1、01绪绪论论哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院1 / 27土木工程学院土木工程学院 工工程力程力学学学科组学科组HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY弹塑弹塑性力学性力学01绪绪论论第第1节节弹弹塑塑性力性力学学任务任务弹塑性力学的定义弹塑性力学的定义：弹塑性力学是固体力学的一个重弹塑性力学是固体力学的一个重 要分支，是研究弹性体和弹塑性体在载荷作用下应力分布要分支，是研究弹性体和弹塑性体在载荷作用下应力分布 规律和变形规律的一门学科。规律和变形规律的一门学科。对工科来说，弹性力学的任务，对工科来说，弹性力学的任务，和和材料力学、结构力材料力学、结构力 学的任务一样，
2、是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的学的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的 应力和应变，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定应力和应变，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定 性，并寻求或改进它们的计算方法。性，并寻求或改进它们的计算方法。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院2 / 2701绪绪论论弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与 塑性性质而命名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。塑性性质而命名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。当外部因素作用时，固体发生变当外部因素作用时，固体发生变形形，如果当外因去，如果
3、当外因去 掉，变形体恢复原样（状），称固体（材料）掉，变形体恢复原样（状），称固体（材料）具有弹性具有弹性 性质性质， 单值，单值，具有可逆性具有可逆性；当外部因素去掉时，变形体未能恢复原状并存在永当外部因素去掉时，变形体未能恢复原状并存在永 久变形，说明固体已久变形，说明固体已进入塑性阶段进入塑性阶段， 曲线不是单值曲线不是单值 函数，函数，没有可逆性没有可逆性。当然变形体常遇到在物体某一局部处于弹性、而另当然变形体常遇到在物体某一局部处于弹性、而另 一区域处于塑性状态，弹塑性交织在一起，称材料处于一区域处于塑性状态，弹塑性交织在一起，称材料处于弹塑性状态弹塑性状态。 哈工大哈工大 土木工程
4、学院土木工程学院3 / 2701绪绪论论研究研究的的对对象象：实际物体经过抽象处理（进行一定的假实际物体经过抽象处理（进行一定的假设）后弹塑性体。材料力学和结构力学研究的对象是杆系设）后弹塑性体。材料力学和结构力学研究的对象是杆系结构（一维问题），具有局限性。而弹塑性力学研究对象结构（一维问题），具有局限性。而弹塑性力学研究对象 也是固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程也是固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程 技术问题需求的物体。所以弹塑性理论基本方程要复杂的技术问题需求的物体。所以弹塑性理论基本方程要复杂的 多，具有一般性。多，具有一般性。 哈工大哈工大 土木工程学院土木
5、工程学院4 / 2701绪绪论论弹塑性力学的任务：弹塑性力学的任务：根据对弹塑性体的实验观察结根据对弹塑性体的实验观察结果寻求物体在弹塑性状态下的变形规律，建立本构关系及果寻求物体在弹塑性状态下的变形规律，建立本构关系及 有关基本理论。有关基本理论。1建立求解固体的应力、应变和位建立求解固体的应力、应变和位移移分布规律的基本方程分布规律的基本方程 和理论；和理论；2给出初等理论无法求解的问题的给出初等理论无法求解的问题的理理论和方法，以及对初论和方法，以及对初 等理论可靠性与精确度的度量；等理论可靠性与精确度的度量；3确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，提高经济确定和充分发挥一般工程结构物
6、的承载能力，提高经济效益；效益； 4为进一步研究工程结构物的强度为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳振动、稳定性、断裂定性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。等力学问题，奠定必要的理论基础。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院5 / 2701绪绪论论弹塑性力学和材料力学分析范围有所不同弹塑性力学和材料力学分析范围有所不同。弹塑性力学在。弹塑性力学在 微观层面研究应力和应变规律；而材料力学有时还要研究微观层面研究应力和应变规律；而材料力学有时还要研究 材料蠕变、疲劳以及断裂破坏现象，研究杆件的拉、剪、材料蠕变、疲劳以及断裂破坏现象，研究杆件的拉、剪、 弯、扭作用下的应力和变形是材料力学的
