1、1第三章 习题21. 原子质量为m，间距为a，恢复力常数为的一维简单晶格，频率为格波un=Acos(t-qna). 求(1)该波的总能量，(2)每个原子的时间平均总能量3(1) 格波的总能量为各原子能量的总和，其中第n个原子的动能为21,2numt211.2nnuu解答解答而该原子与第n+1个原子之间的势能为若只考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为22111.22nnnnnuEmuut4将cosnuAtqna代入上式得：222222111sin4sin21sin2222nnqaEmAtqnaAtnqa2011sin2TtdtT设为原子振动的周期，利用2222220011111sin4sin21
2、sin2222TTnnqaEmAtqna dtAtnqadtTT22221sin42qamA NA N可得式中为原子总数5（）每个原子的时间平均总能量则为22221sin42EqamAAN22241 cossin2qaqamm2212EmAN再利用色散关系便得到每个原子的时间平均能量62一维复式格子，原子质量都为m，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同，力常数不同，分别为1和2，晶格常数为a，求原子的运动方程及色散关系.7此题实际是一双原子分子链设相邻分子间两原子的力常数为2，间距为b；分子内两原子力常数为1；晶格常数为a.第n-1, n, n+1, n+2个原子的位移分别为un-1,
3、un, un+1, un+2, 第n-1与第n+1个原子属于同一种原子，第n与第n+2个原子属于同一种原子.第n和第n+1原子受的力分别为2111112121,nnnnnnnnnnfuuuufuuuu解答解答8其运动方程分别为22111221121212.nnnnnnnnnnd umuuuudtd umuuuudt设格波的解分别为1221221.ni qatiqnatnni qa qbtiqnatnuAeAeuB eBe9代入运动方程，得221212,.iqaiqamABAABemBAeBBA212212211200.iqaiqamAeBeAmB整理得由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式
4、必定为零，即21221221120iqaiqameem10解上式可得：1221222212221212122122121624sin22411sin2mqammmqam 12122212212411sin,2Aqam 由上式知，存在两种独立的格波，声学格波的色散关系为光学格波的色散关系为12122212O21241+ 1sin.2qam 115设有一长度为的一价正负离子构成的一维晶格，正负离子间距为a，正负离子的质量分别为m+和m-，近邻两离子的互作用势为 ，式中e为电子电荷，b和n为参量常数，求(1) 参数b与e，n及a的关系；(2) 恢复力系数；(3) q=0时光学波的频率0；(4) 长声
5、学波的速度vA；(5) 假设光学支格波为一常数，且=0，对光学支采用爱因斯坦近似，对声学波采用德拜近似，求晶格热容。2( )nebu rrr 12(1) 若只计近邻离子的相互作用，平衡时，近邻两离子的互作用势能取极小值，即要求解答解答( )0.r adu rdr21.ne abn由此得到(2) 恢复力系数22231( )r aend u rdra13(3)光学波频率的一般表达式参见固体物理教(321) 式12212221221216sin.22omMqamMmMmM 对于本题，a=2a， 1=2=，m=m+，M=m-所以q=0的光学波频率122321.oemmna m m14(4) 由固体物理
6、教程(3.25)式可知，长声学波频率1212.AaqmM 2.2Aaqmm221.AAenvqa mm对于本题长声学波的速度231ena15光学波对热容的贡献22,1EETOEVOBTdELeCkdTaTe其中E是爱因斯坦温度，其定义为oEBk 按照德拜模型，声学波的模式密度( ).ALDv.1oBoOk TLEa e(5) 按照爱因斯坦模型，光学波的热振动能q2a2a布里渊区允许的波矢数目等于原胞数目L/2a每个波矢点占据区域：22aLLa16波矢密度2L利用 = vAq声学波在dq的模式数目d = vAdq22ALLdqdvq2a2a声学波的模式密度22AALLvv17200( ).11D
7、DBTBAk TxAk TDdLxdxEeve声学波的热振动能其中,DDBBxk TkD和D分别为德拜频率和德拜温度德拜频率可由下式求得00( )DDDAALLLDddavvADva18声学波对热容的贡献222001 222220( ).11211DDBDxTABVAk TxAxTBxdELk TdDdx e dxCdTdTevea mmLk Tx e dxene在高温情况下，ex=1+x，上式化成1 2222201 22221121DxTBVAxBDa mmLk Tx e dxCenea mmLken先求出高温时的a，再求CVA更容易19在甚低温条件下，,DT 1 222,21BVAa mm
