1、第第9章章 时间序列分析时间序列分析9.1 9.1 时间序列的基本概念时间序列的基本概念9.2 9.2 时间序列的平稳性检验时间序列的平稳性检验9.3 ARIMA9.3 ARIMA模型模型9.4 9.4 协整与误差修正模型协整与误差修正模型9.5 9.5 格兰杰因果关系检验格兰杰因果关系检验9.6 9.6 向量自回归模型向量自回归模型案例分析案例分析 时间序列分析时间序列分析模型方法模型方法是以通过揭示时以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论的全新的计量经济学方法论。 时间序列分析时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，
2、并广泛应用于经济分析与预测当中。 时间序列的数字特征时间序列的数字特征9.1、时间序列的基本概念、时间序列的基本概念),s , t ()y(Ey)(y(Ey(E)y,ycov()s , t (ssttst21 自相关函数自相关函数 时间序列时间序列，也称为随机时间序列；简单理解就是按照时间顺序记录形成的序列。 设yt , t=1,2,.是一个时间序列 均值函数均值函数), 2 , 1()()(tyEtt 自协方差函数自协方差函数),s , t ()s , s()t , t ()s , t ()s , t (21 平稳性：平稳性：统计规律不随时间推移而变化。 假定某个时间序列是由某一假定某个时间
3、序列是由某一随机过程随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列）生成的，即假定时间序列yt（t=1, 2, ）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：满足下列条件： 1）均值）均值 E(yE(yt t)=)= 是是与时间与时间 t 无关的常数；无关的常数； 2）方差）方差 Var(yVar(yt t)=)= 2 2 是是与时间与时间 t 无关的常数；无关的常数； 3）协方差）协方差 Cov(yCov(yt t,y,yt+kt+k)=)= k k 是是只与时期间隔只与时期间隔 k 有有关，与时间关，与时
4、间 t 无关的常数；无关的常数； 则称该随机时间序列是则称该随机时间序列是平稳的平稳的（stationary)，而该，而该随机过程是一随机过程是一平稳随机过程平稳随机过程（stationary stochastic process）。）。 时间序列的平稳性时间序列的平稳性 例例一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：rnorm Yt=t ， tN(0,2) 例例另一个简单的随机时间列序被称为随机游走随机游走（random walk），该序列由如下随机过程生成： Yt=Yt-1+t这里， t是一个白噪声。该序列常被称为是一个白噪声白噪声（white noise）。 由于Yt具
5、有相同的均值与方差，且协方差为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的。 时间序列的平稳性时间序列的平稳性 为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Yt的初值为Y0，则易知 Y1=Y0+1 Y2=Y1+2=Y0+1+2 Y Yt t=Y=Y0 0+ +1+2+ +t 由于Y0为常数，t是一个白噪声，因此Var(Yt)=t2 即即Yt的方差与时间的方差与时间t t有关而非常数，它是一非平稳序有关而非常数，它是一非平稳序列。列。 容易知道该序列有相同的均值均值：E(Yt)=E(Yt-1) 时间序列的平稳性时间序列的平稳性 然而，对Y取一阶差分一阶差分（first differenc
6、e）: Yt=Yt-Yt-1=t由于t是一个白噪声，则序列Yt是平稳的。 后面将会看到后面将会看到: :如果一个时间序列是非平稳的，如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。 事实上，事实上，随机游走过程随机游走过程是下面我们称之为是下面我们称之为1 1阶自回阶自回归归AR(1)AR(1)过程过程的特例的特例 Y Yt t= = Y Yt-1t-1+ +t 时间序列的平稳性时间序列的平稳性第第9章章 时间序列分析时间序列分析9.1 9.1 时间序列的基本概念时间序列的基本概念9.2 9.2 时间序列的平稳性检验时间序列的平稳性检验
7、9.3 ARIMA9.3 ARIMA模型模型9.4 9.4 协整与误差修正模型协整与误差修正模型9.5 9.5 格兰杰因果关系检验格兰杰因果关系检验9.6 9.6 向量自回归模型向量自回归模型案例分析案例分析3)3)只有当只有当-1-1 11|1时，该随机过程生成的时间序列是发散的，时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升表现为持续上升( ( 1)1)或持续下降或持续下降( ( -1)0，样本自相关系数近似地服从以，样本自相关系数近似地服从以0为均值，为均值，1/n 为方差的正态分布，其中为方差的正态分布，其中n为样本数。为样本数。 也可检验对所有也可检验对所有k0k0，自相关系数
8、都为，自相关系数都为0 0的联合的联合假设，这可通过如下假设，这可通过如下Q QLBLB统计量进行：统计量进行： 该统计量近似地服从自由度为m的2分布（m为滞后长度）。 因此:如果计算的如果计算的Q Q值大于显著性水平值大于显著性水平为为 的临界值，则有的临界值，则有1-1- 的把握拒绝所有的把握拒绝所有 k k(k0)(k0)同时为同时为0 0的原假设。的原假设。 例，例，下下表表9.1.19.1.1序列序列Random1Random1是通过一是通过一随机过程（随机函数）生成的有随机过程（随机函数）生成的有1919个样本个样本的随机时间序列。的随机时间序列。 mkkLBknrnnQ12)2(
