1、补充例题补充例题 03 试做出简单立方晶格、面心立方晶格和试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立方晶格的维格纳体心立方晶格的维格纳 塞茨原胞塞茨原胞(Wingner-Seitz) WSWS原胞原胞 由某一个格点为中心由某一个格点为中心 做出最近各点和次近做出最近各点和次近 各点连线的中垂面各点连线的中垂面 这些包围的空间为这些包围的空间为 维格纳维格纳塞茨原胞塞茨原胞补充例题补充例题 01 做出石墨烯做出石墨烯Graphene 的原胞的原胞Graphene (石墨烯石墨烯) 的两种原胞取法，的两种原胞取法，每个原胞有每个原胞有2个个碳原子碳原子Graphene补充例题补充例题 02 做出石墨
2、做出石墨 Graphite的原胞的原胞 石墨原胞取法，石墨原胞取法，每层每层2个原子，个原子，取两层取两层原胞有原胞有4个个碳原子碳原子GraphiteA层B层简单立方的简单立方的WSWS原胞原胞原点和原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体面心立方晶格面心立方晶格的的WS原胞原胞 为原点和为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成个近邻格点连线的垂直平分面围成的的正十二面体正十二面体 体心立方体心立方的的WS原胞原胞为原点和为原点和8个近邻格点个近邻格点连线的垂直平分面围成的正连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的八面体，和沿立方轴的6个个次
3、近邻格点连线的垂直平分次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形面割去八面体的六个角，形成的成的14面体面体（截角八面体）（截角八面体）其中八个面是正六边形，六个面是正四边形其中八个面是正六边形，六个面是正四边形 习题习题1.2习题习题1.1习题习题1.3晶格常数为晶格常数为 a 的简立方晶格，与正格矢的简立方晶格，与正格矢 R 正交的晶面族指数是什么？正交的晶面族指数是什么？晶面间距晶面间距d是？是？kaj aiaR224习题习题1.4 绘画石墨烯的普通原胞绘画石墨烯的普通原胞 和和WS原胞原胞a1a2a3- a3- a2- a1四指数四指数晶向指数晶向指数，取与坐标轴的，取与坐标轴的
4、垂直截距垂直截距，而非平行四边形截距。而非平行四边形截距。1,0,-1,0a1a2- a2- a11, 1/2, 0 2, 1, 0三指数三指数晶向指数晶向指数取与坐标轴的取与坐标轴的平平行四边形行四边形截距截距(坐标坐标)。（为取指数方便，例子中红色的晶向的表示矢量可以任意伸缩）六角晶格特殊的晶面指数表示六角晶格特殊的晶面指数表示 习题习题1.7 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方面心立方晶格的倒格子是体心立方 。习题习题1.8 证明：倒格子矢量证明：倒格子矢量 垂直于密勒指垂直于密勒指数为数为 (h1 h2 h3) 的
5、晶面系。的晶面系。1 1223 3Ghbh bh b习题习题1.6(试用倒格矢关系证明试用倒格矢关系证明)习题习题1.5计算二维六角的倒格子基矢，画出其计算二维六角的倒格子基矢，画出其1BZ 123BCC:(),(),()222aaaaijkaijkaijk 2 /hkldG123FCC:()/2,()/2,()/2aa jkaa kiaa ij习题二提示提示1)：提示提示2)：12222()41 1sin ()mMmMaqmMmM2241 |cos|1 |cos|2aqaqmm双原子链：双原子链：M=m:4|cos|2aqm4|sin|2aqm得到等质量一维双原子链： 4|cos|2aqm4
6、|sin|2aqm等质量一维双原子链： 一维单原子链： 2sin()2aqm 等价性？等价性？等质量一维双原子链相当于取单原子链等质量一维双原子链相当于取单原子链原胞两倍为晶胞原胞两倍为晶胞，对应，对应1BZ大小大小减半，单原子链超出部分的色散曲线减半，单原子链超出部分的色散曲线折叠入折叠入1BZ成为光学支，保持成为光学支，保持1BZ总格波模式为总格波模式为 “N=原子数原子数”-这也是为什么使用原胞概念这也是为什么使用原胞概念.练习 3.1解释概念 格波 色散关系 声子几种简单情况下振动模式密度的表示几种简单情况下振动模式密度的表示 例例1：计算：计算一维单原子链一维单原子链的振动模式密度。
