1、综合与实践综合与实践 平面图形的镶嵌平面图形的镶嵌1.1.经历平面图形镶嵌的探索过程，进一步发展探经历平面图形镶嵌的探索过程，进一步发展探究意识、积累探究经验究意识、积累探究经验. .2.2.认识多边形镶嵌平面的条件，并能运用其中的认识多边形镶嵌平面的条件，并能运用其中的一种或几种图形进行平面图形镶嵌；了解构造基一种或几种图形进行平面图形镶嵌；了解构造基本镶嵌图案的一些方法。本镶嵌图案的一些方法。3.3.经历小组合作和交流过程，进一步积累合作与经历小组合作和交流过程，进一步积累合作与交流的活动经验，增强合作意识交流的活动经验，增强合作意识. .4.4.通过图案设计活动，发展空间观念、以及综合通
2、过图案设计活动，发展空间观念、以及综合运用数学知识解决问题的能力。运用数学知识解决问题的能力。一、认识平面图形的镶嵌一、认识平面图形的镶嵌我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案. 观察在线观察在线美丽的镶嵌图案美丽的镶嵌图案欣赏时空欣赏时空美丽的镶嵌图案欣赏时空欣赏时空 用用形状、大小完全相同形状、大小完全相同的的一种或几种一种或几种平面平面图形进行拼接，彼此之间图形进行拼接，彼此之间不留空隙不留空隙、不重叠不重叠地地铺成一片，这就是铺成一片，这就是平面图形的镶嵌平面图形的镶嵌。平面图形的镶嵌平面图形的镶嵌观察小结观察小结二、探索正多边形的镶
3、嵌二、探索正多边形的镶嵌 探索活动探索活动 在平面内，各角相等，各边也都相等的多边在平面内，各角相等，各边也都相等的多边形叫做形叫做正多边形正多边形。 边数为边数为n n的多边形的内角和等于的多边形的内角和等于（n-2)n-2)180180知识介绍：知识介绍：问问 题：题： 用大小相同的用大小相同的正三角形、正六边形正三角形、正六边形能否镶能否镶嵌平面？简述你的理由。能否用嵌平面？简述你的理由。能否用正五边形正五边形镶嵌镶嵌平面？平面？正三角形的镶嵌正三角形的镶嵌正六边形的镶嵌正六边形的镶嵌思考思考 探究探究 除正三角形、正四边形、除正三角形、正四边形、正六边形能镶嵌平面外，还能正六边形能镶嵌
4、平面外，还能找到其他能镶嵌平面的正多边找到其他能镶嵌平面的正多边形吗？形吗？合作议论归纳合作议论归纳2.2.用大小相同的用大小相同的正三角形、正四边形、正三角形、正四边形、正六边形正六边形都可以镶嵌平都可以镶嵌平面，其他正多边形都不面，其他正多边形都不可以镶嵌平面。可以镶嵌平面。1.1.同一种正多边形同一种正多边形是否可以镶嵌平面的关是否可以镶嵌平面的关键是：键是：一种正多边形的一种正多边形的一个内角的倍数是否一个内角的倍数是否360360。 对于正对于正n边边形，其内角形，其内角都都为为 ， 在每个拼结点处，设可以将在每个拼结点处，设可以将m个内角彼个内角彼此无重叠、无缝隙地拼结在一起，则此
5、无重叠、无缝隙地拼结在一起，则 m =360 ,m(n-2) =2n, mn-2m+4-2n=4 m(n 2)-2(n-2)=4 , (m-2)(n-2)=4, m ，n是正整数是正整数 ，因此，因此m-2， n-2都是的因子，都是的因子， m，n的取值仅有三种可能：的取值仅有三种可能： m=6，n=3； m=4，n=4 ； m=3，n=6。(n-2)180n(n-2)180n合作议论归纳合作议论归纳2.2.用大小相同的用大小相同的正三角形、正四边形、正六边形正三角形、正四边形、正六边形都可以镶嵌都可以镶嵌平面，其他正多边形都不可以镶嵌平面。平面，其他正多边形都不可以镶嵌平面。1.1.同一种正
6、多边形同一种正多边形是否可以镶嵌平面的关键是：是否可以镶嵌平面的关键是：一种正多边形一种正多边形的一个内角的倍数是否的一个内角的倍数是否360360。 (n-2)180n三、探索用两种正多边形镶嵌平三、探索用两种正多边形镶嵌平面的条件面的条件.正方形的每个内角是正方形的每个内角是9090，正三角形的每个内，正三角形的每个内角是角是6060，对于某个拼结点处，设有，对于某个拼结点处，设有x x个个6060角，角，有有y y个个9090角，则：角，则：6060 x x+90+90y y=360=360即：即：2 2x x+3+3y y=12=12又又x x、y y是正整数是正整数解得：解得：x x
7、=3,=3,y y=2=2即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接形的两个内角进行拼接.(.(如上图如上图) )(1)正三角形与正方形正三角形与正方形正三角形的每个内角是正三角形的每个内角是6060，正六边形的，正六边形的每个内角是每个内角是120120，对于某个拼结点处，设，对于某个拼结点处，设有有x x个个6060角，有角，有y y个个120120角，即：角，即：60 x+120y=36060 x+120y=360即即x+2y=6x+2y=6x x、y y是正整数是正整数解得：解得：2214yxyx或即：每个顶点处用四个正三角形和