9、表表 9 9. .1 1. .1 1 一一个个纯纯随随机机序序列列与与随随机机游游走走序序列列的的检检验验 序号 Random1 自相关系数 kr(k=0,1,17) LBQ Random2 自相关系数 kr(k=0,1,17) LBQ 1 -0.031 K=0, 1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 0.059 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2, -0.393 3.679 0.264 0.018 5.123 4 -0.455 K=3, -0.147 4.216 -0.191 -0.069 5.241 5 -0.426 K=4,
10、 0.280 6.300 -0.616 0.028 5.261 6 0.387 K=5, 0.187 7.297 -0.229 -0.016 5.269 7 -0.156 K=6, -0.363 11.332 -0.385 -0.219 6.745 8 0.204 K=7, -0.148 12.058 -0.181 -0.063 6.876 9 -0.340 K=8, 0.315 15.646 -0.521 0.126 7.454 10 0.157 K=9, 0.194 17.153 -0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10, -0.139 18.010 -0.136
11、-0.249 10.229 12 -0.315 K=11, -0.297 22.414 -0.451 -0.404 18.389 13 -0.377 K=12, 0.034 22.481 -0.828 -0.284 22.994 14 -0.056 K=13, 0.165 24.288 -0.884 -0.088 23.514 15 0.478 K=14, -0.105 25.162 -0.406 -0.066 23.866 16 0.244 K=15, -0.094 26.036 -0.162 0.037 24.004 17 -0.215 K=16, 0.039 26.240 -0.377
12、0.105 25.483 18 0.141 K=17, 0.027 26.381 -0.236 0.093 27.198 19 0.236 0.000 容易验证：该样本序列的均值为该样本序列的均值为0 0，方差为，方差为0.07890.0789。 （a） （b） -0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM1-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM1AC 从图形看：它在其样本均值它在其样本均值0 0附近上下波动，且样本自相关附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到系数迅速下降到0 0，随后在，随后在0 0附近波
13、动且逐渐收敛于附近波动且逐渐收敛于0 0。 由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。该序列为一白噪声。 根据Bartlett的理论：kN(0,1/19) 因此任一rk(k0)的95%的置信区间都将是 可以看出可以看出: :k0k0时，时，r rk k的值确实落在了该区间内，的值确实落在了该区间内，因此可以接受因此可以接受 k k( (k0)k0)为为0 0的假设的假设。 同样地，从从Q QLBLB统计量的计算值看，滞后统计量的计算值看，滞后1717期期的计算值为的计算值为26.3826.38，未超过，未超过5%5%显著性水平的临界值显著性水平的临界值27.5
14、827.58，因此，因此, ,可以接受所有的自相关系数可以接受所有的自相关系数 k k( (k0)k0)都为都为0 0的假设。的假设。 因此，该随机过程是一个平稳过程。该随机过程是一个平稳过程。 4497. 0 ,4497. 019/196. 1 ,19/196. 1,025. 0025. 0ZZ 序列Random2是由一随机游走过程 Yt=Yt-1+t 生成的一随机游走时间序列样本。其中，第0项取值为0， t是由Random1表示的白噪声。 （a） （b） -1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81
15、.224681012141618RANDOM2AC 样本自相关系数显示样本自相关系数显示：r1=0.48，落在了区间-0.4497, 0.4497之外，因此在5%的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。 该随机游走序列是非平稳的。该随机游走序列是非平稳的。 图形表示出：图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。 平稳性的检验平稳性的检验 图形：表现出了一个持续上升的过程图形：表现出了一个持续上升的过程，可，可初步判断初步判断是非平稳是非平稳的。的。 样本自相关系数：缓慢下降样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它，
