1、第一节第一节 差分方程基本的基本概念与性质差分方程基本的基本概念与性质第二节第二节 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型第三节第三节 简单的鹿群增长模型简单的鹿群增长模型第四节第四节 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动第五节第五节 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型第六节第六节 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长第七章第七章 差分方程模型差分方程模型第一节第一节 差分方程的概念及性质差分方程的概念及性质一一.差分的定义与运算法则差分的定义与运算法则.,) 1()() 1 ()0(:).(111210nnnnnnnyyyyyyyyyyynfnfffxxfy也称为一阶差分，记
2、为的差分，为函数称函数的改变量，将之简记为，列函数值可以排成一个数取非负整数时，当设函数1.差分的定义差分的定义nnnnnnnnnnnyyyyyyyyyyyynfy12112122)()()()(,)(即差分的一阶差分的的二阶差分为函数函数.以以上上的的差差分分高高阶阶差差分分：二二阶阶及及二二阶阶)(),(3423nnnnyyyy差分：同样可定义三阶、四阶解解，则设2ny 12) 1()(222nnnnyn2) 12(1) 1(2) 12()(222nnnnyn022)(233nyn解解!)!1(nn.!2的一阶差分，二阶差分求例ny nnnyyy1! nn!2nnyynn!) 1(!)!1
3、() 1(2nnnnnnn)()() 1 (为常数CyCCynnnnnnzyzy)()2(2. 差分的四则运算法则差分的四则运算法则 nnnnnnnnnnyzzyyzzyzy113 14nnnnnnnnzzzyyzzy可参照导数的四则运算法则学习可参照导数的四则运算法则学习二二 差分方程的基本概念差分方程的基本概念1.差分方程与差分方程的阶.,2称为差分方程的函数方程含有未知函数的差分nnyy0),(2nmnnnyyyynF形式：定义定义1定义2：.,1的方程，称为差分方程个以上时期的符号含有未知函数两个或两nnyy) 1(0),(0),(11kyyynGyyynFknnnmnnn或形式：.称
4、称为为差差分分方方程程的的阶阶大大值值与与最最小小值值的的差差方方程程中中未未知知数数下下标标的的最最 注：由差分的定义及性质可知，差分方程的注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。不同定义形式之间可以相互转换。是三阶差分方程；如0234235nnnyyy. 0133112tttyyynt，即可写成事实上，作变量代换程，但实际上是二阶差分方，虽然含有三阶差分，013nnyy，因此它是二阶差分方程由于该方程可以化为0133123nnnyyy2.差分方程的解差分方程的解.)(该差分方程的解边恒等，则称此函数为两代入差分方程后，方程如果函数ny含有相互独立的任意常数的个数
5、与差分方程的含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解阶数相同的差分方程的解. .差分方程的通解差分方程的通解为了反映某一事物在变化过程中的客观规律为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件差分方程所附加的条件. .通解中任意常数被初始条件确定后的解通解中任意常数被初始条件确定后的解. .初始条件初始条件差分方程的特解差分方程的特解引例引例1： Fibonacci 数列数列 13世纪意大利著名数学家世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作在他的著作算盘书算盘书中记载着这样一个
6、有趣的问题：中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？后共有多少对兔子？月份月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 总数总数 1 1 2 3 5 8 13 21 将兔群总数记为将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,，经过观察可以发现，数列，经过观察可以发现，数列fn满足下列递推关系：满足下列递推关系
7、： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2, 这个数列称为这个数列称为Fibonacci数列数列. Fibonacci数列是一个十分有趣数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用. Fibonacci数列的一些实例数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列钢琴音阶的排列 3. 树的分枝树的分枝 4. 杨辉三角形杨辉三角形引例引例2：日常的经济问题中的差分方程模型：日常的经济问题中的差分方程模型 假如你在银行开设了一个假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的
8、年利元的存款账户，银行的年利率为率为7%. 用用an表示表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, , an, 设设r为年利率，由于为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型因此存款问题的数学模型是：是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 从从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出
9、生时开始，每年向银行存入银行存入x元作为家庭教育基金元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为若银行的年利率为r，试写出第，试写出第n年后教育基金总额的表达式年后教育基金总额的表达式. 预计当子女预计当子女18岁入大学时所需的岁入大学时所需的费用为费用为100000元，按年利率元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元入多少元? 设设n年后教育基金总额为年后教育基金总额为an，每年向银行存入，每年向银行存入x元，依据复利元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x,
