1、2022-6-41 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面谈谈数列求和的基本方法和技巧. 2022-6-42一一. .公式法公式法：等差数列的前等差数列的前n n项和公式：项和公式：等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式 n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnn aan nSnad111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq1 23n 2222123n3333123n1(1)(21)6n nn2(1)2n
2、n1(1)2n n2022-6-43例例1 1：求和：求和：1. 468+2n+2 （）2311112 12 222n .2022-6-44 例例1 1 已知 ， 求 的前n项和3log1log23x nxxxx32 由等比数列求和公式得nnnnnxxxxxxxS211211)211 (211)1 (32 2022-6-45错位相减法：错位相减法：如果一个数列的各项是由一如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法可采用错位相减法. .既既aan nb bn n 型型等差等差等比等比2022-6-462
3、 2错位相减法错位相减法如果一个数列的各项是由一个如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列等差数列和一个等比数列的对应的对应项之积构成的，那么这个数列的前项之积构成的，那么这个数列的前n n项和即可用此法来求项和即可用此法来求. .【错位相减法错位相减法】设设 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，a an nn n22n n，则，则S Sn n2022-6-47 例例4 4 求数列 前n项的和 ,22,26,24,2232nn解：由题可知，解：由题可知， 的通项是等差数列的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项与等比数列 的通项之积的通项之积nn22n21设设 nn
4、nS2226242232 14322226242221 nnnS （设制错位）（设制错位）1432222222222222)211 ( nnnnS1122212nnn得得1224nnnS2022-6-482022-6-49已知数列.,)109() 1(nnnnSnana项和的前求2022-6-492022-6-410解解：第一步，写出该数列求和的展开等式nnnnnS1091109.109410931092132第二步，上式左右两边乘以等比数列公比109nS10914321091109.109410931092nnnn2022-6-4102022-6-411第三步，两式进行错位相减得：13210
5、91109.1091091092101nnnnS化简整理得:1109111099nnnS2022-6-411 解：由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 例例3 3 求和 ： 132) 12(7531 nnxnxxxS1) 12(nxn1nxnnxnxxxxxS) 12(7531432 nnnxnxxxxxSx) 12(222221)1 (1432 nnnxnxxxSx) 12(1121)1 (121)1 ()1 () 12() 12(xxxnxnSnnn2022-6-412 2. 设数列设数列 满足满足a13
6、a232a33n1an ，aN*.(1)求数列求数列 的通项；的通项；(2)设设bn ，求数列，求数列 的前的前n项和项和Sn.变式探究变式探究2022-6-413 2 2设数列设数列 满足满足a a1 13 3a a2 23 32 2a a3 33 3n n1 1a an n ，a aNN* *. .(1)(1)求数列求数列 的通项；的通项；(2)(2)设设b bn n ，求数列，求数列 的前的前n n项和项和S Sn n. .解析解析：(1)(1)a a1 13 3a a2 23 32 2a a3 33 3n n1 1a an n ，2022-6-414(2) bnn3n，Sn132323
7、33n3n，3Sn132233334(n1)3nn3n1两式相减，得2Sn332333nn3n1，2022-6-4152022-6-4162022-6-417(12(12分分)(2010)(2010四川高考四川高考) )已知等差数列已知等差数列 a an n 的前的前3 3项和为项和为6 6，前，前8 8项项和为和为4. 4.(1)(1)求数列求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)设设b bn n(4 (4a an n) )q qn n1 1( (q q00，n nN N* *) )，求数列，求数列 b bn n 的前的前n n项和项和S Sn n. .2022-6-418
8、2022-6-4193 3(2012“(2012“江南十校江南十校”联考联考) )在等比数列在等比数列 a an n 中，中，a a1 100， n nNN* *，且，且a a3 3a a2 28 8，又，又a a1 1、a a5 5的等比中项为的等比中项为16.16.(1)(1)求数列求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；2022-6-420解：解：(1)(1)设数列设数列 a an n 的公比为的公比为q q，由题意可得，由题意可得a a3 31616，a a3 3a a2 28 8，则，则a a2 28 8，q q2. 2.a an n2 2n n1 1. .2022-6-421