16、再次表明它的的非平稳非平稳性。性。 P301例题例题 平稳性的检验平稳性的检验 拒绝：拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后1期之后的值全部为0的假设。 进一步，根据偏相关系数图，可以判定是1期自相关。 结论结论:19782003年间中国GDP时间序列是非平稳序列。从滞后从滞后18期的期的QLB统计量看：统计量看： QLB(18)=136.5528.86=20.05 平稳性的检验平稳性的检验 对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外，运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的。 单位根检验（单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍应用的一种检验方法。1 1、DFDF检验检验我们已
17、知道，随机游走序列 Yt=Yt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。而该序列可看成是随机模型 Yt=Yt-1+t中参数=1时的情形。也就是说，我们对式 Yt=Yt-1+t （*） 做回归，如果确实发现=1，就说随机变量Yt有一个单位根单位根。 （*）式可变形式成差分形式： Yt=(-1)Yt-1+ t =Yt-1+ t (*)检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（*）式判断是否有 =0。而且（*）同前期的t检验原假设一样。单位根检验是表示平稳性的另一种方式。单位根检验是表示平稳性的另一种方式。 一般地一般地: : 检验一个时间序列检验一个时间序列YtYt的平稳性，可通过检验的平稳性，可通过检
18、验带有截距项的一阶自回归模型带有截距项的一阶自回归模型 Y Yt t= = + + Y Yt-1t-1+ + t t （* *）中的中的参数参数 是否小于是否小于1 1。 或者：或者：检验其等价变形式检验其等价变形式 Y Yt t= = + + Y Yt-1t-1+ + t t （* * *）中的中的参数参数 是否小于是否小于0 0 。 以随机数为例，（*）式中的参数 11或或 =1=1时，时间时，时间序列是非平稳的序列是非平稳的; ; 对应于（*）式，则是 00或或 = =0。 因此，针对式 Y Yt t= = + + Y Yt-1t-1+ + t t 我们关心的检验为：零假设零假设 H0：
19、 =0。 备择假设备择假设 H1： 0 上述检验可通过上述检验可通过OLS法下的法下的t检验完成。检验完成。 然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。 Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为 统计量统计量），即DF分布分布（见附表7）。由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。 因此，可通过OLS法估计 Y Yt t= = + + Y Yt-1t-1+ + t t 并计算Y Yt-1t-1 前系数 的的 t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较： 如
20、果：如果：t临界值，则拒绝零假设临界值，则拒绝零假设H0： =0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。认为时间序列不存在单位根，是平稳的。 平稳性的检验平稳性的检验 进一步的问题进一步的问题：在上述使用 Y Yt t= = + + Y Yt-1t-1+ + t t对时间序列进行平稳性检验中，实际上实际上假定了时间序列是由假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的生成的。 但在实际检验中但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声生成的，或者随机误差项并非是白噪
21、声，这样用OLS法进行法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关估计均会表现出随机误差项出现自相关（autocorrelation），导致DF检验无效。 另外另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随自相关随机误差项问题机误差项问题。 为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）检验）检验。 2 2、ADFADF检验检验ADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的：模型1模型2模型3 模型模型3 中的中的t是时间变量
22、是时间变量，代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。 原假设原假设 H0： =0，即存在一单位根，即存在一单位根。模型1与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。tpjjtjttuYYY11tpjjtjttuYYaY11tpjjtjttuYYtaY11 平稳性的检验平稳性的检验保证误差项的保证误差项的白噪声性质；白噪声性质；原序列的漂移原序列的漂移和趋势。和趋势。 实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。 何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时检验停止。否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。 滞后阶数如何确定？滞后阶数如何确定？ LM乘数检验，确定乘数