8、一个正六边形，即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形，或者用二个正三角形和两个正六边形，如上图或者用二个正三角形和两个正六边形，如上图. .(2)正三角形与正六边形正三角形与正六边形结论：结论：由由n n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：(1)n(1)n个正多边形中一个内角的和的倍数是个正多边形中一个内角的和的倍数是360360(2)n(2)n个正多边形的边长相等，或其中一个或个正多边形的边长相等，或其中一个或n n个个正多边形的边长是另一个或正多边形的边长是另一个或n n个正多边形的边长的个正多边形的边长的整数倍整数倍. .(3)正三角形和正
9、十二边形正三角形和正十二边形与前一样讨论，得每个顶点处用与前一样讨论，得每个顶点处用一个正三角形和一个正三角形和两个正十二边形两个正十二边形由以上讨论可找到镶嵌平面的条件由以上讨论可找到镶嵌平面的条件.四、探索任意三角形、四边形的镶嵌四、探索任意三角形、四边形的镶嵌 用用形状、大小完全相同的三角形形状、大小完全相同的三角形能否镶嵌平面？能否镶嵌平面？如果能，观察每个拼接点处有几个角，它们与这如果能，观察每个拼接点处有几个角，它们与这种三角形的三个内角有什么关系。如果不能，说明种三角形的三个内角有什么关系。如果不能，说明为什么。为什么。 用同一种四边形能否镶嵌平面呢？用同一种四边形能否镶嵌平面呢
10、？ ？ ？问题问题实践之窗实践之窗实践之窗实践之窗任意三角形的镶嵌任意三角形的镶嵌任意四边形的镶嵌任意四边形的镶嵌实践小结实践小结用同一种三角形可以镶嵌平面用同一种三角形可以镶嵌平面用同一种四边形可以镶嵌平面用同一种四边形可以镶嵌平面平面图形能镶嵌平面的条件是，每个拼接点处平面图形能镶嵌平面的条件是，每个拼接点处的多边形各的多边形各内角之和能组合成内角之和能组合成 180 180或或360360五、利用可以镶嵌的基本图形来设计新的五、利用可以镶嵌的基本图形来设计新的镶嵌图形镶嵌图形怎样利用怎样利用可以密铺的基本图形可以密铺的基本图形来来设计设计新的可以密铺的新的可以密铺的图形？图形？思考时空思
11、考时空在原图上截在原图上截下一部分把下一部分把它平移到相它平移到相对位置，组对位置，组成一个新的成一个新的图形，则新图形，则新的图形可以的图形可以进行密铺进行密铺画一个正方画一个正方形；形；取正方形一边取正方形一边的中点，的中点， 画出部分画出部分1 1， 并将其剪下并将其剪下 补补在在2 2的位置上；的位置上；同样，画出部同样，画出部分分3 3， 并将并将其剪下补在其剪下补在 2 2 的位置上；的位置上；经过上述步骤经过上述步骤后，得到一个后，得到一个新的图案。新的图案。1.1.全等的图形之间无缝隙、不重叠全等的图形之间无缝隙、不重叠4.4.图案设计要有自己的图案设计要有自己的创意创意设计密
12、铺图案的方法与要求设计密铺图案的方法与要求:2.2.选取一个选取一个可以密铺的图案可以密铺的图案( (三角形三角形, ,四边四边形形, ,六边形等六边形等).).在原图上在原图上截下截下一部分把它一部分把它平平移移到相对位置，组成到相对位置，组成一个新的图形一个新的图形，以新，以新的图形为的图形为基本图案基本图案可以进行密铺可以进行密铺3.3.应该是应该是”铺铺”出来的而不是出来的而不是”画画”出来的出来的欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空欣赏时空 如何以下图中的（如何以下图中
13、的（1 1）、（）、（2 2）为拼图的）为拼图的“基本单基本单位位”，拼出图（，拼出图（3 3）、（）、（4 4）、（）、（5 5）、（）、（6 6）？如果允）？如果允许图形作轴对称变换，那么还可以拼出怎样的图案？许图形作轴对称变换，那么还可以拼出怎样的图案？交流交流乐园乐园（1）（3）（2）（5）（4）（6）（10 ）（8）（9）（7）收获与评价收获与评价 本节课你有什么收获和感受？本节课你有什么收获和感受？ 本节课你有什么疑惑和问题？本节课你有什么疑惑和问题？ 你能给自己和同伴在本节课的学习你能给自己和同伴在本节课的学习 作个评价吗？作个评价吗？ 课堂小结课堂小结学习目标学习目标镶嵌的含义镶嵌的含义镶嵌的条件镶嵌的条件镶嵌的应用镶嵌的应用(观察观察 感悟感悟) )(实践实践 理解理解)( (经历经历 感受感受) )思想思想方法方法观察、实验、探究、观察、实验、探究、合作、比较、归纳合作、比较、归纳解决解决问题问题 探索平面图形的镶嵌探索平面图形的镶嵌学到了什么？学到了什么？ 为我校为我校40年校庆献礼年校庆献礼实践作业实践作业 用彩色卡纸设计图案（其中用彩色卡纸设计图案（其中蕴含平移、旋转、轴对称以及平蕴含平移、旋转、轴对称以及平面图形镶嵌知识）面图形镶嵌知识）
