1、作任意三角形三邊的中垂線，會有什麼發現呢？ 結論：作任意三角形三邊的中垂線 ，皆會交於一點 ABCO 銳角三角形CABCOABO 直角三角形 鈍角三角形中垂線中垂線中垂線中垂線中垂線中垂線中垂線中垂線中垂線中垂線性質：中垂線性質：一線段的中垂線上任一點一線段的中垂線上任一點到線段兩端點端點等距離距離ABCLMP21【已知】ABC，L為BC的中垂線，與【求證】CPBP 【證明】 M為BCBC交於MP為L上一點的中點CMBM LBC9021在BMP、 CMP中CMBM 21PMPM BMPCMP(SAS)故CPBP OABC即可畫出一圓，此圓稱為ABCABC的的外接圓外接圓O為外接圓外接圓的圓心，
2、簡稱的圓心，簡稱外心，ABCABC稱為圓稱為圓O O的的內接三角形內接三角形OCOBOAOCOBOA作ABC三邊的中垂線交於O，由前面介紹的中垂線性質 可知O到三角形的三頂點等距離。即：所以如果以O為圓心，為半徑此圖可知銳角三角形的外心在 的的內部內部中垂線中垂線中 垂 線那麼直角三角形和鈍角三角形的三邊中垂線的交點外心，又會在什麼位置呢？AO直角直角外心在外心在斜邊中點斜邊中點BC =R(外接圓半徑)OCOBOA中垂線中垂 線中垂線O鈍角鈍角外心在外心在外部外部ACB中垂線中垂線中垂線外心還有哪些重要的性質呢？則則 BOCBOC=2=2 A AO O是是銳角銳角 ABCABC的外心的外心 ，
3、在，在ABCABC中中 證明證明 連連OAOAO O是三角形是三角形ABCABC的的外心外心OCOBOA 1= 1= 3 3 2= 2= 4 4在在OABOAB中中OBOA OCOA = = 1 1 + + 3 3 + + 2 2 + + 4 4= = 2 2 3 3 + + 2 2 4 4 = = 2(2( 3 3+ + 4 4) )= 2= 2 A AB BC24A6O BOC = BOC = 5 +5 + 6 6 5為OAB的外角 5=1+3又6為OAC的外角6=2+4(外接圓半徑)在在OACOAC中中135 O O是是鈍角鈍角 ABCABC的外心的外心則則 BOC=360-2BOC=3
4、60-2 A A 證明證明 連連OAO O是三角形是三角形ABCABC的的外心外心OCOBOA在在OABOAB、OACOAC中中=(180=(180 - -2 2 1 1 ) + (180) + (180 - -2 2 2 2) ) 1 =1 = ABOABO 2 =2 = ACOACO則則 BOC = BOC = 3 +3 + 4 4O OAB BC C1 1 2 23 3 4 4=(180=(180 - - 1 1 - - ABOABO)+(180)+(180 - - 2 2 - - ACOACO) )=360=360-2(-2( 1 1+ + 2 2 ) ) =360=360-2-2 A
5、 A(外接圓半徑)在OABOAB中，中， 3 3 =180=180 - - 1 1 - - ABOABO在OACOAC中，中， 4 4 =180=180 - - 2 2 - - ACOACO外心介紹完畢製作：立人國中 賴靜慧 做任意三角形的三條內角平分線，會有什麼發現呢？ABCDFEABCABCDFEDFE 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形結論：任意三角形的三條內角平分線皆會交於一點 角平分線性質：角平分線上任一點，到角的兩邊等距離【已知】BACPD於EE【求證】【證明】APBAC，AP為角平分線ABPD 於D，ACPE PEPD 在ADP與AEP中，為角平分線2112又ABPD ACPE