7、主要内容。弯、扭作用下的应力和变形是材料力学的主要内容。在研究方法上的不同在研究方法上的不同。材料力学为简化计算，对构件的应。材料力学为简化计算，对构件的应 力分布和变形状态作出某些假设，因此得到的解答是粗略力分布和变形状态作出某些假设，因此得到的解答是粗略 和近似的；而弹塑性力学研究通常不引入上述假设，从而和近似的；而弹塑性力学研究通常不引入上述假设，从而 所得结果比较精确，并可验证材料力学结果的精确性。所得结果比较精确，并可验证材料力学结果的精确性。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院6 / 2701绪绪论论第第2节节基本假设和基本规律基本假设和基本规律实际问题由多方面因素构成，分析极
8、为复杂。应按照物体实际问题由多方面因素构成，分析极为复杂。应按照物体 的性质，以及求解范围，忽略一些暂时可不考虑的因素，的性质，以及求解范围，忽略一些暂时可不考虑的因素， 使我们研究的问题限定在一个方便可行的范围内。使我们研究的问题限定在一个方便可行的范围内。基本假设：基本假设：连续性假设：连续性假设：将可变形固体看作密实无间隙的物体。因而一些将可变形固体看作密实无间隙的物体。因而一些 物理量可以表示成坐标的连续函数。物理量可以表示成坐标的连续函数。均匀性假设：均匀性假设：假定物体是用同一类型的均匀材料组成，而且在假定物体是用同一类型的均匀材料组成，而且在 物体内各点、各方向具有相同的物理性质
9、。物体内各点、各方向具有相同的物理性质。小变形假设：小变形假设：在外界因素作用下产生物体内各点的位移远小于在外界因素作用下产生物体内各点的位移远小于 物体原尺寸，可忽略变形引起的几何变化。物体原尺寸，可忽略变形引起的几何变化。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院7 / 2701绪绪论论从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。小变形假设说明应变小变形假设说明应变( 包括线应变与角应变包括线应变与角应变 )均远远小于均远远小于1。 根据这一假定：根据这一假定：（1）在弹塑性体产）在弹塑性体产Th变形后建立平衡方程时，可以变形后建立平衡方程时，可以 不不考虑因
10、变形而引起的力作用考虑因变形而引起的力作用线线方向的改变；方向的改变；（2）在研究问题的过程中可以略去）在研究问题的过程中可以略去相相关的二次及二关的二次及二 次次以上的高阶微量；以上的高阶微量； 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院8 / 2701绪绪论论基本规律：基本规律： 完成弹塑性力学任务所要遵循的三个基完成弹塑性力学任务所要遵循的三个基本规律（或本规律（或 应满足的三方面的条件）：应满足的三方面的条件）：静力平衡规律：静力平衡规律：固体受到外力与自身的内力要满足平衡方程，固体受到外力与自身的内力要满足平衡方程， 在弹性理论中它们为微分方程。在弹性理论中它们为微分方程。几何连续规律：
11、几何连续规律：要求变形前连续的物体，变形后仍为连续物要求变形前连续的物体，变形后仍为连续物 体，由这个规律建立几何方程或变形协调方程，均为体，由这个规律建立几何方程或变形协调方程，均为 微分方程。微分方程。物理物理(本构本构)关系：关系：应力应力 (内力内力)与应变与应变 (变形变形)之间的关系，根据之间的关系，根据 材料的不同性质来建立，最常见的为各向同性材料。材料的不同性质来建立，最常见的为各向同性材料。平衡方程和几何方程都与材料无关，塑性力平衡方程和几何方程都与材料无关，塑性力 学与弹性力学的主要区别在于本构方程学与弹性力学的主要区别在于本构方程 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院9
12、 / 2701绪绪论论第第3节节弹塑性力学的研究方法弹塑性力学的研究方法弹塑性力学与材料力学同属固体力学的分支，它们在弹塑性力学与材料力学同属固体力学的分支，它们在 分析问题解决问题的基本思路上都是一致的，但在研究问分析问题解决问题的基本思路上都是一致的，但在研究问 题的基本方法上各不相同。题的基本方法上各不相同。(1) 受力分析及静力平衡条件受力分析及静力平衡条件 (力的分析力的分析)(3) 受力与变形间的本构关系受力与变形间的本构关系 (物理分析物理分析)(2) 变形分析及几何相容条件变形分析及几何相容条件 (几何分析几何分析) 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院10 / 2701绪绪
