZ(f/k). 不确定性原理： TB=1/4pi=dtdf 有任意小的时宽由有任意小的频宽的窗函数使不存在的。6。4短时傅里叶变换1。短时傅里叶变换的定义：信号变换与综合：如果把传统的傅里叶变换看作是傅里叶分析的话，那么傅里叶反变换则应称为傅里叶综合，因为反变换是利用频谱来重构或综合原信号的类似地，短时交换也有分析和综合之分很显然，为了使STFT真正是一种有实际价值的非平稳信号分析工具，信号z(t)应该能够由stft完全重
14、构出来设重构公式为 2。完全重构条件：选择窗函数g(t)的条件：g(t)=r(t),g(t)=d(t),g(t)=13。短时傅里叶变换的物理意义： 定义式表明信号z(t)在时间t的STFT就是信号乘上一个以t为中心的“分析窗”r*(tt)的F交换由于信号z(t)乘一个相当短的窗函数r*(tt)等价于取出信号在分析时间点t附近的一个切片，所以STFT(t，f)可以理解为信号z(t)在“分析时间”t附近的FM变换即“局部频谱”，如图所示 4.短时傅里叶变换的时移频移特性4。窗函数的选择由于高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数，因此，最优时间局部化的窗函数是高斯函数。这里恒有 0 ，图 示出了高斯窗函
15、数的形状考虑到短时傅里叶变换区分两个纯正弦波的能力，当给定了时窗函数 h (t )和它的傅里叶变换H ( f ) ，则带宽 f 为：5。时间分辨率和频率分辨率时域中的分辨率 t为然而，时间分辨率t 和频率分辨率f 不可能同时任意小，根据Heisenberg 不确定性原理，时间和频率分辨率的乘积受到以下限制。要提高时间分辨率，只能降低频率分辨率表示的时间和频率分辨率一旦确定，则在整个时频平面上的时频分辨率保持不变短时傅里叶变换能够分析非平稳动态信号，但由于其基础是傅里叶变换，更适合分析准平稳信号如果一信号由高频突发分量和长周期准平稳分量组成，那么短时傅里叶变换能给出满意的时频分析结果。由于频率与
16、周期成反比，因此反映信号高频成份需要用窄时窗，而反映信号低频成份需要用宽时窗6.5时频分布的一般理论 更一般的方法是讨论二维的时频分布方法： 几个基本概念（1）信号的能量（2）时频分布的基本性质 希望时频分布所具有的性质：时频分布必须是实的（最好是正的）一种能量的表示方式，所以为实的。 时频分布关于时间t和频率f的积分为信号的总能量 边缘特性 即时频分布关于时间t和频率f的积分分别给出信号在频率f的谱密度和信号在t时刻的瞬时功率 时频分布的一阶矩给出信号瞬时赖率fi(t)和群延迟tg(f) 时频分布的二次叠加原理 Wigner于1932年首先提出了Wigner分布的概念，并把它用于量子力学领域
17、。在之后的一段时间内并没有引起人们的重视。直到1948年，首先由Ville把它应用于信号分析。因此，Wigner分布又称WignerVille分布，简称为WVD。1966年，Cohen给出了各种时频分布的统一表示形式.第六章第六章Wigner-Ville 分布及其应用分布及其应用 l1。Wigner-ville分布的定义 tx tyjXjY tx ty令信号，的傅立叶变换分别是，那么，的联合Wigner分布定义为：,22jx yWtx tyted 信号 tx的自Wigner定义为 ,22jxWtx txted 22dd2在这两个式子中，是积分变量，t是时移，若令，则，代入有 detytxtWj
18、yx2,2, 12xx t 12yyt 1x 2x 2221XeXtj 2221YeYtj令，则、的傅立叶变换分别是， deYXYXdeyxtWtjjyx241111,22224,22 ，则上式变为 ,1,222j tx yWtXYed ,1,222j tx yWtXXed l2。Wigner-ville分布的性质性质1 积分特性：(1)在固定时刻t下，Wx(t,f) o)沿全频轴的积分等于该时刻的瞬时功率x(t)2，即(2) 在固定频率w下，W(t,f)沿全时轴的积分等于该频率的谱密度x(w)2(3)易由性质(1)、(2)推论得出Wx(t、f)沿时、频两轴的双重积分等于信号的能量E即 ,22
19、jxWtx txted ,1,222j tx yWtXXed 性质2 对称性 （1） W-V分布Wx(t,f)对所有的t,f值是实的 （2）若 x(t）是实函数，则函数的WV 分布是频率的偶函数,22jxWtx txted ,1,222j tx yWtXXed 性质3 定义域的同一性 性质4反演特性(1)某一时刻t的x(t)值可以通道在时刻等于t2、处将Wx(t/2,f)对频率w作反演傅氏变换得到，只差一比例系数x*(o)。 （2)某一频率w的X(w)值可以通过在频率等于f2处将Wx(t,f)对时间t作傅氏变换得到，只差一比例系数x*(o) 性质5 位移特性性质6基本运算（1）加法 （2）卷积
20、（3）乘法3。WVD的缺点 1.采样频率问题 两种方式：1. t=T 2.t=T+T/2 wv分布在x(t,f)在频域上同样宽。但是r沿t方向的采样串却降低了一倍；这样，对x作离散时间傅氏变换后得到的wv分布(它在频轴方向上当然是周期的)势必要发生频率的混叠，使得连续时间情况下wv分布的一些有益性质丢失。为了避免频率的混叠，简单办法是把对r(t,t)采样率提高到大于等于两倍奈奎斯特频率(也就是提高到最高频率的4倍以上)o但这样又会造成存储量和计算量的增加。这就是问题症结所在。 2。前已述及，两个信号和的WVD有交叉项存在，使得两个信号和的分布已不再是两个信号各自分布的和； 3。由于WVD是信号
