1、二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型)(sG-)(sR)(sC动态结构图动态结构图开环传递函数开环传递函数)2()(2nnsssG 222( )2nnnsss闭环传递函数闭环传递函数 为系统的阻尼比；为系统的阻尼比；n n为无阻尼振荡频率，简为无阻尼振荡频率，简称固有频率（也称自然振荡频率）称固有频率（也称自然振荡频率）二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l二阶系统的闭环特征方程闭环极点二阶系统的闭环特征方程闭环极点0222 nnss 1.1.当当00111时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。尼状
2、态。二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环极点1s2sn0)(a2, 1s0)(b1s2s0)(c1s2s0)(d1 1=0二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l过阻尼二阶系统暂态响应的定性分析过阻尼二阶系统暂态响应的定性分析222( )2nnnsss)(sG-)(sR)(sC)2()(2nnsssG 122 , 1 nns212211)11)nnnnTT112211sTsT212121TTTTn 且且设设)/1)(/1(/12121TsTsTT 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l过阻尼二阶系统的暂态响应过阻尼二阶系统的暂态响应222( )2nnnsss当当
3、1时，二阶系统的闭环特征方程有两个不时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，这时闭环传递函数可写为相等的负实根，这时闭环传递函数可写为( )( ) ( )C ss R s,1)()(1)(ssRttr 时时，当当s1)1)(1(12121TsTsTT )1(1T1)1(1T1s1221112TsTTsT 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l过阻尼二阶系统的暂态响应过阻尼二阶系统的暂态响应求反拉氏变换求反拉氏变换21112121111111()()TTTTLsssTT21/21/121/11/11TtTteTTeTT )()(1sCLth 01th(t) 起始速度小，然后上升速度逐起始
4、速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间是调节时间ts，根据公式求，根据公式求ts的表的表达式很困难，一般用计算机计算达式很困难，一般用计算机计算出的曲线确定出的曲线确定ts。二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l过阻尼二阶系统的暂态响应过阻尼二阶系统的暂态响应过阻尼二阶系统调节时间特性过阻尼二阶系统调节时间特性 从曲线可以看出，从曲线可以看出，当当 T1=T2 ，=1 (临界临界阻尼阻尼)时时ts=4.75T1； 当当T1=4T2，=
5、1.25时，时，ts3.33T1； 由此可见，由此可见，当当 T14T2，二阶系统可近似等效二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时为一阶系统，调节时间可用间可用3T1来估算。来估算。二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l临界阻尼二阶系统的暂态响应临界阻尼二阶系统的暂态响应当当=1时时,临界阻尼二阶系统临界阻尼二阶系统T1=T2, nTT 2111 nnnnnssssssc 111)(222tnetthn )1(1)(则临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为则临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为 过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制系统一般不采用过阻尼系统。的控制系
6、统一般不采用过阻尼系统。二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l欠阻尼二阶系统的暂态响应欠阻尼二阶系统的暂态响应当当0011）情况下，暂态特性为）情况下，暂态特性为单调单调变化曲线，没变化曲线，没有超调和振荡，但调节时间较长，系统反应迟缓。有超调和振荡，但调节时间较长，系统反应迟缓。当当0 ，输出量作，输出量作等幅振荡等幅振荡或或发散振荡发散振荡，系统不能，系统不能稳定工作。稳定工作。l一般情况下，系统在欠阻尼（一般情况下，系统在欠阻尼（044，则零点可忽咯不计。则零点可忽咯不计。附加的闭环零点从左侧极点靠近。附加的闭环零点从左侧极点靠近。二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l具有零点的二阶系统
