1、二、分形的数学研究二、分形的数学研究研究结论研究结论拓展学习拓展学习附录附录一、分形的相关资料一、分形的相关资料目录目录什么是分形几何？什么是分形几何？分形几何的诞生分形几何的诞生分形几何向传统欧氏几何提出的挑战分形几何向传统欧氏几何提出的挑战分形的艺术欣赏分形的艺术欣赏科赫雪花曲线（包括数学研究结果）科赫雪花曲线（包括数学研究结果）朱利亚集朱利亚集曼德尔布罗特集曼德尔布罗特集三、我们的研究三、我们的研究谢尔斯基三角形的探究谢尔斯基三角形的探究自创分形并加以研究自创分形并加以研究高二（高二（2） 分形几何课题小组分形几何课题小组组长：林文成组长：林文成组员：姚潇华（记录员）组员：姚潇华（记录员
2、） 薛文鸿（电脑操作员）薛文鸿（电脑操作员） 黄昱霖（资料搜集整理）黄昱霖（资料搜集整理） 杨康炜（资料搜集整理）杨康炜（资料搜集整理） 陈敏捷（资料搜集整理）陈敏捷（资料搜集整理）指导老师：郑天宇、周灵、孙世健指导老师：郑天宇、周灵、孙世健什么是分形几何？什么是分形几何？ “分形几何分形几何”通俗一点说就是研究无限复杂但通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。所具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。所谓谓“自相似自相似”，例如一棵苍天大树与它自身上的树，例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么
3、大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；例如高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如例如高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。 分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。描述大自然的几何学。分形几何的诞生分形几何的诞生 “ “分形分形”一词译于英文一词译于英文FractalFractal，系分形几系分形几何的创始人曼德尔布罗特（何的创始人曼德尔布罗特（B.B.B.B.Mandelb
4、rotMandelbrot）于于19751975年由拉丁语年由拉丁语FrangereFrangere一词创造而成，词本身一词创造而成，词本身具有具有 破碎破碎 、 不规则不规则 等含义。等含义。MandelbrotMandelbrot研究研究中最精彩的部分是中最精彩的部分是19801980年他发现的并以他的名字年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。方式构成自相似的结构。Mandelbrot Mandelbrot 集合图形集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计的边界处，具有无限复杂和精细的结构。
5、如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。她的边界。 （见图见图1 1） 图图2 2、图、图3 3将图将图1 1中两个矩形框区域放大后的中两个矩形框区域放大后的图形。图形。 你会惊奇地发现：当你放大某个区域，它的你会惊奇地发现：当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。无论您怎结构就在变化，展现出新的结构元素。无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，生活中是不存在
6、的。所以说，MandelbrotMandelbrot集合是集合是向传统几何学的挑战。向传统几何学的挑战。 他开创了一个全新的几何他开创了一个全新的几何学的分支！学的分支！分形几何向传统欧氏几何提出的挑战分形几何向传统欧氏几何提出的挑战 多少世纪以来，人们总是用欧几里得几何的对象和多少世纪以来，人们总是用欧几里得几何的对象和概念（诸如点、线、平面、空间、正方形、圆概念（诸如点、线、平面、空间、正方形、圆）来描述我们这个生存的世界。而非欧几何的发现，引来描述我们这个生存的世界。而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现象的新的对象。分形就是这样一种对进了描画宇宙现象的新的对象。分形就是这样一种对象。可以说
7、分形几何揭示了世界的本质，分形几何是象。可以说分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。真正描述大自然的几何学。 可能有人感到，只有欧几里得几何的正规形状才可能有人感到，只有欧几里得几何的正规形状才能应用在科学中，然而分形的形式却从不同的透视角能应用在科学中，然而分形的形式却从不同的透视角度向我们提供了认识自然的观点。度向我们提供了认识自然的观点。 分形是一个新的数学领域分形是一个新的数学领域有时也把它归为有时也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、海岸线等自描绘了诸如地震、树、树枝、
8、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天文、经济、气象、电影制片等方然现象，而且在天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应用。所以说，分形几何突破了传统欧面也有广泛应用。所以说，分形几何突破了传统欧氏几何的局限，开创了前所未有的研究领域。氏几何的局限，开创了前所未有的研究领域。 分形的艺术欣赏分形的艺术欣赏 分形图可以体现出许多传统美学的标准，如平分形图可以体现出许多传统美学的标准，如平衡、和谐、对称等等，但更多的是超越这些标准的衡、和谐、对称等等，但更多的是超越这些标准的新的表现。比如，分形图中的平衡，是一种动态的新的表现。比如，分形图中的平衡，是一种动态的平衡，一种画面各个部分在变化过程中相互
