1、知识回顾：知识回顾：一般三角形一般三角形 全等的条件全等的条件：定义（重合）法；定义（重合）法；1.SSS1.SSS；2.SAS2.SAS；3.ASA3.ASA；4.AAS.4.AAS. 5, 5,直角三角形直角三角形 全等全等特有特有条件：条件：HL.HL.包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形不包括其它形状的三角形状的三角形解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法方法指引证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：（1 1）：已知两边）：已知两边- 找第三边找第三边 (SSS)找夹角找夹角（SAS)(2):(2):已知一边一角已知一边一角-已知一边和它的邻角已知一边和它
2、的邻角找是否有直角找是否有直角 (HL)已知一边和它的对角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角找这边的对角 ( (AASAAS) )找一角找一角(AAS)已知角是直角，找一边已知角是直角，找一边(HL)(3):(3):已知两角已知两角-找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)1.1.连结连结目的目的: :构造构造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形适用情况适用情况: :图中已经图中已经存在两个点存在两个点XX和和Y Y语言描述语言描述: :连结连结XYXY注意点注意
3、点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法1.1.如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D.ACBD连接连接ACAC构造全等三角形构造全等三角形连线连线 构造全等构造全等连线连线 构造全等构造全等2.2.如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O,O,且且AB=CDAB=CD, ,AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm, ,求求ODOD的长的长. .连接连接BDBD构造全等三角形构造全等三角形A AC CB BD DO O拓展题拓展题3.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
4、BCEFBCAFED目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜边相等斜边相等适用情况适用情况: :图中已经存在图中已经存在一条线段一条线段MNMN 和和垂直平分线上一个点垂直平分线上一个点X X 语言描述语言描述: :连结连结X XM M和和X XN N注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法2.2.中线延长一倍中线延长一倍1.1.已知，如图已知，如图ADAD是是ABCABC的中线，的中线，ABCDE)(21ACABAD求证：延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=ADDE=AD，连结连结CE.CE.思考：若思考：若
5、AB=3,AC=5AB=3,AC=5求求ADAD的取值范围？的取值范围？倍长中线证明：延长证明：延长ADAD至至E E，使，使DE=ADDE=AD，连接，连接BEBE，CECE AD AD为为ABCABC的中线的中线 （已知）（已知） BD=CD BD=CD （中线定义）（中线定义） 在在ACDACD和和EBDEBD中中 BD=CD BD=CD （已证）（已证） 1=2 1=2 （对顶角相等）（对顶角相等） AD=ED AD=ED （辅助线作法）（辅助线作法） ACDACDEBD EBD （SASSAS） BE=CA BE=CA（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等） 在在ABEABE
6、中有：中有：AB+BEAEAB+BEAE（三角形两边之（三角形两边之 和大于第三边）和大于第三边） AB+AC2AD AB+AC2AD。（ （常延长中线加倍，构造全等三角形）（常延长中线加倍，构造全等三角形）可编辑2.2.练习；如图练习；如图1 1，ADAD是是ABCABC的中线，的中线， AB=3,AC=5 AB=3,AC=5，求中线，求中线ADAD的取值范围。的取值范围。 例、如图，例、如图，ADAD为为ABCABC的中线，的中线， ADBADB、ADCADC的平分线交的平分线交ABAB、ACAC于于E E、F F。 求证：求证：BE+CFBE+CFEFEF 分析：本题中已知分析：本题中已
7、知D D为为BCBC的中点，的中点， 要证要证BEBE、CFCF、EFEF间的不等关系，可利用点间的不等关系，可利用点D D将将BEBE旋转，旋转， 使这三条线段在同一个三角形内。使这三条线段在同一个三角形内。m = 42.35m = 42.231.1.已知在已知在ABCABC中中 , ,C=2B, 1=2C=2B, 1=2求证求证:AB=AC+CD:AB=AC+CDA AD DB BC CE1 12 2在在ABAB上取点上取点E E使得使得AE=ACAE=AC, ,连接连接DEDE截长截长F F在在ACAC的延长线上取点的延长线上取点F F使得使得CF=CDCF=CD, ,连接连接DFDF补
8、短补短A1BCD2342.2.如图所示，已知如图所示，已知ADBCADBC，1=21=2，3=43=4，直线直线DCDC经过点经过点E E交交ADAD于点于点D D，交交BCBC于点于点C C。求证：求证：AD+BC=ABAD+BC=ABE EF F在在ABAB上取点上取点F F使得使得AF=AD,AF=AD,连接连接EFEF截长补短目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到距离相等距离相等适用情况适用情况: :图中已经图中已经存在一个点存在一个点X X和和一条线一条线MNMN语言描述语言描述: :过点过点X X作作XYXYMNMN注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形
9、上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法4.4.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段1.1.如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BC=10,BD=6,ADBD=6,AD平分平分BAC,BAC,求点求点D D到到ABAB的距离的距离. .过点过点D D作作DEABDEAB于点于点E EACDBE E角平分线上的点向角两边做垂线段角平分线上的点向角两边做垂线段角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例: :如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平
10、分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.A AC CD D过点过点E E作作EFBCEFBC构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等B BF F 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?E E线段与角求相等，先找全等试试看。线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂线。图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线三角形里有中线，延长中线= =中线。中线。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。 可编辑