23、检验，确定不存在自相关为止。不存在自相关为止。 平稳性的检验平稳性的检验 P301例题例题模型3取2阶滞后；模型2去2阶滞后；模型1取2阶滞后。 对白噪声和随机游走序列进行ADF检验。 GDP是非平稳序列。 随机游走序列 Yt=Yt-1+t经差分后等价地变形为 Yt=t 由于t是一个白噪声，因此差分后的序列差分后的序列 Yt是平稳的。是平稳的。单整单整 一般地，如果一个时间序列经过一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列，次差分后变成平稳序列，则称原序列是则称原序列是d 阶单整阶单整（integrated of d）序列序列，记为，记为I(d)。 显然，I(0)代表一平稳时间序列。代
24、表一平稳时间序列。现实经济生活中现实经济生活中:1)只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等如利率等;2)大多数指标的时间序列是非平稳的，大多数指标的时间序列是非平稳的，如一些价格指数常常如一些价格指数常常是是2阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1阶单整。阶单整。大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。变为平稳的。但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能
25、变为平稳的。这种序列被称为稳的。这种序列被称为非单整的（非单整的（non-integrated）。 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是序列是一阶单整一阶单整（integrated of 1）序列序列，记为，记为I(1)。 练习：如果一个时间序列如果一个时间序列 Y Y 经过一次差经过一次差分变成平稳的，记为分变成平稳的，记为I(1)。请描述。请描述ADFADF检验的检验的可能形式。可能形式。tpjjtjttuYYY11tpjjtjttuYYaY1212tpjjtjttuYYtaY11P301 中国支出法GDP的单整性。随机游走序列
26、检查单整性。经过试算，5%的显著性水平下，1978-2003年中国支出法中国支出法GDP是是1阶单整的阶单整的。 tips:平稳化平稳化 前文已指出，一些非平稳的经济时间序列往往表现出共同的变化趋势，而这些序列间本身不一定有直接的关联关系，这时对这些数据进行回归，尽管有较高的R2，但其结果是没有任何实际意义的。这种现象我们称之为虚假回归虚假回归或或伪回归伪回归（spurious regression）。 如：用中国的劳动力时间序列数据与美国GDP时间序列作回归，会得到较高的R2 ，但不能认为两者有直接的关联关系，而只不过它们有共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为是虚假的。为了避免这种虚假回归的
27、产生，通常的做法是引入作为趋势变量的时间，这样包含有时间趋势变量的回归，可以消除这种趋势性的影响。然而这种做法，只有当趋势性变量是确定性的确定性的（deterministic）而非随机性的（随机性的（stochastic），才会是有效的。换言之，如果一个包含有某种确定性趋势的非如果一个包含有某种确定性趋势的非平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋势的趋势变量，而将确定性趋势分离出来。势的趋势变量，而将确定性趋势分离出来。 tips:平稳化平稳化1)如果=1，=0，则（*）式成为一带位移的随机一带位移的随机游走过程游走过程： Yt=+Yt-1+t （
28、*） 根据的正负，Yt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为随机性趋势（随机性趋势（stochastic trend）。 2)如果=0，0，则（*）式成为一带时间趋势的随机变化过程： Yt=+t+t （*） 根据的正负，Yt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为确定性趋势（确定性趋势（deterministic trend）。 考虑如下的含有一阶自回归的随机过程： Yt=+t+Yt-1+t （*） 其中:t是一白噪声，t为一时间趋势。 3) 如果=1，0，则Yt包含有确定性与随机性确定性与随机性两种趋势。两种趋势。 判断一个非平稳的时间序列，它的趋势是随机性的还是确定性的，可通过ADF检验
29、中所用的第3个模型进行。 该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量t，即分离出了确定性趋势的影响。因此，(1)如果检验结果表明所给时间序列有单位如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势示出随机性趋势; (2)如果没有单位根，且时间变量前的参数如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。 随机性趋势可通过差分的方法消除随机性趋势可通过差分的方法消除 如下：Yt=+Yt-1+t 可通过差分变换为 Yt= +t 该时间序列称为差分平稳过程（