10、n=0,1,2,3, 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元万元. 他们已经筹他们已经筹集集10万元，另外万元，另外20万元申请抵押贷款万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为若贷款月利率为0.6%，还贷期限为还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？年，问小李夫妇每月要还多少钱？ 设贷款额为设贷款额为a0，每月还贷额为，每月还贷额为x，月利率为，月利率为r，第，第n个月后的欠个月后的欠款额为款额为an，则，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,例例3)(),(),(,
11、312111nfayynfayynfayyZUynnnnnnnnn解分别是下列差分方程的是差分方程求证nnnnZUyV.)()()(3211的解nfnfnfayynn证明证明由题设知：由题设知：)()()(312111nfaZZnfaUUnfayynnnnnnnnnnnnnnaZZaUUayyaVV1111)()()(321nfnfnf.是所给差分方程的解nV三三. 线性差分方程解的结构线性差分方程解的结构11110( )( )( )x nx nnxnxya x yax yax y n阶齐次线性差分方程的标准形式阶齐次线性差分方程的标准形式n阶非齐次线性差分方程的标准形式阶非齐次线性差分方程的
12、标准形式 1111( )( )( )x nx nnxnxya x yax yax yfx 1 2 0 xf11110( )( )( )x nx nnxnxya x yax yax y 1.n阶齐次线性差分方程解的结构阶齐次线性差分方程解的结构 1问题问题: :一一定定是是通通解解吗吗？kkyCyCyCy 2211，则，则若若nk 注注： 设设nyyy,21为为定定义义在在区区间间I内内的的n个个函函数数如如果果存存在在n个个不不全全为为零零的的常常数数，使使得得当当x在在该该区区间间内内有有恒恒等等式式成成立立 （ 是任意常数）是任意常数） nCCC， 21,02211 nnykykyk那么称
13、这些函数在区间内那么称这些函数在区间内线性相关；线性相关；否则称否则称线性无关线性无关. 2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构阶常系数非齐次线性差分方程解的结构 xfyayayayxnxnnxnx 1111 2由此可见，要求出由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方阶常系数非齐次线性差分方程（程（2）的通解，只需求出（）的通解，只需求出（1）的通解和（）的通解和（2）的一个特解即可的一个特解即可.一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式 1 2 .21次次线线性性差差分分方方程程所
14、所对对应应的的一一阶阶常常系系数数齐齐为为注注：)0(01为为常常数数 aayyxx)(1xfayyxx )00( xfa为为常常数数，四四 一阶常系数线性差分方程的解法一阶常系数线性差分方程的解法迭迭代代法法. 1)0(01为为常常数数 aayyxx 1）依依次次可可得得，为为已已知知，由由方方程程（设设10y01ayy 0212yaayy 0323yaayy .100 xxxxCaYCyyay 通通解解为为）的的方方程程（为为任任意意常常数数，于于是是差差分分满满足足差差分分方方程程，令令容容易易验验证证，01yaayyxxx .0241的通解求例nnyy解解21 a.21nnCy差分方程
15、的通解为特特征征根根法法. 2)0(01为常数aayynn 1）变变形形为为方方程程（1 )0(01为为常常数数 ayayxx .1函函数数的的形形式式一一定定为为某某一一指指数数可可以以看看出出，根根据据xxxy ）得得，代代入入（设设1)0( xxy01 xxa 0 a 即即a 特征方程特征方程特征根特征根）的一个解，）的一个解，是（是（于是于是1xxay .1）的的通通解解是是（从从而而xxCay .1的的通通解解用用特特征征根根法法求求例例解解012 特征方程特征方程.21xxCY 差分方程的通解为差分方程的通解为21 特特征征根根.203201的特解的特解满足满足求求例例 yyyxx
16、解解；差分方程的通解为差分方程的通解为xxCY 31031 xxyy原原方方程程可可改改写写为为013 特征方程为特征方程为31 特特征征根根220 Cy，得，得代入代入.312xxY 所求差分方程的特解为所求差分方程的特解为二、二、 一阶常系数非齐次线性差分方程的求解一阶常系数非齐次线性差分方程的求解.xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一项项是是对对应应的的齐齐次次差差，解解一一项项是是该该方方程程的的一一个个特特的的和和组组成成：差差分分方方程程的的通通解解由由两两项项一一阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性 .2 xxxyYy）的的通通解解为为即即差差分分方方程程（ 2)(1xfay
17、yxx )00( xfa为为常常数数，即即可可求求出出特特解解求求出出待待定定系系数数程程然然后后将将它它们们代代入入差差分分方方相相同同的的形形式式与与假假定定待待定定的的特特解解待待定定系系数数法法,.)(xfyx .较较为为方方便便解解采采用用待待定定系系数数法法求求其其特特时时，是是某某些些特特殊殊形形式式的的函函数数当当右右端端 xyxf:的的求求法法下下面面讨讨论论特特解解 xy 型型xpxfn )( 为为方方程程 2 xpayynxx 1 xpyaynxx 1即即是它的解，代入上式得是它的解，代入上式得设设 xy xpyaynxx 1 .1 次次多多项项式式是是次次多多项项式式，