13、论论a、研究方法较简单粗糙；、研究方法较简单粗糙； b、涉、涉及数学理论较简单；及数学理论较简单； 材料力学研究问题的基本方法：材料力学研究问题的基本方法：选 一 维 构选 一 维 构 件 整 体 为件 整 体 为 研究对象研究对象变形前，在某表变形前，在某表 面绘制标志线；面绘制标志线； 变形后，观察总变形后，观察总 结构件表面变形结构件表面变形 的规律的规律做出平截面做出平截面假设，经三假设，经三方面分析，方面分析，解决问题解决问题c、材料力学的工程解答一般为近似解。、材料力学的工程解答一般为近似解。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院11 / 2701绪绪论论1、涉及数学理论较复杂，
14、并以其理论与解法的严密、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严密性和普遍适用性为特点；性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程、弹塑性力学的工程解答一般认为解答一般认为是是精确的；精确的； 弹塑性力学研究问题的基本方法：弹塑性力学研究问题的基本方法：以受力物体以受力物体 内某一点内某一点（单元体）（单元体） 为研究对象为研究对象单元体单元体的受力的受力应应 力理论；力理论； 单元体单元体的的变形变形变变 形几何形几何理论；理论； 单单元体受力元体受力与变形间与变形间的关的关系系本构理论；本构理论；建立起普遍适建立起普遍适 用的理论与解用的理论与解 法法3、可对初等力学理论解答的精确度和可
15、靠进行度量。、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度量。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院12 / 2701绪绪论论 工程力学一般研究方工程力学一般研究方法法工程力学解决问题的一般研究方法类似于工程力学解决问题的一般研究方法类似于一般科学研究的普遍方法，可归纳为：一般科学研究的普遍方法，可归纳为：对系统对系统进行抽进行抽 象与简象与简化，建化，建 立力学模型立力学模型与已知与已知结论相结论相 比较，比较，或由实或由实 验进行验证验进行验证提出问题，提出问题，利用力学原理利用力学原理确认或进一步确认或进一步选择有关的选择有关的进行分析、推进行分析、推改善模型，深改善模型，深研究系统研究系统
16、理，得出结论理，得出结论化认识化认识 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院13 / 2701绪绪论论按照方程中保留的未知量，求解方法可分为按照方程中保留的未知量，求解方法可分为 应力法（以应力法（以应力应力为未知量）为未知量） 位移法（以位移法（以位移位移为未知量）为未知量） 混合法（以混合法（以应力应力+位移位移为未知量）为未知量）精确解法：采用数学分析的手段求得精确解精确解法：采用数学分析的手段求得精确解 近近似解法：最有效的是基于能量原理的变分方法似解法：最有效的是基于能量原理的变分方法 数值方法：有限元法，有限差分法，边界元法等数值方法：有限元法，有限差分法，边界元法等 哈工大哈工大
17、 土木工程学院土木工程学院14 / 2701绪绪论论第第4节节弹塑性力学的发展梗概弹塑性力学的发展梗概通过实验探索物体的受力与变形之间的关系：通过实验探索物体的受力与变形之间的关系：1678年英国科学家虎克年英国科学家虎克(R.Hooke)提出提出 了固体材料的弹性了固体材料的弹性 变形与所受外力成正比变形与所受外力成正比虎克定律。虎克定律。1687年，牛顿确立运动三大定律。年，牛顿确立运动三大定律。弹性力学的理论基础建立期弹性力学的理论基础建立期18221828年，柯年，柯西发表了一系列论西发表了一系列论文文，明确提出了应力，明确提出了应力 和应变的概念，建立了弹性力学的平衡（运动）微分方程
18、、和应变的概念，建立了弹性力学的平衡（运动）微分方程、 几何方程和各向同性的广义虎克定律；几何方程和各向同性的广义虎克定律；1838年，格林年，格林用能量守用能量守恒恒定律证明了各向异性体有定律证明了各向异性体有21个独个独 立的弹性系数；立的弹性系数；1838年，汤母年，汤母逊又用热逊又用热力力学第一定律和第二定律证学第一定律和第二定律证明明了同了同 样的结论，同时进一步样的结论，同时进一步 证明了各向同性体有两个独立的弹性证明了各向同性体有两个独立的弹性系数。系数。15 / 27哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院01绪绪论论线性各向同性体弹性力学的发展时期：线性各向同性体弹性力学的发展
19、时期：1850年，基尔霍夫解决了平板的平衡和震动问题；年，基尔霍夫解决了平板的平衡和震动问题；1855-1856年，圣维南提出了局部性原理和半逆解法；年，圣维南提出了局部性原理和半逆解法；1862年，艾里解决了弹性力学的平面问题；年，艾里解决了弹性力学的平面问题；19世纪世纪70年代，建立了各种能量原理，并提出年代，建立了各种能量原理，并提出了了这些原这些原 理的近似计算方法。理的近似计算方法。弹性力学分支及相关边缘学科的形成和发展时期：弹性力学分支及相关边缘学科的形成和发展时期：1907年，卡门薄板的大挠度问题；年，卡门薄板的大挠度问题；1939年，卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；年