9、2022-6-4222022-6-423项和。前求数列nnann.234 1、2、已知数列) 0() 12 ( ,5 ,3 , 112aanaan求该数列的前n项和。2022-6-423四、分组法求和四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可求和，再将其合并即可. .2022-6-424 c cn n= =a an n+ +b bn n( (a an n 、 b bn n 为等差或等比数
10、列。）为等差或等比数列。）项的特征项的特征反思与小结：反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差要善于从通项公式中看本质：一个等差 n n 一个一个等比等比22n n ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题题. .分组求和法分组求和法2022-6-425 , , + + n n 1 11. 1.求数列求数列 + + 2 2 3 3 , , + + 的前的前n n项和项和 。 , , 2 2 2 2 , , 3 2 n 2 + + 1 2 3 n 解：解
11、： =(1+2+3+ +n) Sn=(1+2)+(2+ )+(3+ )+(+) 2 2 3 2 2 +(2+2 +2 +2 ) n23= =n(n+1)22(2 -1)2-1n+ += =n(n+1)2+ +2 -2n+1分组求和法分组求和法2022-6-426例例5.求下面数列的前求下面数列的前n项和项和 111112,4,6,248162nn2022-6-427解（解（1 1）：该数列的通项公式为）：该数列的通项公式为 1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462 )()482nn111( 22)421212nnn111(1 )22nnn2022-6-428例
12、例7 求数列的前求数列的前n项和：项和：231, 71, 41, 1112 naaan， 解：设解：设)231()71()41() 11 (12 naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得将其每一项拆开再重新组合得)23741 ()1111 (12 naaaSnn（分组）（分组） 2) 13(nnnSn2) 13(nn 当当a1时，时，（分组求和）（分组求和） 1a2) 13(1111nnaaSnn2) 13(11nnaaan当当时，时，2022-6-429n n个个2022-6-430 例例8 8 求数列求数列n(n+1)(2n+1)n(n+1)(2n+1)的前的前n n项和项和. .解：设解
13、：设 kkkkkkak2332) 12)(1(nknkkkS1) 12)(1()32(231kkknk 将其每一项拆开再重新组合得将其每一项拆开再重新组合得 Snkkknknknk1213132（分组）（分组） )21 ()21 (3)21 (2222333nnn 2)2() 1(2) 1(2) 12)(1(2) 1(222nnnnnnnnnn2022-6-4312求数列1,34,567,78910，前n项和Sn.2ak(2k1)2k(2k1)(2k1)(k1)Sna1a2an点评：运用分组求和法分组求和法数列前n项和公式时，要注意先考虑通项公式解析2022-6-432例例6 6：1-21-2
14、2 2+3+32 2-4 -42 2+(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2= =？局部重组转化为常见数列局部重组转化为常见数列并项求和并项求和2022-6-433练习：练习：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+(-1)=-1+3-5+7+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1) 1)求求S S2020,S ,S21212) 2)求求S Sn nS S2020=-1+3+(-5)+7+=-1+3+(-5)+7+（-37-37）+39+39S S2121=-1+3+(-5)+7+=-1+3+(-5)+7+（-9 -9）+39+39+（-41-41）=20=20=-2
15、12022-6-434五五. .相间两项成等差等比综合相间两项成等差等比综合2022-6-4352022-6-436a an n 是等差数列，是等差数列，a an n=1+(n-1)=n=1+(n-1)=n1. 1. 若若a a1 1=1, =1, 且且a an n+ +a am m= =a an+mn+m(n,mN(n,mN* *), ), 则则a an n=_=_解解: n=m=1: n=m=1时，时，a a2 2 = = a a1 1+ +a a1 1=2, =2, 得得a a1 1=1, =1, a a2 2=2=2m=1m=1时时, ,由由a an n+ +a am m= =a an
16、+m n+m 得得a an+1n+1= =a an n+1+1，即，即a an+1n+1- -a an n=1=1n n2. 2. 若若b b1 1=2=2，且，且b bm mb bn n= =b bm+nm+n，则，则b bn n=_=_解：解：n=m=1n=m=1时，时，b b2 2= =b b1 1b b1 1=4 , =4 , 即即b b1 1=2=2，b b2 2=4=4，m=1m=1时时, ,由由b bn nb bm m= =b bn+m n+m 得得b bn+1n+1= =b bn n b b1 1=2=2b bn n，故故 b bn n 是首项为是首项为b b1 1=2 =2
17、，公比为，公比为q q=2=2的等比数列，的等比数列，b bn n=22=22n-n-1 1=2=2n n 2 2n n 练习练习2022-6-437列项求和法：列项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前于是前n n项的和变成首尾若干少数项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项之和，这一求和方法称为分裂通项法项法. .（见到分式型的要往这种方法见到分式型的要往这种方法联想联想） 2022-6-4381(1)1111 22