7、的振动模式密度。 最大频率最大频率4mm4sin()sin() ,22maqaqm振动模式密度定义：振动模式密度定义：1( )22( )qdnL dqLgddq一维情况下一维情况下 LNa每个波矢占据宽度每个波矢占据宽度 1 2qLN a单位长度里的波矢密度：单位长度里的波矢密度：12qqNaLdq长度里的波矢数：长度里的波矢数：22qNaLdndqdqdq( )dngd考虑到一个频率可以有考虑到一个频率可以有 两个值两个值q1( )22( )qLgq222( )cos()1 sin ()22222mmqmaaaqaqqa2221( )mNg振动模式密度振动模式密度sin()2maq2221(
8、 )mNg一维单原子链一维单原子链的振动模式密度的振动模式密度 dgdn)(类似的，类似的， 一维双原子链一维双原子链的振动模式密度的振动模式密度 几种简单情况下振动模式密度的表示几种简单情况下振动模式密度的表示 例例2：计算：计算三维长声学波在弹性波近似下三维长声学波在弹性波近似下的振动模式密度。的振动模式密度。 3( )d(2 )qVdndVgvq其中弹性波色散关系，其中弹性波色散关系， 由于波速由于波速(色散关系色散关系)与传播方向与传播方向q无关，无关，故在故在q空间等频面为球面，球壳体积：空间等频面为球面，球壳体积：24qdVq dq弹性波态密度呈弹性波态密度呈现抛物线形。现抛物线形
9、。10/36 直接由态密度定义，直接由态密度定义，dn = 密度密度*体积体积234/d( )(2 )Vq dqg1,dqqdvv由色散关系有：1.由于波速由于波速(色散关系色散关系)与传播方向与传播方向q无关，故在无关，故在q空间等频空间等频面为球面，面为球面，ds 积分即该球面面积：积分即该球面面积：24dsq于是：于是：231( )4(2 )qVgq,dv qdqv由色散关系有：方法方法2.3( )(2 )( )qVdsgq直接利用公式：直接利用公式：2( )g为抛物线形。 固体物理教程-王矜奉 习题 3.10习题3.13( )(2 )( )qVdsgq 色散关系没有方向性色散关系没有方
10、向性(qx,qy 无区分无区分), 等频率面在二维等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：情况下为圆环，圆环周长为： 例例3： N个相同原子组成二维简单晶格，面积为个相同原子组成二维简单晶格，面积为S， 用徳拜模型计算比热用徳拜模型计算比热, 证明其低温下与证明其低温下与 T2 正比。正比。222( )(2 )(2 )( )qSdlSqgvq证：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为证：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为 = vq。2dlqqxqyq2( )22SvSvgv二维晶格有两支格波，一支横波、一支纵波，二维晶格有两支格波，一支横波、一支纵波，速度分别为速度分别为vL , vT 。2222
11、11pLTvvv222( )22LTpSSSgvvv令令先确定德拜频率先确定德拜频率 D：/2/022022()()(1)(1)BBBDBDk Tk TVBkBTBk TpBeCkgSekdvk Tdk Tee2222200222DDDpppSSSNdvvv23/220,(1)DxTBBDVDxpBSkk Te xCdxvek其中热容表示为，热容表示为， 二维格波总模式数二维格波总模式数 2N, 4DpNvSBxk T把态密度和德拜频率把态密度和德拜频率 D带入热容公式：带入热容公式：22( )Sgv做变量代换做变量代换, 23/220,(1)DxTBBDVDxpBSkk Te xCdxvek