20、，卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；1937-1939年，莫纳汉和毕奥提出了大应变问题；年，莫纳汉和毕奥提出了大应变问题； 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院16 / 2701绪绪论论弹性力学分支及相关边缘学科形成、发展时期弹性力学分支及相关边缘学科形成、发展时期(续续)：1948-1957年，钱伟长用摄动法求解了薄板的大挠度问题；年，钱伟长用摄动法求解了薄板的大挠度问题；1954年，胡海昌建立了三类变量的广义势能原理和广义年，胡海昌建立了三类变量的广义势能原理和广义 余能原理余能原理; 1955年，鹫津久一郎也独立的导出了这一原理，年，鹫津久一郎也独立的导出了这一原理， 后来称胡海
21、昌后来称胡海昌-鹫津久一郎变分原理。鹫津久一郎变分原理。在这一时期，薄壁构件和薄壳构件的线性理论有了较大发在这一时期，薄壁构件和薄壳构件的线性理论有了较大发 展，还形成了诸如厚板和厚壳理论、各向异性和非均匀体的弹展，还形成了诸如厚板和厚壳理论、各向异性和非均匀体的弹 性力学、热弹性力学、粘弹性理论、水弹性理论以及气动弹性性力学、热弹性力学、粘弹性理论、水弹性理论以及气动弹性 力学等新的分支和边缘学科；相继提出了诸如差分法、有限单力学等新的分支和边缘学科；相继提出了诸如差分法、有限单 元法、边界元法、半解析数值法以及加权残值法等数值方法和元法、边界元法、半解析数值法以及加权残值法等数值方法和 半
22、解析半数值的方法。半解析半数值的方法。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 / 2701绪绪论论弹塑性力学发展时期：弹塑性力学发展时期：1773年，年，Coulomb提出提出Coulomb屈服屈服准则，后来推广准则，后来推广 为为Mohr-Coulomb屈服准则。屈服准则。1857年，朗肯研究了半无限体的极限平衡，提出了滑移年，朗肯研究了半无限体的极限平衡，提出了滑移面的概念。面的概念。 1903年，年，Kotter建立了滑移线方法。建立了滑移线方法。 1929年年，Fellenius提出了极限平衡法。提出了极限平衡法。19世纪世纪50年代初，年代初，Drucker提出提出Drucke
23、r塑性公设，对稳定塑性公设，对稳定 材料，证明了塑性应变增量与屈服面的正交性，并提出相关材料，证明了塑性应变增量与屈服面的正交性，并提出相关 联流动规则的概念。联流动规则的概念。19521955年，年， Drucker和和Prager等人发展了极限分析方等人发展了极限分析方 法。法。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院18 / 2701绪绪论论1957年年，Drucker等提等提出了静水压力会使岩土材料产生屈出了静水压力会使岩土材料产生屈 服的概念。服的概念。19581963年，年， Roscoe提出了土的临界状态概念，并建提出了土的临界状态概念，并建立了剑桥模型，从理论上阐明了正常固结粘
24、土和微超固结粘立了剑桥模型，从理论上阐明了正常固结粘土和微超固结粘 土土体弹塑性变形特性，开创了建立土体的实用模型的新阶土土体弹塑性变形特性，开创了建立土体的实用模型的新阶 段。段。1969年年，Roscoe等等人出版了临界状态土力学专著人出版了临界状态土力学专著，这这 是世界上第一本关于岩土塑性理论的专著，详细研究了土的是世界上第一本关于岩土塑性理论的专著，详细研究了土的 实用模型。实用模型。1982年，年，Desai等人也出版了一本工程材料本构定律等人也出版了一本工程材料本构定律专著，进一步阐明了岩土材料变形机制，形成了较系统的岩专著，进一步阐明了岩土材料变形机制，形成了较系统的岩 土塑性
25、力学。土塑性力学。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院19 / 2701绪绪论论1982年，年，Zienkiewicz提出了广义塑性力学的概念，指出岩提出了广义塑性力学的概念，指出岩 土塑性力学是传统塑性的推广。土塑性力学是传统塑性的推广。 20世纪世纪80年代的国内，年代的国内，清华模型、清华模型、“南水南水”模型及其他双模型及其他双 屈服面模型和多重屈屈服面模型和多重屈服面相继出现。服面相继出现。阐明了应力、应变的概念和理论；阐明了应力、应变的概念和理论； 弹弹性性力力学学和和弹弹塑塑性力性力学的学的基本基本理理论论框框架得以确立架得以确立。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院20