7、的动态性能具有零点的二阶系统的动态性能 如果在二阶系统中引入一个比例微分控制，如果在二阶系统中引入一个比例微分控制，则系统变为：则系统变为：T Td ds s)2(2nnss 1 1)(tr)(tc)(t )(t )(t 系统输出量同系统输出量同时受偏差信号时受偏差信号 (t)(t)和偏差信号微分和偏差信号微分 / /(t)(t)的双重控制，的双重控制，所以称为比例所以称为比例+微分校正控制系统微分校正控制系统系统开环传递函数和闭环传递函数变为：系统开环传递函数和闭环传递函数变为：二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l具有零点的二阶系统的动态性能具有零点的二阶系统的动态性能T Td ds s)
8、2(2nnss 1 1)(tr)(tc)(t )(t )(t 221()(1)( )(2)(2)dnnddnnTsT sTG ss ss s2221()1( );2dndndnndTsTszsTsT变成变成二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l具有零点的二阶系统的动态性能具有零点的二阶系统的动态性能2221()1( );2dndndnndTsTszsTsT可见，微分系数对系统的影响为：可见，微分系数对系统的影响为：1.闭环负实零点闭环负实零点(1/Td) 的主要作用在于加速二阶系统的主要作用在于加速二阶系统的响应过程的响应过程(起始段起始段)；2.增大系统阻尼比，超调量减弱；增大系统阻尼比，超
9、调量减弱；3.合理的取值范围为合理的取值范围为 1/Td =（25)n。Step ResponseTime (sec)Amplitude02468101200.20.40.60.811.21.41.61.8l二阶系统加极点的动态性能二阶系统加极点的动态性能 系统传递函数系统传递函数当当 时，特征方程式的三个根为时，特征方程式的三个根为 23223( )(2)()nnnRssssR1212233(1)(1)nnpjpjpR 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l因此得因此得 上式中各项的待定系数为上式中各项的待定系数为 0312223( )2nnAAAsAC sssssR00212222( )
10、1(2)(2) 12(2) 1(2) 1csnAXs sAA 式中式中 是负实数极点与共轭复数极点的负实部之比是负实数极点与共轭复数极点的负实部之比3nR二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l二阶系统加极点的动态性能二阶系统加极点的动态性能 l三阶系统的极点分布如下图所示三阶系统的极点分布如下图所示 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l二阶系统加极点的动态性能二阶系统加极点的动态性能 输出量的暂态响应为输出量的暂态响应为 32222112( )1(2)1 cos 1sin1, 01nR ttnnnnec tAAeAttt 或或 式中式中 222(2) 11, tan(2)1dn 3222(
11、)1sin(), 0(2) 11(2) 1nR ttdeec ttt 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l二阶系统加极点的动态性能二阶系统加极点的动态性能 ，以，以 为参变量时三阶系统的单位阶跃响应如为参变量时三阶系统的单位阶跃响应如下图所示下图所示结论：具有负实数极点的三阶系统，振荡性减弱，而上升时结论：具有负实数极点的三阶系统，振荡性减弱，而上升时 间和调节时间增长，超调量减小，也就是相当于系统间和调节时间增长，超调量减小，也就是相当于系统 的惯性增强了。的惯性增强了。 5 . 0二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析l二阶系统加极点的动态性能二阶系统加极点的动态性能 高阶系统的阶跃响应高
12、阶系统的阶跃响应l三阶系统的暂态响应三阶系统的暂态响应)2)(1()2)(1()()(222222nnnnnnssTsTssTssRsC ssR1)( 22, 11 nnjptdtnneAteAtc 21)sin(1)(设三阶系统的闭环传递函数为：设三阶系统的闭环传递函数为：10 Tp13 二阶因子引起二阶因子引起的阻尼振荡的阻尼振荡一阶因子引起的非一阶因子引起的非周期指数衰减周期指数衰减高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应l三阶系统的暂态响应三阶系统的暂态响应tdtnneAteAtc 21)sin(1)(21 nd22(2) 1arctan(2) 1 nT 1 1)2()1(221 A1)2
13、(122 A其中：其中：高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应l三阶系统的暂态响应结论三阶系统的暂态响应结论1 1）当当 = = ，系统即为二阶系统响应曲线；系统即为二阶系统响应曲线；2 2）附加一个实数极点（）附加一个实数极点（00 1,1, 即即1/1/T T n n 呈二阶系统特性；呈二阶系统特性；实数极点实数极点P P3 3距离虚轴远；距离虚轴远；共轭复数极点共轭复数极点p p1 1、p p2 2距离虚轴近距离虚轴近特性主要取决于特性主要取决于p p1 1、p p2 2。 1, 1, 即即1/1/T T n n 呈一阶系统特性；呈一阶系统特性；实数极点实数极点P P3 3距离虚轴近；距离