12、其中热容表示为，热容表示为， 1xBxexk T是小量，2223/22220(1)22DxTBBBBDVxppBSkk TSkk Te xCdxvevTNk23/2202(1)DxTBBVxpSkk Te xCdxve=AT高温时高温时 ， 对积分内只保留对积分内只保留x的一阶小量的一阶小量, 与经典热容理论一致与经典热容理论一致. 低温时低温时 ， /DT 33/2200(1)(1)DxxTxxe xe xdxdxee积分是常数，热容与温度平方成正比热容与温度平方成正比. 固体物理教程-王矜奉 习题 3.10习题3.2 3( )( )2qVdsgq其中ds为该支格波的等频面，由于题中色散关系
13、没有方向性，故为球面：24dsq推广可以证明：如果色散关系推广可以证明：如果色散关系 提示：2cq1/2( ) g0( ) g1/2( ) g二维二维 三维三维 一维一维 习题3. 3 对一维简单晶格对一维简单晶格(一维单原子链一维单原子链)，按照徳拜模型，求晶格热容；，按照徳拜模型，求晶格热容； 并证明高温热容为常数并证明高温热容为常数 NkB , 低温热容正比于低温热容正比于 T。 固体物理教程-王矜奉 习题 3.13注：徳拜模型即使用弹性波注：徳拜模型即使用弹性波近似，色散关系为近似，色散关系为 = vq。1( )22( )qDLLgvqva/2/20()( )(1)DBBk TVBk
14、TBeCkgdk Te 色散关系没有方向性色散关系没有方向性(qx,qy 无区分无区分), 等频率面在二维等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：情况下为圆环，圆环周长为： 例例3： N个相同原子组成二维简单晶格，面积为个相同原子组成二维简单晶格，面积为S， 用徳拜模型计算比热用徳拜模型计算比热, 证明其低温下与证明其低温下与 T2 正比。正比。222( )(2 )(2 )( )qSdlSqgvq证证2：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为 = vq。2dlqqxqyq2( )22SvSvgv233220/22222000212121mDDBBxBBBBk T
15、k TxdS k TS k Tk Tk TSdx dxEEveveve2( )2Sgv2320/222003222022111mDBBDBBBk Tk TxBxdS k Tk Tk TSdEEveveS k Tx dxve二维简单晶格共有二维简单晶格共有2支格波支格波 ： 20,()vsDECTTTxET 3时，积分内为常数 例例1：分别以定义和态密度计算自由电子的分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能。费米能。 方法1电子电子浓度浓度 方法2 E 到 E+dE 间电子数 1 2003 2( )23FFFEENN EdEVCEdEVC E3 223(2),/2mwhere CnN V( )
16、( )dNf EN EdE总电子数 0( )( )NdNf EN EdE1,(E)0,0FFEEfEETK习题：证明 二维自由电子的态密度(除以单位面积)为常数 ; 一维自由电子的态密度(除以单位长度) E-1/2 ； （并求出各自费米面处态密度）223322( )( ),24(3D)32(2D)22(1D)2kkdZkN EEdEmVkSZkLk自由电子模型自由电子模型 ，温度温度 T 下电子满足下电子满足: TEST test 例例1：分别以定义和态密度计算自由电子的分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能。费米能。 TEST 例题例题1 计算一维单原子链的紧束缚能带计算一维单原子链的紧
17、束缚能带 ( L = na ) 对于中心原子，只考虑左右近邻， Rs=a利用利用snmRRR具有相同的值具有相同的值)(sRJ( )()1(),()2cosik aikasJ RJeekak=0 例题例题2 计算简单立方晶格中由原子计算简单立方晶格中由原子 s 态形成的能带态形成的能带 s 态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同, 对于不同方向的近邻，有相同的值对于不同方向的近邻，有相同的值具有相同的值具有相同的值)(sRJ1()sJ RJNearestRRk isisseRJJkE)()(0s 态波函数为偶宇称态波函数为偶宇称)()(rrss*1()() ( )( )( )0sisiJJ RRUVd 能量本征值能量本征值