18、是是且且也也应应该该是是多多项项式式，是是多多项项式式，因因此此由由于于 nynyyxpxxxn1.(1)nnnnxbxbxbxQy 110)(令令011 a不不是是特特征征方方程程的的根根，即即(2) nnnnxbxbxbxxxQy 110)(令令011 a是是特特征征方方程程的的根根，即即综上讨论综上讨论，设设)(xQxynkx 是特征方程的根是特征方程的根不是特征方程的根不是特征方程的根1110k解解.32321的的通通解解求求差差分分方方程程例例xyyxx 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程，02 特征根特征根，2 xxCY2 不不是是特特征征方方程程的的根根，1，设设C
19、BxAxyx 2代入方程代入方程, 得得963 CBA，9632 xxyx于于是是原方程通解为原方程通解为. 96322 xxCyxx例例 4 4 求差分方程求差分方程37, 3501 yyyxx的特解的特解 解解,543xxCy 方方程程的的通通解解为为12374337370 Cy代代入入，则则将将.4351237 xxy故故方方程程的的特特解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解xxCY5 不是特征方程的根，不是特征方程的根，1，设设Ayx 代入方程代入方程, 得得，43 A解解 .44Cxyx 方方程程的的通通解解为为.1简简单单的的方方式式求求解解这这类类方方程程可可用用另另一一种种较较是
20、是特特征征方方程程的的根根，.235231的的通通解解求求差差分分方方程程例例xxxyyxx ，右右边边为为方方程程左左边边为为xy 2323223 xxxxxx 21 xxx 3x 3xyx 故故 型型xpxfnx )(2. 101， 1类型类型 102， xxxzy 设设代入方程得代入方程得 为为方方程程 2 xpayynxxx 1 xpzaznxxxxx 11 xpazznxxx 1 ，即即得得消消去去1类型类型. xxxzy 于于是是日常的经济问题中的差分方程模型日常的经济问题中的差分方程模型 假如你在银行开设了一个假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利元的存款账户，银
21、行的年利率为率为7%. 用用an表示表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, , an, 设设r为年利率，由于为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型因此存款问题的数学模型是：是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 从从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行
22、存入银行存入x元作为家庭教育基金元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为若银行的年利率为r，试写出第，试写出第n年后教育基金总额的表达式年后教育基金总额的表达式. 预计当子女预计当子女18岁入大学时所需的岁入大学时所需的费用为费用为100000元，按年利率元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元入多少元? 设设n年后教育基金总额为年后教育基金总额为an，每年向银行存入，每年向银行存入x元，依据复利元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,
23、 由由 a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 得通解得通解: 将将 a0=x, =1+r, b=x 代入代入, 得得 c =x(1+r)/r, 因此方程的特解因此方程的特解是是:1bcannnnnnarrxrrxa1)1 (,1)1 (11 将将 a18=100000,r=0.03 代入计算出代入计算出 x=3981.39. 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元万元. 他们已经筹他们已经筹集集10万元，另外万元，另外20万元申请抵押贷款万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为若贷款月利率为0.6%，还贷期限为还贷期限为20年，问小李
24、夫妇每月要还多少钱？年，问小李夫妇每月要还多少钱？ 设贷款额为设贷款额为a0，每月还贷额为，每月还贷额为x，月利率为，月利率为r，第，第n个月后的欠个月后的欠款额为款额为an，则，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3, 由由 a0=200000, an+1=(1+r)an-x, n=0,1,2,3,将将 =1+r, b=-x 代入得到方程的特解代入得到方程的特解:rrxraannn1)1 ()1 (0 若在第若在第N个月还清贷款，令个月还清贷款，令 aN=0, 得得:1)1 ()1 (0NNrrrax
25、将将 a0=200000, r =0.006, N=20*12=240 代入计算出代入计算出 x=1574.70 小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售. 一台售一台售价价8000元的电脑，可分元的电脑，可分36个月付款，每月付个月付款，每月付300元即可元即可. 同时他同时他收到了银行提供消费贷款的消息：收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为年内还清，年利率为15%. 那么，他买电脑应该向银行贷款，还那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？是直接向商店分期付款？ 经过分
26、析可知，分期付款与抵押贷款模型相同经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同. 设第设第n个月后个月后的欠款额为的欠款额为an，则，则 a0=8000, an+1=(1+r)an-300, n=0,1,2,3, 贷款模型贷款模型 a0=8000, an+1=(1+0.15/12)an-x, n=0,1,2,3,第二节第二节 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增