30、差分平稳过程（difference stationary process）； tips:平稳化平稳化确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能通过除去趋势项消除，通过除去趋势项消除，如：对式Yt=+t+t可通过除去t变换为Yt - t =+t该时间序列是平稳的，因此称为趋势平稳过程趋势平稳过程（trend stationary process）。）。最后需要说明的是，最后需要说明的是，趋势平稳过程代表了一趋势平稳过程代表了一个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于进行个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于进行长期预测则是更为可靠的。长期预测则是更为可靠的。
31、时间序列建模时间序列建模时间序列白噪声平稳性检验YNYN平稳化处理不用建模识别；估计；诊断；应用单位根检验ARIMA模型第第9章章 时间序列分析时间序列分析9.1 9.1 时间序列的基本概念时间序列的基本概念9.2 9.2 时间序列的平稳性检验时间序列的平稳性检验9.3 ARIMA9.3 ARIMA模型模型9.4 9.4 协整与误差修正模型协整与误差修正模型9.5 9.5 格兰杰因果关系检验格兰杰因果关系检验9.6 9.6 向量自回归模型向量自回归模型案例分析案例分析ARIMAARIMA模型基本概念模型基本概念 随机时间序列模型（随机时间序列模型（time series modeling）是指
32、仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为 Yt=F(Yt-1, Yt-2, , t) 建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题： (1)模型的具体形式模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期时序变量的滞后期 (3)随机扰动项的结构随机扰动项的结构 例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（ t =t），模型将是一个1阶自回归过程阶自回归过程AR(1)： Yt=Yt-1+ t这里， t特指一白噪声一白噪声。 应用条件；用途。应用条件；用途。 一般的p阶自回归过程阶自回归过程AR(p)是 Yt=1Yt-1+ 2Yt-2 + + pYt
33、-p + t (*) (1)如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则称(*)式为一纯纯AR(p)过程（过程（pure AR(p) process），记为 Yt=1Yt-1+ 2Yt-2 + + pYt-p +t (2)如果t不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移动平均（移动平均（moving average）过程）过程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 该式给出了一个纯纯MA(q)过程（过程（pure MA(p) process）。 将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动自回归移动平均（平均（autoregressive moving av
34、erage）过程）过程ARMA（p,q）： Yt=1Yt-1+ 2Yt-2 + + pYt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 该式表明：该式表明：（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成，程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。（2）如果该序列是平稳的）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。来预测未来。 这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。46ARIMA模型模型 已经介绍了对于单整序
35、列能够通过已经介绍了对于单整序列能够通过 d 次差分将非平稳序列转次差分将非平稳序列转化为平稳序列。设化为平稳序列。设 yt 是是 d 阶单整序列，即阶单整序列，即 yt I(d)，则，则 tdtdty)L(yw1 wt 为平稳序列，即为平稳序列，即 wt I(0) ，于是可以对，于是可以对 wt 建立建立ARMA(p,q) 模型模型 qtqttptpttwwcw1111 经 过经 过 d 阶 差 分 变 换 后 的阶 差 分 变 换 后 的 A R M A ( p , q ) 模 型 称 为模 型 称 为ARIMA(p,d,q) 模型模型(autoregressive integrated
