1、11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五1二二. 一致收敛的定义一致收敛的定义 一一. 函数项级数的概念函数项级数的概念三三. 一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质 四四. 一致收敛级数的判别法一致收敛级数的判别法11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五2三三. 一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质 有了一致收敛概念，就可以回答前面提出的问题.定理定理1 (极限换序定理极限换序定理)nnSxSx函数列（ ）的每一项 （ ）都连续，nSxS x一致收且敛（ ）于（ ），.上连续，也在ba，有，即对bax 0.
2、limlimlimlim000）（）（）（xSxSxSnxxnnnxx.亦即两个极限运算可以交换顺序0 xxn （一个对取极限，另一个对取极限）ab若在，上，S x则其极限函数（ ）11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五3证明证明），故（上一致收敛于，）在（由xSbaxSn0,(xN 对），（N仅与 有关而与 无关）()(),)(,3NSxS xaxb使000,3NxaSxbS x（ ） （ ）对，显然也有, 0,)(00时使连续在点再由xxxxSN0( )(),3NNSxSx00( )(),S xSxxx有于是 当时000( )( )( )(.)
3、( )( )NNNNS xSxSxSxSxS x11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五4定理定理2（可积性定理）（可积性定理） lim( )( )lim( ).bbbnnaaannSxdxS x dxSx dx.可以换序即极限运算与积分运算.dttSbadttSxaxan）（上一致收敛于，也在）（且函数列11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五5证明证明有当,),(,0NnN即.上式都成立，则对换为积分上限baxxb极限定义nabxxSS设在，上 （ ）（ ）lim( )( )bbnaanSx dxS x
4、 dx要证明， Sdx |bbbnnaaaS dxSS dx11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五6lim( )lim( ).nnnnddSxSxdxdx定理定理3（可微性定理）（可微性定理） 满足：）（上的函数列，若在xSban1( ),nSx（）每一项都有连续导数2( )( ),nSxS x（ ）收敛于3( )( ),nSxx（ ）一 致 收 敛 于），即（）（则xxS亦即极限运算与求导运算可以交换顺序.并且.上也一致收敛，）在（baxSn11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五7证明证明）连续，（）
5、，故（）一致收敛于（由xxxSnxannxadttSdtt）（）（有由定理lim2.lim）（）（）（）（aSxSaSxSnnn,等式左边的导数存在( )( )( )2,xnnnaSxSaS t dt又由及定理 把上面各定理中的把上面各定理中的 都作为函数项级数都作为函数项级数的部分和的部分和,就得到就得到函数项级数函数项级数类似的定理类似的定理.）（xSn( )( )( ),S xxS x故存在且( )nSx即得一致收敛.11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五8定理定理4(逐项求极限定理逐项求极限定理) 000111limlimnnnxxxxnn
6、nuxu xu x（ ）（ ）1nnnabu xu x若在 ，上级数（ ） 每一项 （ ）都连续，1nnu xS x且（）一致收敛于（），000limxxxabS xS x即，有（ ） （ ）(和的连续性和的连续性)S xab则（ ）在，也连续11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五9证明证明)()()()()()(000 xrxrxsxsxsxsnnnn )()()()(00 xrxrxsxsnnnn (1) 级级数数 1)(nnxu一一致致收收敛敛于于)(xs，000( )( )( ),()()()nnnns xsxr xs xsxr x0,x
7、xa b设为上任意两点，由11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五103)( xrn(2).3)(0 xrn同样有同样有)(xsn是是有有限限项项连连续续函函数数之之和和，故故)(xsn(Nn )在在点点0 x连连续续，0 当当 0 xx时时总总有有 3)()(0 xsxsnn(3)0nN 对， （ ），当 N，xab 对，都有11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五11由由(1)、(2)、(3)可见可见,对任给对任给0 ，必有，必有0 ，当当 0 xx时时，有有.)()(0 xsxs所所以以)(xs在在点
8、点0 x处处连连续续，0 xab而在，上是任意的，xab.S（ ）在，上是连续的11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五1200012( )( )( )xxxxxxs x dxu x dxu x dx xxndxxu0)(定理定理5(逐项求积定理逐项求积定理)11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五13证明证明 级数级数 1)(nnxu在在ba,一致收敛于一致收敛于)(xs, 由定理由定理 1, )(xs，)(xrn都在都在ba,上连续，上连续，所以积分所以积分 xxdxxs0)(， xxndxxr0)(存
