1、返回总目录振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程振动力学振动力学 返回首页 振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程目录 返回首页振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程 返回首页1.1 质点的运动微分方程质点的运动微分方程1.2 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式 1.3 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 返回首页1.1 质点的运动微分方程质点的运动微分方程牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程有牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程有以下几种形式以下几种形式 Fr22ddtmzyxFtzmFt
2、ymFtxm222222dd,dd,dd 返回首页返回首页1.2 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式 设质点系由设质点系由n个质点组成，其个质点组成，其在理想约束的条件下，质点在理想约束的条件下，质点系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。有。有FWTd 其中其中iFW表示作用在质点系上主动力的元功表示作用在质点系上主动力的元功Td表示质点系动能的微分表示质点系动能的微分 返回首页返回首页1.3 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 刚体的平面运动可简化为具有相同质量的平面图形在固定平面刚体的平面运动可简化为具有相同质量的
3、平面图形在固定平面内的运动。内的运动。应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得)(,FCCyCxCMJFymFxm 上式称为刚体平面运动微分方程。上式称为刚体平面运动微分方程。应用以上方程可求解平面运动刚体动力学的两类问题应用以上方程可求解平面运动刚体动力学的两类问题 。 返回首页返回首页1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的普遍定理。普遍定理。 各个定理都是从不同
4、的方面提出了建立运动微分方程各个定理都是从不同的方面提出了建立运动微分方程的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。 返回首页返回首页1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 解：系统具有一个自由度，建立广义坐标解：系统具有一个自由度，建立广义坐标x，坐标原点位于，坐标原点位于弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标正方向如弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标正方向如图中所示。图中所示。x取任意值时，系统的动能为取任意值时，系统的动能为例例1无重量不可伸长的细绳绕过质量为无重量不可伸长的细绳绕过质量为m、半径、半径R为的均质圆盘。弹
5、簧刚度为为的均质圆盘。弹簧刚度为k，与细绳相连，如图，与细绳相连，如图所示，列写该系统的运动微分方程。所示，列写该系统的运动微分方程。2222222121212121RxmRxmJmvTCC 返回首页1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 x取任意值时，系统的动能为2222222121212121RxmRxmJmvTCC设初始条件为设初始条件为22321xmT0t0 xx 0 xx 在有限路程中主动力的功为在有限路程中主动力的功为2200)2(221)(0ssxxxxkxxmgW 返回首页1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 在有限路程中主动力的功为2200)2(221)(0ss
6、xxxxkxxmgW由动能定理的积分形式xxWTT002200022221)(2321ssxxkxxmgTxm两边对时间求导数xxkxmgxxms )2(223注意到在静平衡位置满足skmg20423 kxxm 所以微分方程为 返回首页例2 图示系统中，半径为 r 的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为 m ，槽的半径为R。建立系统的运动方程。222)(21AIrRmT其中， 为圆盘的角速度，IA = mr2/2是圆盘对质心的转动惯量。图2圆盘微幅振动)(rRr22243rrRmrT解：若选择 为广义坐标，则系统微幅振动时的动能为圆盘作不滑动的滚动时，存在有rrR 1.4 普遍定理的综
7、合应用普遍定理的综合应用 返回首页2)(21)cos1)(rRmgrRmgW系统的势能0)()(232rRmgrRm 系统微幅振动时的运动方程由动能定理的积分形式xxWTT00两边对时间求导数1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 返回首页振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程 返回首页2.1 虚位移原理虚位移原理2.2 达朗贝尔（达朗贝尔（DAlembert）原理）原理 2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程完整的保守系统的拉格朗日运动方程 返回首页2.1 虚位移原理虚位移原理虚位移原理是分析非自由质点系平衡的最普遍的原理。虚位移原理可表述为：具有理想约束的质点系，在给定位置保
8、持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即iiniqQ 10FW虚功方程虚功方程 返回首页2.1 虚位移原理虚位移原理iiniqQ 10FW质点Mi上的主动力和虚位移分别用Fi和ri表示，虚位移原理的矢量表达式为01iinirF在直角坐标系的投影表达式为01iiziiyiixnizFyFxF虚功方程 返回首页2.2 达朗贝尔（达朗贝尔（DAlembert）原理）原理 根据虚功原理，可以得出达朗贝尔原理的另一种叙述方式：在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于零。这就是动力学普遍方程
9、，即0inWW 返回首页2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程完整的保守系统的拉格朗日运动方程 0dddd)(112121tqqVqTqTttqQiiiinittiinitt), 2, 1(ddniQqVqTqTtiiii 拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法。个普遍的简单而又统一的方法。 在t1与t2区间的虚位移qi是任意的，而且qi彼此独立的。因此，得到著名的拉格朗日方程拉格朗日方程 返回首页2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程完整的保守系统的拉格朗日运动方程图3摆振系统例3 图示系统，摆的支点在水
10、平方向受到弹性约束，其总刚度为k，摆的质量为m，摆长为l。试用拉格朗日方程求出系统的运动方程。22)sin(21)cos(21lmlxmT)cos1 (212mglkxV解：（1）选择x及 为广义坐标。（2）动能及势能动能：势能：（3）广义外力为零 返回首页2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程完整的保守系统的拉格朗日运动方程 （4）运动方程0sinsincos0sincos222mgxmlmlxmlkxmlmlxm 这就是摆的运动方程。当微幅振动时，取cos 1，sin = 0，并可略去高阶项，则可简化为00mgmlxmkxmlxm kxmg0glkmg 两式相减得到得到运动方程图5摆振系