27、加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0) 平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0设设x1偏离
28、偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定稳定P0不稳定不稳定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/
29、 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致)(00 xxyykk 商品数量减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格1经济稳定经济稳定结果解释结果解释经济不稳定时政
30、府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。)(00 xxyykk生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变, 2 , 1,
31、)1 (22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始条件确定由初始条件确定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡点稳定，即平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件:12,12平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了122, 1模型的推广模型的推广1、问题的分析问题的分析 由于公鹿和母鹿的比例大致相等
32、，所以在此仅考虑由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此仅考虑母鹿的增长。鹿群的增长与鹿的死亡率和生育率密切母鹿的增长。鹿群的增长与鹿的死亡率和生育率密切相关，因为鹿的生育周期为一年，即一岁以上的母鹿相关，因为鹿的生育周期为一年，即一岁以上的母鹿可以生育，所以我们把母鹿分为两组，一岁以下的为可以生育，所以我们把母鹿分为两组，一岁以下的为幼鹿，其余的为成年鹿。根据这样的分组，一年以后幼鹿，其余的为成年鹿。根据这样的分组，一年以后存活的幼鹿都为成年鹿，而这一年中出生的鹿构成新存活的幼鹿都为成年鹿，而这一年中出生的鹿构成新的幼鹿。从以上的分析，我们可把观测的时间间隔取的幼鹿。从以上的分析，我们可把观测
33、的时间间隔取为一年。为一年。2、模型假设、模型假设）动物的数量足够大，故可以用连续的方法来度量。）动物的数量足够大，故可以用连续的方法来度量。 ）只考虑母鹿，并将其分为两组，一岁以下为幼鹿）只考虑母鹿，并将其分为两组，一岁以下为幼鹿组，其余为成年鹿组。组，其余为成年鹿组。 第三节第三节 简单的鹿群增长模型简单的鹿群增长模型 ）把时间离散化，每年观测一次，即环境因素、生）把时间离散化，每年观测一次，即环境因素、生育、死亡方式等每年重复发生。育、死亡方式等每年重复发生。 ）不考虑饱和状态，即在所考虑的时间段内，种群）不考虑饱和状态，即在所考虑的时间段内，种群的增长几乎不受自然资源的制约。的增长几乎
34、不受自然资源的制约。 ）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡数与鹿的总数）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡数与鹿的总数成正比。成正比。）鹿的生育数与鹿的总数成正比。）鹿的生育数与鹿的总数成正比。3、模型的建立与求解、模型的建立与求解分别以分别以nx和和ny表示第表示第n年幼鹿和成年鹿的数量。年幼鹿和成年鹿的数量。 一年后，幼鹿存活的数量与一年后，幼鹿存活的数量与nx之比叫做幼鹿的存活率。之比叫做幼鹿的存活率。 由假设，每年的存活率是一常数，分别以由假设，每年的存活率是一常数，分别以1b和和2b表示幼鹿和成年鹿的存活率。表示幼鹿和成年鹿的存活率。 因为年长的幼鹿在这一年之内可能超过一岁，因为年长的幼鹿在
35、这一年之内可能超过一岁，因而有生育能力。根据假设，生育率也是常数，因而有生育能力。根据假设，生育率也是常数， 分别以1a和2a表示幼鹿和成年鹿的生育率。表示幼鹿和成年鹿的生育率。 假设刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为假设刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s。一年以后，原来的幼鹿可生育幼鹿数为一年以后，原来的幼鹿可生育幼鹿数为nxa1 成年鹿可生育的幼鹿数为成年鹿可生育的幼鹿数为nya2 由于哺乳期的新生幼鹿的存活率为s， 所以一年以后新的幼鹿数：所以一年以后新的幼鹿数： 11(asxnsyaxnn)2nnysaxa21 (7.2.1)一年以后，原来的幼鹿存活数为一年以后，原来的幼鹿存活数为nxb1
36、原来的成年鹿的存活数为原来的成年鹿的存活数为nyb2 所以新的成年鹿的数目是所以新的成年鹿的数目是nnnybxby211 (7.2.2)(7.2.1).(7.2.2)联立起来，即得下面的线性差分方程组：联立起来，即得下面的线性差分方程组： nnnnnnybxbyysaxsax211211 (7.2.3)或用矩阵表示为：或用矩阵表示为： 11nnyx2121bbsasannyx (7.2.4) 这是一个一步方程，令这是一个一步方程，令 nunnyx， A=2121bbsasa则则(7.2.4)式可表示为式可表示为 nnAuu1 (7.2.5) 于是可推出：于是可推出： 0uAunn或 nnyx=
37、00yxAn n0 (7.2.6) 如果知道开始时幼鹿数量如果知道开始时幼鹿数量0 x和成年鹿的数量和成年鹿的数量0y，由，由(7.2.6)可算出第可算出第n年的鹿的总数。年的鹿的总数。 为了给出解的一般表达式，先把矩阵为了给出解的一般表达式，先把矩阵A对角化：对角化： 令令 EA=0即即 02121bbsasa得特征方程：得特征方程：0)()(1221212babasbsa (7.2.7)其判别式为其判别式为 )(4)(1221221babasbsa =122214)(asabsa 由于由于s,12,ba 都是大于零的，所以判别式都是大于零的，所以判别式 0，1和和2矩阵矩阵A可以对角化。可