8、Lk TCCen2201DxTxx e dxCe.VVOVACCC其中是一常数晶格的热容209求一维简单晶格的模式密度D()21一维简单晶格的色散关系曲线如图所示由色散曲线对称性可以看出，d区间对应两个同样大小的波矢区间dq，2/a 区间对应L/a个振动模式，单位波矢区间对应有L/2 个振动模式d范围则包含22dqLdqL解答解答个振动模式22L dqd单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为1 2cos.2dqaadqm1 2222012( )1 sin2LmLDaqaa 由色散关系得将上式代入前式，得到模式密度22dqLdqL22241 cossin2qaqam
9、m2312. 设一长度为L的一维简单晶格，原子质量为m，间距为a，原子间的互作用势可表示成()cos()UA 试由简谐近似求（1）色散关系（2）模式密度D()（3）晶格热容（列出积分表达式）。24(1)根据已知条件，可求原子间的弹性恢复力系数求解求解220222()()ad Ud UAdrda0sin()2qa将上式代入固体物理教程一维简单晶格的（3.7）式得到色散关系其中1202()Aa m1/22sin()2qam25（2）根据固体物理教程（3.7）式，一维简单晶格简正振动格波的色散关系式为2sin()2qam此式表明为q偶函数。设D()、D(q)分别表示单位频率间隔内和q空间中单位间隔内
10、振动方式数，考虑到振动方式总数为原子总数N，可得00( )( )aaDdD q dqN262( )( )aaD q dqD qNa( )2NaD q1122222002cos()1 sin() ()2222dqaaqaadqm02m由D(q)为常数得0000( )( )2( )aadDdDdqD q dqdq( )2 ( )dDD qdq因此再由得又式中27由此得11221201222021( )2 ( )()()2()dNa aNDD qdq281Bk Te00( )1Bk TDdEe0202202()(1)BBk TvBk TBdELedCkk TdTae（3）频率为的格波的热振动能为这个
11、晶格的热振动能则晶格的热容1222021( )()ND2913. 对于一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高低温极限。30按照德拜模型，格波色散关系为=vq。由色散曲线对称性可以看出，d区间对应两个同样大小的波矢区间dq。2/a区间对应L/a个振动模式，单位波矢空间对应有L/2个振动模式，d范围则包含求解求解个振动模式。22dqLdqLdzqaa031单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为( )dzL dqLDddv00( )LDdNa再利用 式中N为原子总数，a为晶格常数得 0va32固体物理教程（3.119）式得其热容量00220022( )()()
12、()(1)(1)BBBBk Tk TvBBk Tk TBBeDdLedCkkk Tk Tvee作变量变换Bxk T2220(1)DxTBvxLk Te x dxCve得其中0DBk33在高温时，x是小量，上式中被积函数221(1)xxe xevBBLCkNka因此，晶格的高温热容量在甚低温时，D/T，Cv中的被积函数按二项式定理展开级数则积分22222001112(1)3xnxxnne x dxx nedxen222221(1)(1)xxxnxxne xx eexnee220(1)DxTBvxLk Te x dwCve由此得到低温时晶格的热容量23BvL k TCv342131() 20DvB
13、CNkT17. 按德拜近似，证明高温时的晶格热容354342332032(1)DxTcBvxpV k Te x dxCve4442223222222(1)(1)12()()12412xxxxe xxxxxxxxeeex43433532233233331111 ()() () 1() 23602320DDDDcBcBvppV k TV k TCvTTvTT求解求解由固体物理教程式（3.132）可知在高温时，TD，则在整个积分范围内x为小量，因此可将上式中被积函数化简为将上式代入Cv的表达式361203(6)DpBBcNvkkV2131() 20DvBCNkT代入上式得3729( )ebU rrr
14、 21. 设某离子晶体中相邻两离子的互作用势能b为待定常数，平衡间距r0=310-10m，求膨胀系数L。3820BLkar022()rd Udr0331()2rd Udr 02210009()()0rdUebdrrr28019be r0222231130002908()rd Uebedrrrr 03223412400011 699052()()22rd Uebedrrrr 根据固体物理教程（3.148）式，线膨胀系数L可近似表示为求解求解由平衡条件 得 式中于是29( )ebU rrr 39803 10rcm 104.806 10eCGSE161.381 10/Bkerg K8160285-15252 3 101.381 106464 (4.806 10 )1.46 10 (K ) BLr ke 将以上结果及下列数据：代入L的表示式，得