11、统 返回首页振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程 返回首页m xm xm xk xk xk xm xm xm xk xkxkxm xm xm xk xkxkxnnnnnnnnnnnnnnnnnn111122111112212112222211222211221122000TnTnxxxxxx 2121xx，一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式若用矩阵表示，则可写成式中分别是系统的坐标矢量坐标矢量和加速度矢量加速度矢量 KxxM 0方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。 返回首页M mmmmmmmmmnnnnn n111212122212K kk
12、kkkkkkknnnnn n111212122212质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵 返回首页刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度系统中，简称弹性常数)。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说，如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐标方向施加的力，定义为刚度影响系数刚度影响系数kij；在第j个质量坐标方向上施加的力称刚度影响系数kjj 。由刚度影响系数的物理意义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数法影响系数法。K kkkkkkkkknnnnn n111212122212刚度矩阵 返回首页现分析
13、求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。 x11xx230kkk112131、0312212111kkkkkk，画出各物块的受力图根据平衡条件，有首先令在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力 返回首页画出受力图，则有xxx123010，kkkkkkk1222223323 ，同理，令画出受力图，有xxx12301，kkkkk132333330 ，最后令 返回首页因此刚度矩阵为K kkkkkkkkk12221333300刚度矩阵一般是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即kkijjiKKT 返回首页振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分
14、方程 返回首页在单自由度的弹簧质量系统中，若弹簧常数是k，则 就是物块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数，用 表示。1k具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 。 ijn自由度系统的柔度矩阵 为n阶方阵，其元素 称为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。ij 返回首页现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。 当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二和第三个弹簧的变形为零。11k111211311111kkk,01321FFF，首先施加单位力112131、这时三物块所产生的静位移分别是所以三物块的位移都是F1F1 返回
15、首页第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有1112kk,1212212321211111kkkkk,01312FFF，令F2第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为 返回首页F3再令1, 0321FFF131231233123111111kkkkkk,可得到 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkkkkkkkkkkkk系统的柔度矩阵为 返回首页柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkkkkkkkkkkkkij
16、ji T系统的柔度矩阵为 返回首页对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。 系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形xm xm xm xxm xm xm xxm xm xm x111112212331321121222233233113122323333 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )333322311323322221121331221111)()()()()()()()()(FFFxFFFxFFFx应用叠加原理可得到 返回首页写成矩阵形式xxxmmmxxx123111213212223313233123123000000 xMx Mxx0位移方程Kx
17、Mx xKMx1()是非奇异的，即 的逆矩阵存在K1K与作用力方程比较 K1即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。 此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。 如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。 返回首页 K1柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系 返回首页例例4 试写出图所示刚体AB的刚度矩阵并建立系统的运动微分方程。解：刚体AB在图面内的位置可以由其质心C的坐标yC(以水平位置O为坐标原点，且水平运动不计)和绕C的转角 确定。 返回首页图为 时的受力图， 分别表示保持系统在该位置平衡，应加在C点的力和
18、力偶矩yC10,kk1121,kkkkk lk l1112211 12 2,由刚体AB的平衡条件得到 返回首页图为 时的受力图， 分别表示保持系统在该位置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在C点的力。yC01,kk2212,kk lk lkk lk l222 221 12121 12 2,由平衡条件得K kkk lk lk lk lk lk l122 21 12 21 11 122 22()()刚度矩阵 返回首页图为 取任意值时，刚体AB作平面运动的受力图，根据达朗贝尔原理，可写出系统的运动微分方程yC,mykylkylIkyllkyllCCCCCC()()()()221111122200my
19、kkyk lk lIk lk lyk lk lCCCC()()()()122 21 12 21 11 122 2200mIykkk lk lk lk lk lk lyCCC0000122 21 12 21 11 122 22()()整理后得到 返回首页例5 试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度为EI，其质量不计)解：取y1 、 y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义， 表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。1111332324( )lEIlEI 表示在m2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有222233lEI按材料力学的挠度公式，则有 返回首页 表示在m2处施加单位力在m1处产生的位移等于在m1处施加单位力在m1处产生的位移。有12211221323242 42548lEIllEIlEIym ym yym ym y111111222221112222( )( )( )( )yMy0 1112212233181161161lEI柔度矩阵为得系统的位移方程