14、虚轴近；共轭复数极点共轭复数极点p p1 1、p p2 2距离虚轴远距离虚轴远特性主要取决于特性主要取决于p p3 3。高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应l高阶系统的单位阶跃响应的近似分析高阶系统的单位阶跃响应的近似分析 rkkkkqjjmiinjjmiinnnnmmmmsspszsKpszsKasasasabsbsbsbsRsCsG122111111101110)2()()()()(.)()()( mn 00abK 如果系统极点互不相同如果系统极点互不相同R R( (s s)=1/)=1/s s)1sin()(21221kkktrkkktpqjjtecbeaatckkj arctankkk
15、bca, aj为为C(s)在极点在极点s = 0和和s = -pj处的留数；处的留数；bk、ck是与是与C(s)在极点在极点 处的留数有处的留数有关的常数。关的常数。21kkkkkjp 假设高假设高阶系统阶系统的微分的微分方程为方程为高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应l高阶系统的单位阶跃响应的近似分析高阶系统的单位阶跃响应的近似分析)1sin()(21221kkktrkkktpqjjtecbeaatckkj 3 3）极点的性质决定暂态分量的类型；）极点的性质决定暂态分量的类型； 实数极点实数极点: : 非周期暂态分量；非周期暂态分量； 共轭复数极点共轭复数极点: : 阻尼振荡暂态分量。阻尼振
16、荡暂态分量。1 1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。响应函数叠加而成。2 2）如果所有闭环极点都在）如果所有闭环极点都在S S平面的左半平面，则随平面的左半平面，则随着时间着时间t，c()=a ,系统是稳定的。系统是稳定的。高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应l高阶系统的单位阶跃响应的近似分析高阶系统的单位阶跃响应的近似分析)1sin()(21221kkktrkkktpqjjtecbeaatckkj 极点距虚轴的距离极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，慢，距离越远衰减越快；距离越远
17、衰减越快；高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应l系统零点分布对时域响应的影响系统零点分布对时域响应的影响)1sin()(21221kkktrkkktpqjjtecbeaatckkj 1 1）系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。忽略。2 2）通常如果闭环零点和极点的距离比其模值小）通常如果闭环零点和极点
18、的距离比其模值小一个一个数量级数量级，则该极点和零点构成一对，则该极点和零点构成一对偶极子偶极子，可以对消。，可以对消。kpskkpssCa |)(高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应l闭环主导极点闭环主导极点定义：定义： （距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对（距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的值的1/51/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点）或更小，且其附近没有零点的闭环极点）对高阶系统的瞬态响应起主导作用。对高阶系统的瞬态响应起主导作用。 对于高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以对于高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一
19、忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。阶或二阶系统进行处理。 在高阶系统的诸多闭环极点中，把无闭环零点靠在高阶系统的诸多闭环极点中，把无闭环零点靠近，且其它闭环极点与虚轴的距离都在该极点与虚轴近，且其它闭环极点与虚轴的距离都在该极点与虚轴距离的五倍以上，则称其为闭环主导极点。距离的五倍以上，则称其为闭环主导极点。高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应l高阶系统的单位阶跃响应的近似分析结论高阶系统的单位阶跃响应的近似分析结论（1）各分量衰减的快慢由指数衰减系数）各分量衰减的快慢由指数衰减系数 pj及及 knk决定。决定。系统的极点在系统的极点在S平面左半部距虚轴愈远，
20、相应的暂态分平面左半部距虚轴愈远，相应的暂态分量衰减愈快。量衰减愈快。（2）系数）系数ak 和和bk不仅与不仅与s平面中的极点位置有关，并且平面中的极点位置有关，并且与零点有关。与零点有关。 a.零极点相互靠近，且离虚轴较远，零极点相互靠近，且离虚轴较远，ak越小，对越小，对 c(t)影响越小；影响越小； b.零极点很靠近零极点很靠近(偶极子偶极子)，对，对 c(t)几乎没影响；几乎没影响； c.零极点重合，对零极点重合，对c(t)无任何影响；无任何影响； d.极点极点pj 附近无零极点，且靠近虚轴附近无零极点，且靠近虚轴,则对则对c(t) 影响大影响大.（3）若）若 时时,则高阶系统近似成二阶系统分析则高阶系统近似成二阶系统分析.5|p|j Re