36、moving average models). 经典回归模型的问题：经典回归模型的问题： 对一个时间序列Yt的变动进行解释或预测，是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的，由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因此也常称为结构式模型（结构式模型（structural model）。 然而，然而，如果Yt波动的主要原因可能是我们无法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来解释Yt的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。 有时，有时，即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就
37、非常困难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关系的回归模型及其预测技术就不适用了。时间序列分析模型的适用性时间序列分析模型的适用性 例如例如，时间序列过去是否有明显的增长趋势时间序列过去是否有明显的增长趋势，如果增长趋势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行为里占主导地位呢？ 或者时间序列显示出循环周期性行为时间序列显示出循环周期性行为，我们能否利用过去的这种行为来外推它的未来走向？ 随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变化特征来预测未来的变化趋势化特征来预测未来的变化趋势。 使用时间序列分析模型的另一个原因在于使用时间序
38、列分析模型的另一个原因在于： 如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的形式。 在这些情况下，我们采用另一条预测途径在这些情况下，我们采用另一条预测途径：通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进行推断。 例如，例如，对于如下最简单的宏观经济模型： 这里，Ct、It、Yt分别表示消费、投资与国民收入。 Ct与与Yt作为内生变量，它们的运动是由作为外作为内生变量，它们的运动是由作为外生变量的投资生变量的投资It的运动及随机扰动项的运动及随机扰动项 t的变化决定的变化决定的。的。tttCYC12110t
39、ttICY上述模型可作变形如下： 两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项It的行为。 如果如果It是一个白噪声是一个白噪声，则消费序列Ct就成为一个1阶自回归过程阶自回归过程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶的自回归移动平均过程阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1)。ttttICC1111011211111tttttIIYY11121101121111111 自回归移动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）是它的特殊情况。 关于这几类模型的研究，是时间序列分析的重时间序列分析
40、的重点内容点内容：主要包括主要包括模型的平稳性分析模型的平稳性分析、模型的识别、模型的识别、模型的估计、检验和预测模型的估计、检验和预测。AR(pAR(p) )模型的平稳性条件模型的平稳性条件 随机时间序列模型的平稳性随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断序列的平稳性来判断。 如果如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的， 否则否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。考虑p阶自回归模型AR(p) Yt=1Yt-1+ 2Yt-2 + + pYt-p +t (*) 引入滞后算子（滞后算子（lag ope
41、rator ）L： LYt=Yt-1, L2Yt=Yt-2, , LpYt=Yt-p(*)式变换为 (1-1L- 2L2-pLp)Yt=t 记(L)= (1-1L- 2L2-pLp),则称多项式方程 (z)= (1-1z- 2z2-pzp)=0为AR(p)的特征方程特征方程(characteristic equation)(characteristic equation)。 可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于（根的模大于1 1），则），则AR(p)AR(p)模型是平稳的。模型是平稳的。 例例 AR(1)模型的平稳性条件。对1阶自回归
42、模型AR(1)方程两边平方再求数学期望，得到Yt的方差由于Yt仅与t相关，因此，E(Yt-1t)=0。如果该模型稳定，则有E(Yt2)=E(Yt-12)，从而上式可变换为：在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有 |1。 tttYY1)(2)()()(122122tttttYEEYEYE22201Y 对高阶自回模型对高阶自回模型AR(p)来说来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性： (1)AR(p)模型稳定的必要条件是模型稳定的必要条件是： 1+2+p1 (2)(2)由于i(i=1,