26、 / 2701绪绪论论现代现代力力学学的的发发展展及及其其特特点点材料与对象材料与对象： 金属、土木石等 新型复合材料、 高分子材料、 结构陶瓷、功能材料。尺尺 度度：宏观、连续体 含缺陷体，细、微观、 纳米尺度。实验技术实验技术： 电、光测试实验技术 全息、超声、 光纤测量，及实验装置的大型化。1、现代力学的发展、现代力学的发展 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院21 / 2701绪绪论论应用领域：航空、土木、机械、材料应用领域：航空、土木、机械、材料生命、微电生命、微电 子技术等。子技术等。设计准则：静强度、断裂控制设计、抗疲劳设设计准则：静强度、断裂控制设计、抗疲劳设 计、计、刚度设
27、计刚度设计 损伤容限设计、结构优化损伤容限设计、结构优化 设计、耐设计、耐久性设计和可靠性设计等。久性设计和可靠性设计等。设计目标：保证结构与构件的安全和功能设计目标：保证结构与构件的安全和功能 设计设计制造制造使用使用维护的综合性分析维护的综合性分析与控制，功能与控制，功能安全安全经济的综合性评价，经济的综合性评价， 自感知、自激励、自适应（甚至自诊断、自修复）自感知、自激励、自适应（甚至自诊断、自修复） 的智能结构。的智能结构。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院22 / 2701绪绪论论 引进新的科学技术成果，内容更加丰富：引进新的科学技术成果，内容更加丰富： 新材料复合材料、聚合物
28、等；新材料复合材料、聚合物等； 新概念失效、寿命等；新概念失效、寿命等； 新理论损伤、混沌等；新理论损伤、混沌等； 新方法数值方法、工程力学建模方法。新方法数值方法、工程力学建模方法。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院23 / 2701绪绪论论2现代力学的特点现代力学的特点与计算机应用相结合，与其他基础或技术学科与计算机应用相结合，与其他基础或技术学科 相互结合与渗透。相互结合与渗透。计算机应用计算机应用：计算力学计算力学+计算机应用计算机应用解决复杂、解决复杂、(60年代年代)困难的工程实际问题。困难的工程实际问题。使工程结构分析技术；（结合CAD技术） 监测、控制技术（如振动监测、故
29、障诊断）； 工程系统动态过程的计算机数值仿真技术；广泛应用至各工程领域。材料设计材料设计：按所要求的性能设计材料。按所要求的性能设计材料。(90年代年代) 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院24 / 2701绪绪论论智能结构：智能结构： 90年代开始，力学与材料、控制（包括年代开始，力学与材料、控制（包括 传感与激励）、计算机相结合，研究发展面传感与激励）、计算机相结合，研究发展面向向21世纪世纪 的、具有的、具有“活活”的功能的智能结构。的功能的智能结构。Th物力学：物力学： (70年代冯元祯博士年代冯元祯博士) 生物材料力学性能、生物材料力学性能、微循环、定量生理学、心血管系微循环、定
30、量生理学、心血管系 统临床问题和生物统临床问题和生物医学工程等。医学工程等。 “没有生物力学，就不能很好地了解没有生物力学，就不能很好地了解生理学。生理学。” 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院25 / 2701绪绪论论参考资料：参考资料：应用弹应用弹塑性力学塑性力学徐秉业徐秉业 弹性力学（上、下册）弹性力学（上、下册） 徐芝伦徐芝伦弹性力学弹性力学 塑性力学塑性力学杨桂通杨桂通 夏志皋夏志皋工程弹塑性力学工程弹塑性力学 岩土塑岩土塑性力学原理性力学原理 弹性理论弹性理论 弹性理弹性理论基础论基础孙炳楠等孙炳楠等 郑颖人郑颖人 铁木辛柯铁木辛柯 陆明万陆明万End哈工大哈工大 土木工程学院
31、土木工程学院26 / 2701绪绪论论1.1 张量概念张量概念 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是是 不以人们的意志为转移的。不以人们的意志为转移的。 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客客 观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的的 重要数学工具。重要数学工具。 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。张量分析具有高度概括、形式简洁
32、的特点。 所有与坐标系选取无关的量，统称为所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量物理恒量。第第1节节张量概念及其基本运算张量概念及其基本运算 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院27 / 4801绪绪论论 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物物 理量，统称为理量，统称为标量标量（Scalar ）。例如温度、质量、）。例如温度、质量、功功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的在一定单位制下