38、以对角化。 特征方程特征方程(7.2.7)有两个相异的实根有两个相异的实根，这保证了，这保证了 对于特征根1，从下面的线性方程组，从下面的线性方程组 121211bbsasayx=00可解得特征向量可解得特征向量Tbb),(1211 同理可解得对应于特征根同理可解得对应于特征根2的特征向量的特征向量Tbb),(1222所以可得矩阵所以可得矩阵 P112221bbbb 使得使得21100APPA112221bbbb21001112221bbbb即即于是得于是得 nA112221bbbbnn21001112221bbbb将上式代入将上式代入(7.2.6)式式00yxAnnnyx=nnyx=1122
39、21bbbbnn21001112221bbbb00yx记 21cc=1112221bbbb00yx (7.2.8)所以 nnyx=112221bbbbnn210021cc =nnnnbbbb2111222121)()(21cc 由此可得： nnnnnnbcbcybcbcx21211122221211)()( n0 故解得：, 1, 1, 1)(, 1)(,322222231211113210322222223121, 12113210bcbcyyyybcbcxxxx (7.2.9) 现在利用公式现在利用公式(7.2.9)对下面的一组数据对下面的一组数据 0 x0.8（千头） 1a0.3 1b0
40、.62 s0.8 0y1 （千头） 2a1.5 2b0.75计算今后6年鹿的总数。为此，将以上数据代入(7.2.7),解得39446. 1404458. 021将数据代入(7.2.8)得4798. 1133107. 021cc最后由(7.2.9)得011. 7,03. 5,602. 3,596. 2,829. 1,392. 1,621xxx746. 6,837. 4,471. 3,482. 2,798. 1,246. 1,621yyy 4、模型评价、模型评价 该模型的假设中，没有考虑资源的制约，所以当该模型的假设中，没有考虑资源的制约，所以当鹿群的增长接近饱和状态时，该模型失效。如果考虑鹿群的
41、增长接近饱和状态时，该模型失效。如果考虑自然资源的制约，则模型假设中的第条不成立，这自然资源的制约，则模型假设中的第条不成立，这时生育率与食物的获取有关。时生育率与食物的获取有关。第四节第四节 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加
42、代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异), 相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比
43、于体重，且与运动形式有关；形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至体重维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（少，直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进
44、程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)体重体重c(k) 第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况
45、的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不变千克不变wcww025. 0100800020000wc 第一阶段第一阶段: w(k)每周减每周减1千克千克, c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一阶段第一阶段10周周, 每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划1)
46、(1)1(kwkc10000mC)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克 5050)
47、(975.0)(kwnkwn第二阶段第二阶段19周周, 每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡, 体重按体重按 减少至减少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25lg(n)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取运动运动 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时), 14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速
48、中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkwnkw)()1()(3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变wtCww)(wtC)()(1500075025. 08000千卡C 不运动不运动)(1680075028. 08000千卡C 运动运动(内容
49、同前内容同前)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk第五节第五节 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t) 某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N, 则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡点是平衡点kkyNrrx) 1( 1rb记) 1 ()1 (1Nyryy
50、ykkkk离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程 (1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x* 的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点brrx111*(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(