43、2,p)可正可负，AR(p)模模型稳定的充分条件是：型稳定的充分条件是： |1|+|2|+|p|1 对于移动平均模型MR(q)： Yt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中t是一个白噪声，于是 2、MA(q)模型的平稳性模型的平稳性 当滞后期大于q时，Yt的自协方差系数为0。因此:有限阶移动平均模型总是平稳的有限阶移动平均模型总是平稳的。 0)()()()(11qqtttEEEYE22111121322111122210),cov()(),cov()(),cov()1 (varqqttqqqqttqqqttqtYYYYYYY 由于ARMA (p,q)模型是AR(p)模型与MA
44、(q)模型的组合：Yt=1Yt-1+ 2Yt-2 + + pYt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 3、ARMA(p,q)模型的平稳性模型的平稳性 而而MA(q)模型总是平稳的，因此模型总是平稳的，因此ARMA (p,q)模型的平模型的平稳性取决于稳性取决于AR(p)部分的平稳性。部分的平稳性。 当当AR(p)部分平稳时，则该部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的，模型是平稳的，否则，不是平稳的。否则，不是平稳的。 最后最后 （1 1）一个平稳的时间序列）一个平稳的时间序列总总可以找到生成它的平稳的随可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；机过程或模型； （2 2
45、）一个非平稳的随机时间序列）一个非平稳的随机时间序列通常通常可以通过差分的方可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。应的平稳随机过程或模型。 因此，因此，如果我们将一个非平稳时间序列通过如果我们将一个非平稳时间序列通过d d次差分，将次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型作为它的模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移自回归单整移动平均（动平均（autore
46、gressive integrated moving averageautoregressive integrated moving average）时）时间序列，记为间序列，记为ARIMA(p,d,q)ARIMA(p,d,q)。 例如，例如，一个一个ARIMA(2,1,2)ARIMA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次，然后用一个先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)ARMA(2,2)模型作为它的生成模模型作为它的生成模型的。型的。 当然，当然，一个一个ARIMA(p,0,0)ARIMA(p,0,0)过程表示了一个纯过程表示了一个纯AR(p)
47、AR(p)平稳过平稳过程；一个程；一个ARIMA(0,0,q)ARIMA(0,0,q)表示一个纯表示一个纯MA(q)MA(q)平稳过程。平稳过程。ARIMA建模过程建模过程预测预测识别识别检验检验估计估计一步、两步及一步、两步及N步预测步预测确定确定p、d、qNYAR部分；部分；MA部分部分参数显著性检验；参数显著性检验；误差项的平稳性检验误差项的平稳性检验前提基础？前提基础？ 所谓随机时间序列模型的识别所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。 所使用的工具所使用的工具
48、主要是时间序列的自相关函数自相关函数（autocorrelation function，ACF）及偏自相关函偏自相关函数数（partial autocorrelation function， PACF ）。Step1:模型的识别模型的识别 1 1、AR(p)AR(p)过程过程 (1)(1)自相关函数自相关函数ACFACF 1阶自回归模型阶自回归模型AR(1) Yt=Yt-1+ t 的k阶滞后自协方差自协方差为：=1,2,因此，AR(1)模型的自相关函数自相关函数为 kkk0=1,2, 由由AR(1)的稳定性知的稳定性知| | |1，因此，因此，k k时，呈指数形时，呈指数形衰减，直到零衰减，直
49、到零。这种现象称为拖尾拖尾或称AR(1)有无穷记忆有无穷记忆（infinite memory）。 注意注意， 0时，呈振荡衰减状。 011)(kkttktkYYE Yt=1Yt-1+ 2Yt-2 + t该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1, 2分别为阶自回归模型阶自回归模型AR(2) 2221100211212011类似地,可写出一般的一般的k期滞后自协方差期滞后自协方差： (K=2,3,)于是,AR(2)的k 阶自相关函数阶自相关函数为： 2211kkk(K=2,3,)其中 :1=1/(1-2), 0=1如果如果AR(2)AR(2)稳定，则由稳定，则由 1 1+ + 2 211知知|
50、 | k k| |衰减趋于零，呈拖尾状。衰减趋于零，呈拖尾状。至于衰减的形式，要看至于衰减的形式，要看AR(2)AR(2)特征根的实虚性，特征根的实虚性，若为实根，若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。 22112211)(kktttktkrYYYE一般地，p阶自回归模型阶自回归模型AR(p) Yt=1Yt-1+ 2Yt-2 + pYt-p + tk期滞后协方差为: 从而有自相关函数 :pkpkkk2211 可见，无论无论k k有多大，有多大， k k的计算均与其到的计算均与其到p p阶滞后阶滞后的自相关函数有关的自相关函