6、4334APAP (公共邊)ADPAEP(AAS)故PEPD 且作ABC的三內角平分線，如圖交於I。 由前面介紹的角平分線性質可知：I到三角形的三邊等距離。也就是說： IRIQIP所以，如果我們以I為圓心， IRIQIP 為半徑，即可畫出一圓與ABC相切。 此圓稱為ABC的內切圓，I為內切圓的圓心簡稱為內心 IRIQIP稱為內切圓半徑r，ABC稱為圓外切三角形。 由此圖可知：銳角三角形的內心在三角形內部。ABCIDFEPQR 那麼直角三角形和鈍角三角形的三內角平分線的交點內心，又會在三角形的什麼位置呢？ABCI直角三角形的內心在三角形的內部鈍角鈍角內心也在內心也在內部內部ACBI內心還有哪些重
7、要的性質呢？繼續看下去喔！ABCIEFI為ABC的內心，則ABIC2190【證明】在ABC中，I為內心 BE CF為角平分線 1=2 3=4 1234BIC18024 =180- ABC21ACB21=180- )(21ACBABC=180- )180(21BAC=180- 90+ BAC21=90+ A21ABCIDEF如圖：I為ABC的內心，IFIEID,為內切圓半徑rABC周長s則ABC面積=sr21【證明】連CIBIAI,ABC面積= AIB面積+ BIC面積+ CIA面積)(21IFAB)(21rABrACBCAB)(21sr21+)(21IDBC+)(21IEAC+)(21rBC+
8、)(21rACABCIDEF如圖：I為ABC的內心，IFIEID,為內切圓半徑r【證明】AIB面積:=AB:BC:CABIC面積: CIA面積AIB面積 : BIC面積 : CIA面積=IFAB 21:IDBC 21:IEAC 21=AB:BC:CA內心介紹完畢製作：立人國中 賴靜慧 做任意三角形的三條中線，會有什麼發現呢？ABC中線中線中線ABCABC中線中線中線中線中線中線 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形結論：任意三角形的三條中線必交於一點，此點稱為三角形的重心ABC中，E、F分別為AC、AB之中點 且BE與CF交於G連EFE、F分別為 ACAB之中點 EF/BC且BCEF21在GBC
9、與GEF中 1=2 3=4由AA相似性質得 GBCGEF GEBG:=EFBC :=2:1即BEBG32三角形的重心到一頂點的距離等於中線長的三分之二ABCEFG【已知】【求證】BEBG32【證明】後面還有一些重要的性質喔1234內錯角ABCGOI【已知】正ABC，邊長a【求證】內切圓半徑=a63外接圓半徑=a33【證明】 ABC為正 外心O=內心I=重心G則內切圓半徑DEFID=GD=AD31=)23(31a=a63外接圓半徑OA=GA=AD32=)23(32a=a33ABCOGD【已知】直角ABC，O為外心，G為重心【求證】BG=31斜邊長OG=61斜邊長【證明】O為直角ABC的外心OCO
10、BOA=21斜邊長又G 為重心BG=OB32=32(21斜邊長)=31斜邊長OG=OB31=(斜邊長)=斜邊長312161ABCD【已知】ABC，D為BC的中點【求證】ABD面積= ACD面積【證明】 ABD面積= 21BDhACD面積=21CDhD為BC的中點 CDBD 故ABD面積= ACD面積輕鬆一下hABCDEFGG為ABC的重心，則AGB面積= BGC面積= AGC面積【證明】 G為重心，D為由前一頁介紹的性質可知ABD面積= ACD面積BC的中點且GBD面積= GCD面積則ABD面積- GBD面積= ACD面積- GCD面積 AGB面積= AGC面積同理可證 AGB面積= BGC面積故AGB面積= BGC面積= AGC面積G為ABC的重心，則AGF= BGF= BGD= CGD= CGE= AGEABCDEF【證明】 G為重心，AGB= BGC= AGC由前一頁介紹的性質可知又F為中點31ABC AGF= BGF21AGB=2131(ABC) =61ABC同理可證BGD= CGD=61ABCCGE= AGE=61ABC故AGF= BGF= BGD= CGD= CGE= AGE 謝謝觀賞，拜拜G