33、，除指明其大小还应指出其方向的物物 理量，称为理量，称为矢量矢量（Vector） 。例如速度、加速度。例如速度、加速度等。等。 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确确 定。定。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院28 / 4801绪绪论论 若我们以若我们以r 表示维度（如三维空间），以表示维度（如三维空间），以n 表示阶数，表示阶数， 则描述一切物理恒量的分量数目则描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成：可统一地表示成：M r n统一称这些物理量为张量（统一称这些物理量为张量（Tensor） 。当当n = 0时，零阶张量，时，零阶
34、张量，M = 1，标量；，标量； 当当n = 1时，时，一阶张量，一阶张量，M = 31，矢量；，矢量； 当当n = 2时，二阶张量，时，二阶张量，M = 32，矩阵；，矩阵；当取当取 n 时，时，n 阶张量，阶张量，M = 3n。 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几 何意义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换何意义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换29 / 48关系式来解释、定义。关系式来解释、定义。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院01绪绪论论由一组坐标系变换到另一组坐标系时，研究对象的分量由一组坐标系变换到另一组坐标
35、系时，研究对象的分量 若能按照一定规律变化，则称这些分量的集合为若能按照一定规律变化，则称这些分量的集合为张量张量。张量定义张量定义设（设（a1,a2,a3）、（）、（b1,b2,b3）、）、（、（s1,s2,s3）是矢）是矢 量量，Ti1i2in是与坐标选择有关的是与坐标选择有关的3n个独立变量，若当个独立变量，若当 坐标变换时，坐标变换时，n一次式一次式3 33F . Ti i .i ai bi .si1 2 n 1 2ni1 1 i2 1 in 1保持不变，则取决于脚标的保持不变，则取决于脚标的3n个量个量Ti1i2in 的集合称的集合称 为为 n 阶张量阶张量，其中每个元素称为此张量的
36、，其中每个元素称为此张量的分量分量。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院30 / 4801绪绪论论1.2 指标记法指标记法 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区区 别该张量的所有分量。别该张量的所有分量。 不重复出现的下标符号称为不重复出现的下标符号称为自由标号自由标号。自由标号在。自由标号在其其 方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的量的 阶次。阶次。 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑哑标标 号号或或假标号假标号。哑标号在其方程内先
37、罗列，再求和。哑标号在其方程内先罗列，再求和。 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三三 维空间，即变程为维空间，即变程为3。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院31 / 4801绪绪论论矢量矢量V 的方式表示：的方式表示：vi 代表矢量代表矢量V 的所有分量，的所有分量， 即当即当V 写作写作vi 时，指标的值从时，指标的值从1到到3 变化。变化。V (v1,v2 ,v3 )3i 1 v1e1 v2e2 v3e2 viei vi1ee2e3x1f (X ) f (xi )=f (xj )=f (x1,x2 ,x3 )x2x3 o1 2
38、3P v ,v ,vVV1V2V3 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院32 / 4801绪绪论论aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3i 13aijbj aijbj ai1b1 ai 2b2 ai 3b3i 1 j 1j 13 3aijbicj aijbicj a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3a21b2c1 a22b2c2 a33b2c3a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3展开式展开式（3项）项）展开式展开式（9项）项）3 3 3aijk xi x j xk aijk xi x j xk展开式展开式（27项）项）1.3 求和约定求和约定关于哑标号应理解为取