21、能量随时间频率的分布，因此，理论上讲，, tWx应始终为正值，但实际上并非如此。 , tWx,22xr tx txt, tWx因为是的傅立叶变换，因此，我们可以保证始终为实值，但不一定能保证它非负。 4常用信号的常用信号的WVD 现举例说明几种典型信号的WVD TtTttx01TtTttTdetWtTtTjx02sin2,2222例1、 例2 tjAetx0000222,jtjtjxjWtAeA eedAed 022,AtWx例3 123exp204exp242exp22jf ttTx tjf tTtTjf tTtT 例4 tAtx0cos tAtWx00022cos22,例5一多普勒信号。所
22、谓多普勒信号指的是一个物体相对一个位置不变的“观察者（如雷达）”运动时，“观察者”所听到或所记录到的该物体运动的信号，如其运动的速度或发出的声音。当该运动物体接近和远离“观察者”时，其信号当频率会发生变化。图 给出了该信号当时域波形、频谱及时频分布。由该图可看出信号的能量随时间和频率的分布。-0.200.2Real partSignal in time067135Linear scaleEnergy spectral density5010015020025000.10.20.30.4WV, lin. scale, contour, Threshold=5%Time sFrequency Hz
23、5 Wigner 分布的实现分布的实现 txsTsnTt skT2skT2在（3.1.2）式中，若令对信号的抽样间隔为，即，并令，则，这样，（3.1.2）式对的积分变成对k的求和，即 kTkjsssssxsekTnTxkTnTxTtW22,kkjxeknxknxtW22,max4ffs解决该问题的较为简便的方法有两个： 、采用解析信号 nxsf、对作插值，人为地将其抽样频率提高 kk现余下两个问题要解决。一是频率仍需离散化，二是式中对的求和需要取有限长。knxknxknrx,k )(kx012345k )2(kx012321k )2(kx012123 1, 1 , 0Nkx kxkx kxkx
24、 n如图3.4.1（a）所示，将翻转得，现将、分别向左和向右移动个时刻， 当6N时，不难写出 时，时，时，时，时，时，kxxkrnkxxxxxxkrnkxxxxxxxxxxkrnkxxxxxxxxxxkrnkxxxxxxkrnkxxkrnxxxxxx55354453041322314002112000, 5511, 4422,322, 2211, 110, 00该方法有明显的缺点，即在不同的 点数有着明显的不同 n nn6加窗WVD”，即“伪WVD（Pseudo WVD，PWVD）” 取窗函数 nw knxknxkwknprx,应是实对称的函数，假定其宽度为14L， Lk2 0kw即当时， n
25、xnxeknxknxkwnxnxeknxknxkweknxknxkweknxknxkwknPWLkkjLkkjLkkjLLkkjx22Re42222,12021202012212122 dtWWtPWxx,加窗的结果是使 WVD在频率方向上得到平滑 7。Wigner分布中交叉项的的行为分布中交叉项的的行为 txtjetth00 th设信号由两个“原子”信号复合而成。所谓“原子信号”，是指：这一类信号，其中为时域有限长的窗函数，在构成“原子”时，常用的是高斯窗。因此，“原子”通常是在时域和频域都相对集中的信号。 信号 txtxtx21 tx1 tx2、设和具有相同的频率，但具有不同的时间中心 2
26、5. 02801110，tetthtxtj 25. 010002220，tetthtxtj-0.500.51Real partSignal in time2040608010012000.10.20.30.4WV, lin. scale, contour, Threshold=5%Time sFrequency Hz 1 . 06410011，tetthtxtj 4 . 06420022，tetthtxtj-1012Real partSignal in time2040608010012000.10.20.30.4WV, lin. scale, contour, Threshold=5%Tim
27、e sFrequency Hz txtxtxtxtx4321 1 . 02811，t 4 . 02822，t 1 . 010033，t 4 . 010044，t基于W igner-V ille 分布裂纹转子识别的仿真第七章第七章 小波变换被认为是近年来在工具和方法上有重大突破的小波变换，为非平稳信号分析展示了美好的前景。它作为一种数学理论和分析方法正在科技界引起一场轩然大波。顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的特性。小波变换的目的就是既要看到森林（信号的全貌），又要看到树木（信号的细节）。1984 年，J. Morlet
28、在分析地震数据的局部性时引进了小波概念。1986 年，Y. Meyer 创造性地构造出二进伸缩、平移小波基函数，掀起了小波研究热潮1987 年，S. G. Mallat 巧妙地将多分辨思想引入小波分析，统一了前人所提出的各类正交小波构造。给出了把信号及图像按不同频带的分解算法及其重构算法，即Mallat 塔形算法7.1小波变换定义小波变换定义由基本小波或母小波(t ) 通过伸缩a 和平移b 产生一个函数族 a b ( t ) , 称为小波式中a 是尺度因子，有 a 0 ，b 是时移因子。如果a 1 ，则波形伸展。信号x (t ) 的小波变换为对信号 x (t )进行小波变换相当于通过小波的尺度因子和时移因子变化去观察信号。当a 减小时，小波函数的时宽减小，频宽增大；当a 增大时，小波函数的时宽增大，频宽减小。如图 所示。小波变换的局部化是变化的，在高频处时间分辨率高，频率分辨率低；在低频处时间分辨率低，频率分辨率高，即具有“变焦”的性质，也就是具有自适应窗的性质。