18、3(1)n nn nn例 1： 求 数 列的 前 n项 和S13,2nnaadS12n变式：等差数列中，111为前n项和，求SSS求数列前求数列前n n项和方法之一：项和方法之一：裂项相消法裂项相消法2022-6-4391特别是对于特别是对于 ，其中，其中 是各项均不为是各项均不为0的等差数列，通常用裂项的等差数列，通常用裂项相消法，即利用相消法，即利用 (其中其中dan1an)2022-6-440常见的拆项公式有：111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.5nnnnnnn)(
19、11. 4bababa2022-6-441常见的裂项公式有：16.11nnnn221117.121212 2121nnnnn 2022-6-442练习：求和练习：求和裂项法求和裂项法求和13)1311 (31)131231()7141()411(31) 13)(23(1741411nnnnnnn) 13)(23(1nn31)131231(nn提示：提示：) 13)(23(11071741411nn2022-6-443.11321211:3的值的值求求练习练习 nnSn11 nnan解：设解：设nn 11111321211 nnnnSn)1()1()23()12(nnnn 11 n2022-6-
20、44411211 nnnnan12nnnaab例例9 在数列在数列an中，中，又，又求数列求数列bn的前的前n项的和项的和 解：解： 211211nnnnnan )111(82122nnnnbn（裂项）（裂项） 数列数列bn的前的前n项和项和 )111()4131()3121()211(8 nnSn)111 (8n18nn 2022-6-4452022-6-4462022-6-4472022-6-448七、利用数列的通项求和七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项
21、揭示的规律来求数列的前通项揭示的规律来求数列的前n n项和，是一项和，是一个重要的方法个重要的方法. .2022-6-449例例7 7：已知数列：已知数列5 5，5555，555555，55555555，求满足前求满足前4 4项条项条件的数列的通项公式及前件的数列的通项公式及前n n项和公式。项和公式。练习：求和练习：求和S Sn n=1+(1+2)+(1+2+2=1+(1+2)+(1+2+22 2)+(1+2+2)+(1+2+22 2+2+23 3)+)+ +( +(1+2+21+2+22 2+2+2n-1n-1) ) 通项分析求和通项分析求和通项通项=2=2n n-1 -12022-6-4
22、50练 习 求 和：1 11 11 11 1+ + + +. . . . . . + +1 1 1 1+ +2 2 1 1+ +2 2+ +3 31 1+ +2 2+ +3 3+ +4 4+ +. . . . . + +n n先求通项先求通项再处理通再处理通项项2022-6-4511123nan解：2(1)n n112()1nn111112(1)()()2231nSnn12(1)1n21nn2022-6-4521222128.:1.1234( 1)2,1357.( 1)(21)nnnSnSn 例 求和2022-6-453 例例1414 求求11111111111个n 之和之和. .解：由于解：
23、由于) 110(91999991111111 kkk 个个（找通项及特征）（找通项及特征） 11111111111个n ) 110(91) 110(91) 110(91) 110(91321 n) 1111 (91)10101010(911321 个nn )91010(8119110) 110(10911nnnn2022-6-454例例15 已知数列已知数列an：11)(1(,)3)(1(8nnnnaannna求的值的值.解：解： )4)(2(1) 3)(1(1)1(8)(1(1nnnnnaannn （找通项及特征）（找通项及特征） )4)(3(1)4)(2(18nnnn（设制分组）（设制分组
24、） )4131(8)4121(4nnnn（裂项）（裂项） 1111)4131(8)4121(4)(1(nnnnnnnnnaan（分组、裂项求和）（分组、裂项求和） 313418)4131(42022-6-455综合练习综合练习2022-6-4562022-6-4572022-6-4582022-6-459解：解：(1)(1)证明：由题意得证明：由题意得2 2b bn n1 1b bn n1 1，b bn n1 11 12 2b bn n2 22( 2(b bn n1) 1)又又a a1 12 2b b1 11 11 1，b b1 10 0，b b1 11 110.10.故数列故数列 b bn
25、n11是以是以1 1为首项，为首项，2 2为公比的等比数列为公比的等比数列2022-6-4602022-6-4612022-6-4622022-6-4632022-6-4642022-6-4652022-6-4662022-6-4673 3已知二次函数已知二次函数f f( (x x) )x x2 25 5x x1010，当，当x x(n n，n n1 1( (n nNN* *) )时，把时，把f f( (x x) )在此区间内的整数值的个数表示为在此区间内的整数值的个数表示为a an n. .(1)(1)求求a a1 1和和a a2 2的值；的值；(2)(2)求求n n33时时a an n的表达式；的表达式；2022-6-468(2)(2)当当n n33时，时，f f( (x x) )是增函数，故是增函数，故a an nf f( (n n1) 1)f f( (n n) )2 2n n4. 4.2022-6-469