39、其变程关于哑标号应理解为取其变程N内所有数值，然后再内所有数值，然后再 求和，这就叫做求和约定。求和，这就叫做求和约定。333 / 48i 1 j 1 k 1哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院01绪绪论论3ii ii1122 33j 1a2 a2 a2 a2 a2 2322 aa (a a a ) i 1 ii ii 1122 333 3 ij ij ij ij i 1 j 1 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院34 / 4801绪绪论论aibi xi关于下标的约定可以总结为以下
40、三条规则：关于下标的约定可以总结为以下三条规则：1. 如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次，如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次， 则称之为则称之为自由指标自由指标，这种自由指标在表达式或方程的每一，这种自由指标在表达式或方程的每一 项中必须只出现一次。项中必须只出现一次。2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两 次，则称之为次，则称之为哑标哑标，它表示从，它表示从1到到3求和。哑标在其他任何求和。哑标在其他任何 项中可以刚好出现两次，也可以不出现。项中可以刚好出现两次，也可以不出现。3. 如果在一个
41、表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数 多于两次，则是错误的。多于两次，则是错误的。n是违约是违约的，求和时要保留求和号的，求和时要保留求和号 aibi xii1 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院35 / 4801绪绪论论例题例题：利用求和约定缩写下面线性方程组利用求和约定缩写下面线性方程组a11x1 a12 x2 a13 x3 b1a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31x1 a32 x2 a33 x3 b3解：作为第一步缩写，可以写成：解：作为第一步缩写，可以写成：a1 j xj b1a2 j xj b2a3 j xj
42、b3最后可以缩写为：最后可以缩写为： aij x j bi其中其中i 称为自由标，称为自由标，j 称为哑标。称为哑标。哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院36 / 4801绪绪论论例题：例题：描述描述Cij=AikBjk的意义。的意义。解：解： Cij=AikBjk，则表明，则表明i ，j为自由指标，为自由指标，k 为哑标为哑标表示表示9个方程：个方程：C11 A1k B1k A11B11 A12 B12 A13B13 C12 A1k B2k A11B21 A12 B22 A13B23 C13 A1k B3k A11B31 A12 B32 A13B33C21 A2k B1k A21B11 A
43、22 B12 A23B13C33 A3k B3k A31B31 A32 B32 A33B33哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院37 / 4801绪绪论论关于求和标号（哑标）说明：关于求和标号（哑标）说明： 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字 母母可以任意改变。可以任意改变。2222ii1122 33a a a a22ii1122 33(a ) (a a a )ororS ai xi aj xj ak xk 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算
44、前在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就就 先求和。先求和。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院38 / 4801绪绪论论规定规定： 出现双出现双重指标但不求和时，在指标下方加重指标但不求和时，在指标下方加划划线线 以示区别，或用文字说明（如以示区别，或用文字说明（如 i 不求和）。不求和）。Ri Ci Ei Ci Ei这里这里 i 相当于一个自由指相当于一个自由指 标，而标，而 i 只是在数值上等只是在数值上等 于于 i，并不与，并不与 i 求和。求和。例外情况例外情况R1 C1E1R2 C2 E2R3 C3 E3 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院39 / 4801绪绪论论