9、制约的平衡，一种画面各个部分在变化过程中相互制约的平衡；分形图的和谐是一种数学上的和谐，每一个平衡；分形图的和谐是一种数学上的和谐，每一个形状的变化，每一块颜色的过渡都是一种自然的流形状的变化，每一块颜色的过渡都是一种自然的流动，毫无生硬之感；而最特别的是分形的对称，它动，毫无生硬之感；而最特别的是分形的对称，它既不是左右对称也不是上下对称，而是画面的局部既不是左右对称也不是上下对称，而是画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。在分形图中更多的是分叉、缠绕、不规整的边缘和在分形图中更多的是分叉、缠绕、不规整的边缘和丰富的变换，它给我
10、们一种纯真的追求野性的美感，丰富的变换，它给我们一种纯真的追求野性的美感，一种未开化的，未驯养过的天然情趣。一种未开化的，未驯养过的天然情趣。 （图库图库）图图1图图2图图3分形的数学探究分形的数学探究（1 1）通过分形图的欣赏，体会分形的思想，初步认）通过分形图的欣赏，体会分形的思想，初步认识分形；感悟数学与艺术在审美上的统一，提高审识分形；感悟数学与艺术在审美上的统一，提高审美情趣；认识事物在简单中孕育着复杂的辩证观点，美情趣；认识事物在简单中孕育着复杂的辩证观点，发展辩证思维；体会计算机图形技术和迭代思想在发展辩证思维；体会计算机图形技术和迭代思想在分形研究中的重要作用。分形研究中的重要
11、作用。（2 2）认识康托尔三分集、科赫曲线与科赫雪花曲线、）认识康托尔三分集、科赫曲线与科赫雪花曲线、朱利亚集、曼德尔布罗特集、谢尔宾斯基垫片与地朱利亚集、曼德尔布罗特集、谢尔宾斯基垫片与地毯、门杰海绵、皮亚诺曲线等基本分形，掌握其构毯、门杰海绵、皮亚诺曲线等基本分形，掌握其构造方法，能能用几何画板作出生成它们的头几造方法，能能用几何画板作出生成它们的头几步图形，并对曲线的步图形，并对曲线的“生长生长”规律进行研究。规律进行研究。科赫雪花曲线科赫雪花曲线 从它的任何一个局部经过放大从它的任何一个局部经过放大, ,都可以得到一个都可以得到一个和整体全等的图形和整体全等的图形. . 经过经过n次次
12、曲线曲线“生长生长”的规律的规律（1）边数：）边数：（2）边长：）边长：（3）周长：）周长：（4）尖角：）尖角：（5）面积：）面积：143nna131nnb1243nnnc241nnd58lim,94531nnnnSS朱利亚集朱利亚集 按照一定的数学原理在平面上构造的点集。按照一定的数学原理在平面上构造的点集。朱利亚集具有异常美丽的形状朱利亚集具有异常美丽的形状, ,并且利用他可以模并且利用他可以模拟出山峰拟出山峰, ,云彩云彩, ,湖泊等等自然景观湖泊等等自然景观, ,以下四个图形以下四个图形都是朱利亚集的图形。都是朱利亚集的图形。 曼德尔布罗特集曼德尔布罗特集 原始图形如下原始图形如下,
13、,从它出发从它出发, ,每个细部都可以演绎每个细部都可以演绎出美丽无比的梦幻般的仙境似的图形。出美丽无比的梦幻般的仙境似的图形。 前人研究的并发现的分形是丰富多前人研究的并发现的分形是丰富多彩的，他们为后人的研究开辟了道路，彩的，他们为后人的研究开辟了道路，指导了方向，这些前人的探究成果是我指导了方向，这些前人的探究成果是我们初步了解到什么是分形，并且认识到们初步了解到什么是分形，并且认识到分形几何所蕴涵的知识的探究价值。这分形几何所蕴涵的知识的探究价值。这深深的激发了我们对分形几何的兴趣。深深的激发了我们对分形几何的兴趣。我们的研究我们的研究 我们用课本学过的方法如如累积法、累加法等，我们用
14、课本学过的方法如如累积法、累加法等，对简单分形几何图形展开研究。对简单分形几何图形展开研究。1.曲线曲线“生长生长”过程中的有哪些数量特征可以研究？过程中的有哪些数量特征可以研究？ 边数、边长、周长、顶点数、尖角的个数、面积等边数、边长、周长、顶点数、尖角的个数、面积等变化规律。变化规律。2.应用的知识与方法：应用的知识与方法：（1）公式法（适合于等差、等比数列）；）公式法（适合于等差、等比数列）；（2）差项法；）差项法；（2）观察、归纳、猜想、证明（数学归纳法）；）观察、归纳、猜想、证明（数学归纳法）；经过经过n次次1.谢尔斯基三角形的探究谢尔斯基三角形的探究三角形形状：边 长（l）面积：底
15、X 高/2相 差 倍 数值每个三角形分离的图形总数新增图形与初始三角形比2.自创分形并加以研究自创分形并加以研究总结：总结： 在对分形的初步认识的基础上，我们进一步在对分形的初步认识的基础上，我们进一步利用自己所学到的知识（如：数列利用自己所学到的知识（如：数列.数学归纳法等）数学归纳法等）着重对谢尔斯基三角形进行探究，并得到了它的着重对谢尔斯基三角形进行探究，并得到了它的渐变规律等结论。渐变规律等结论。 在对已知分形的基础上，我们自己创造出了在对已知分形的基础上，我们自己创造出了一个分形图形，并再次运用所学的知识探究了它一个分形图形，并再次运用所学的知识探究了它“生长生长”的规律，其结果符合
16、我们对分形的认识。的规律，其结果符合我们对分形的认识。 这次成功既是我们研究的收获，也奠定了我这次成功既是我们研究的收获，也奠定了我们继续研究的信心。们继续研究的信心。1.图片举例图片举例2.英国海岸线中的分形英国海岸线中的分形3结论结论拓展学习拓展学习结论结论开展研究性学习的目的之一就是寻求课本之外的知识来充实自己。因此我们离开书本，把目光移向周围的事物，这才发现原来分形就存在于我们身边，故我们探究了现实中最具价值的英国海岸线问题。结果着实令人满意。我们学会了利用分形知识来分析身边的事物，这样锻炼了我们的分析，语言，组织等能力，真是收益非浅。1.心得体会心得体会2.收获收获3.结论结论分形几何：分形几何：http:/