9、在存在,从而有从而有 xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(.)(0 xxndxxr.)(abxrn 11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五14 xxnxxdxxsdxxs00)()( xxndxxr0)(0().xxb a根据极限定义，有根据极限定义，有 nixxnnxxnnxxdxxudxxsdxxs1000)(lim)(lim)(即即 100)()(ixxixxdxxudxxs由于由于N只依赖于只依赖于 而于而于xx ,0无关，无关，所以级数所以级数 10)(ixxidxxu在在ba,上一致收敛上一致收敛.于于是是，当当
10、Nn 时时有有11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五15定理定理6(逐项求导定理逐项求导定理) )()()()(21xuxuxuxsn11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五16注意注意; ;例如习题例如习题13 22222sin22sin1sinnxnxx在任何区间在任何区间,ba上都是一致收敛的上都是一致收敛的.逐项求导后得级数逐项求导后得级数,cos2coscos22 xnxx.,发散的发散的都是都是所以对于任意值所以对于任意值因其一般项不趋于零因其一般项不趋于零x所以原级数不可以逐项求导所以原级数
11、不可以逐项求导1nnxu，）一致收敛”这一条件（仅有“，还必须有条件不能保证可以逐项求导.)(1）（一致收敛于xxunn11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五17定理定理7 7（WeierstrassWeierstrass判别法）判别法）一致收敛性的简便判别法一致收敛性的简便判别法：四四. 一致收敛级数的判别法一致收敛级数的判别法 （一个收敛级数）（一个收敛级数）11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五18证明证明12.nnn paaa12,nnn paaa11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛
12、2022年年6月月3日星期五日星期五19例例证明级数证明级数 22222sin22sin1sinnxnxx在在),( 上一致收敛上一致收敛.）（xrn11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五20在在),(内内), 3 , 2 , 1(1sin222 nnnxn 级级数数 121nn收收敛敛，由由魏魏尔尔斯斯特特拉拉斯斯判判别别法法，所给级数在所给级数在),( 内一致收敛内一致收敛（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛绝对一致收敛的. 注注：（：（1）应用此判别法的关键是：）应用此判别法的关键是：nnuxa从 （ ）出发找到所需的，11.1函数项级数的
13、一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五21例例7 7nxanxaannnnnncossin111和绝对收敛，则若级数.收敛的级数内都是绝对收敛和一致，在证明证明sinnnanxa由于，.判别法即可得证再由Wcosnnanxa，11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五22定理定理8（阿贝尔判别法）（阿贝尔判别法）nxbxXnNxXnn=1若a（ ） （ ） 在上，满足条件：11nnxb）一致收敛；（）（的常数），且对于和（不依赖于）（）（nxLxan2）单调，（，数列固定的中xaxXn.1上一致收敛）在（）（则Xxbxannn
14、 此定理与数项级数的此定理与数项级数的阿贝尔阿贝尔定理相似，证明也定理相似，证明也大体相同（用阿贝尔引理和一致收敛的柯西原理）大体相同（用阿贝尔引理和一致收敛的柯西原理）na xX（函数列 （ ）在 上一致有界）11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五23例例8 8.1011上一致收敛，在收敛，则若nnnnnxaa证明证明nnnb xxxx由于 （ ）对于每一个固定的 ，单调，）（，和，又110 xbNnxn.A 所以由判别法即得11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五24定理定理9（狄利克雷判别法）（狄利
15、克雷判别法）nxbxXnNxXnn=1若a（ ） （ ） 在上，满 足 条 件 ：111knkinib xB xb xX（）（ ）的部分和 （ ）（ ）在 上一致有界；20na xX （ ） xX数列 （ ）单一致收，且在 上敛调于 ，1.nnnaxb xX则（ ） （ ）在一致收敛上 此定理与数项级数的此定理与数项级数的狄利克雷狄利克雷定理相似，证明也定理相似，证明也大体相同（用阿贝尔引理和一致收敛的柯西原理）大体相同（用阿贝尔引理和一致收敛的柯西原理）11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年6月月3日星期五日星期五25例例9 9证明证明 .2sin01上一致收敛，在，则单调地趋于若nxaannn)0（这里2x当， 时 ，xxnxkxnk21sin221cos21cossin1）（.921sin121sin1条件，故满足定理xP33例5(和差化积)作业：作业：P 89 8. 11P 89 8. 11