45、又如，又如，方程方程2221231 1 12 2 23 3 3 用指标法表示，可写成用指标法表示，可写成 i i i i i i i i i i ii 不参与求和，只在数值上等于不参与求和，只在数值上等于 i 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院40 / 4801绪绪论论关于自由标号：关于自由标号： 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且且 标号字母相同。标号字母相同。aij x j bi 自由标号的数量确定了张量的阶次。自由标号的数量确定了张量的阶次。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院41 / 4801绪绪论论ijij 0 0 1
46、1 , 当 i j 时；或： 0 1 0 0 , 当 i j 时； ijvj = vi 即在将即在将 ij 应用于应用于vj 只是将只是将vj中的中的j 用用i 置换；置换； 对于对于单位矢量，点积单位矢量，点积eiej = ij ；其其他他关于关于Kronecker符符号的描述可以参考孙炳楠的工程弹号的描述可以参考孙炳楠的工程弹 塑性力学及相关张量的其他文献。塑性力学及相关张量的其他文献。1.4 Kronecker delta（ ij）符号）符号 ij是是张张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号，亦称单量分析中的一个基本符号称为柯氏符号，亦称单 位张量位张量,也叫置换算子也叫置换算子.其定义为
47、：其定义为： 1 0 0 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院42 / 4801绪绪论论 ij 的作用与计算示例：的作用与计算示例：(1) ii 11 22 33 3(2) ( )2 ( )2 ( )2 3ij ij112233(3) ij jk i1 1k i 2 2k i 3 3k ik(4) aij ij a11 11 a22 22 a33 33 aii(5) ai ij a1 1 j a2 2 j a3 3 j aj (即a1 ,或a2 ,或a3 )(6) ij l j li ij l j ijl j ( ij ij )l j 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院43 / 4801
48、绪绪论论若若e1，e2，e3是相互垂直的单位矢量，则是相互垂直的单位矢量，则ei ej = ijei ei = e1 e1 + e2 e2 + e3 e3= 11 22 33 3ei ei = ii注意：注意： ii是一个数值（是一个数值（3） ij的作用：的作用：1）换指标；）换指标；2）选择求和。）选择求和。 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院44 / 4801绪绪论论例例3：特别地特别地例例1：完成脚标变换完成脚标变换 AiAk ki Ai kk Ak Ak思路：把要被替换的指标思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用变成哑标，哑标能用 任意字母，因此可用变换后的字母任意字母，
49、因此可用变换后的字母 k 表示。表示。例例2：完成变换完成变换 TkjTij ikTkj iiTij Tij ik kj ij ik kj jm imAmi Bnj 代表代表34=81个数，求个数，求 m=n时各项的和。时各项的和。 mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院45 / 4801绪绪论论张量的运算法则与矢量相类似。张量的运算法则与矢量相类似。 如：张量相等即对应分量如：张量相等即对应分量相等；相等； 张量相加即对应分量相加；张量相加即对应分量相加；张量相乘构成一个阶数是原张量的阶数之和的新张量；张量相乘构成一个阶数是原张量的阶数之和
50、的新张量；n 阶张量缩并后变为阶张量缩并后变为n-2 阶张量等等。阶张量等等。1.5 张量的基本运算张量的基本运算 哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院46 / 4801绪绪论论A、张量的加减：张量的加减：凡是同阶的张量可以相加（减），并得到同阶的张量，凡是同阶的张量可以相加（减），并得到同阶的张量， 它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。aij bij cij若若 a 为一矢量，则为一矢量，则 (T S) a = T a S a其分量为：其分量为： (T S )i j = ei (T S ) ej= ei T ej ei S ej=
