1、 一阶电路分析一阶电路分析 只含一个独立动态元件的电路称为只含一个独立动态元件的电路称为一阶电路。它是用一阶微分方程来一阶电路。它是用一阶微分方程来描述。本章讨论直流电源激励下的描述。本章讨论直流电源激励下的一阶电路，它可以分解为零输入一一阶电路，它可以分解为零输入一阶电路和零状态一阶电路的叠加，阶电路和零状态一阶电路的叠加，完全响应等于零输入响应和零状态完全响应等于零输入响应和零状态响应之和。响应之和。 何谓零输入响应和零状态响应？何谓零输入响应和零状态响应？ 用下图说明：用下图说明： - -12VRC+t = 0+- -ucs1s2t = 0+- -4 V具有开关的直流电源激励具有开关的直
2、流电源激励励的一阶电路励的一阶电路 ucR+- -12VC+- -0 t，uc(0)=4V 利用叠加定理：利用叠加定理：+RC+- -uc+- -12V0 t，uc(0)=0V 零状态电路零状态电路 RC+- -uc0 t，uc(0)=4V 零输入电路零输入电路 )()()(tututuccc 全响应全响应 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 ucR+- -12VC+- -0 t，uc(0)=4V 8-1 零输入响应零输入响应一、一、 RC电路的零输入响应电路的零输入响应对下图电路，求换路以后对下图电路，求换路以后 的的 )0( t+- -U0R0t = 0C+- -ucRi+- -u
3、R。，)()()(tutituRc1、换路前后，电路的物理过程、换路前后，电路的物理过程0)0(0)0()0(00 RcuiUut，时时，+- -U0R0t = 0C+- -ucRi+- -uR+- -CucRi+- -uR0cU)0(u, 0t t=0+时，时，uc(0+)=uc(0-)=U0, uR(0+)=U0,i(0+)= , Wc(0)=20CU21RU0，放出能量（放电），放出能量（放电），时，时，)()()()(0 RtutitutuCtcRc 达到稳态。达到稳态。，放电结束，电路，放电结束，电路，00iuutRc 2. 电路的微分方程及其求解电路的微分方程及其求解 设响应为设响
4、应为 uc(t)0)0(000UutudtduRCdtduRCRiuuuccccRRc 及及（齐齐次次微微分分方方程程），一阶齐次微分方程的解为一阶齐次微分方程的解为 式中式中K是由初始条件确定的待定常数，是由初始条件确定的待定常数，S是特征方程的特征根。是特征方程的特征根。 stcKetu )(+- -CucRi+- -uR0cU)0(u, 0t 因特征方程为因特征方程为01 RCSRCS1 则则RCtcKe(t)u 在上式中令在上式中令 t=0，得，得K= uC(0) =U0式中式中 ，称为，称为RC电路的时间常数电路的时间常数SRC1 0)(00 teUeUtutRCtc， 则则 tcR
5、eRURuRuti 0)(又又 ，t 0U00tuc0tiRU0由上述结果可看出：由上述结果可看出： （1） 特征根为负（即特征根为负（即 为正）的零输入响为正）的零输入响应是从初始值开始随时间单调衰减的指数函数。应是从初始值开始随时间单调衰减的指数函数。所经历的过渡过程的长短取决于所经历的过渡过程的长短取决于RC（即时间常（即时间常数），数），R和和C，过程会，过程会。（2） RC电路零输入响应变化过程的实质电路零输入响应变化过程的实质是电容的贮能逐渐被是电容的贮能逐渐被R所消耗的过程。所消耗的过程。（3） 求一阶电路的零输入响应，就是求一阶电路的零输入响应，就是找初始值及特征根（或时间常数
6、）。找初始值及特征根（或时间常数）。如果电路中有多个电阻或含受控源，如果电路中有多个电阻或含受控源，则则 =RC中的中的R应是动态元件两端应是动态元件两端的戴维宁电阻的戴维宁电阻R0 。 （4） 因因 =0.368，所以，所以 是零输入响是零输入响应衰减到初始值的应衰减到初始值的0.368时的时间。时的时间。 1 e 二、二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应 以以 iL为变量的方程：为变量的方程： 0)0(0IiRidtdiLLLL 由特征方程由特征方程 0 RLS且令且令 称为称为RL电路的时间常数。电路的时间常数。RLS 1 LRS t = 0I0RLiL12RiLL+- -uL0LI
7、)0(i , 0t ttLRLeIeIti 00)(0t， te0RIdtLdiL) t (Lu及及t 0I0iLt0.368I0 00uLt- -RI0可见，当可见，当s 0 teftf )0()(即只需求得即只需求得 和和，就可，就可 得出得出一阶电路的零输入响应。一阶电路的零输入响应。)0 ( f 3. 零输入响应满足线性性零输入响应满足线性性(即比例性即比例性 和叠加性和叠加性)。2 . 由动态元件的性质及由动态元件的性质及KVL、KCL确定；确定；由电路本身参数确定：由电路本身参数确定： 或或 。CR0 0RL )0( f(若电路中有多个电阻或受控源，式中若电路中有多个电阻或受控源，
8、式中R0为为 时动态元件两端的戴维宁等效电时动态元件两端的戴维宁等效电阻。阻。)0t 例例 求求 时时 的的i1、i2、i3。0 t+- -10Vabt = 0i3i2i11 H 10 10 20i3i2i11 H 20 200 t+- -a10Vi1(0- -) 10t = 0- -解：这是求零输入响应，先解：这是求零输入响应，先求求 teiti )0()(11 又又 R0=2020=10由由t =0-的电路，的电路， )0(1)0(11 iAi 0tAe5 . 0) t (i21) t (i) t (i0tAe) t (it10132t101 ，作业作业 (318页页) 8-2, 8-5,
9、 8-6, 8-10S101RL 则则i3i2i11 H 20 200 t8-2零状态响应零状态响应初始状态为零，仅由外加激励引起的响应称初始状态为零，仅由外加激励引起的响应称为零状态响应。为零状态响应。一、一、 RC电路的零状态响应电路的零状态响应+- -USt = 0R+- -uRCic+- -ucuc(0- -) = 0+- -US+-RuRicC+- -uc(t = 0+)1. 电路的物理过程电路的物理过程t=0- 时，时， 0)0(0)0( cciu， t = 0+ 时，时， ，电容等效，电容等效为短路，为短路，0)0()0( ccuu 为最大值，为最大值， 最大值。最大值。RUis
10、c )0(SRUu )0(随随t， ， uC(t), uR(t) , ic。0)0(0 Cidtductc当当t时，时，ic0，uR0，ucUs 达到最达到最大值，此时电容相当于大值，此时电容相当于开路，电路达到稳态。开路，电路达到稳态。+- -R+- -uRicC+- -ucUS)( t+- -USRicC+- -uc0 t2.uc(t)的微分方程及其求解的微分方程及其求解 0)0(csccuUudtduRC由由KVL非齐次一阶微分方程的解为：非齐次一阶微分方程的解为： )()()(tututucpchc 式中式中 uch 是齐次解，形式由特征根确定，即是齐次解，形式由特征根确定，即 tRC
11、tstchKeKeKetu )(0 t，+- -USRicC+- -uc0 tucp(t)是特解，其形式与外加激励相同，是特解，其形式与外加激励相同，对于直流激励，对于直流激励，ucp应为常数，故令应为常数，故令 Qtucp )(将它代入微分方程得将它代入微分方程得 scpUQtu )(StcUKetu )(式中待定常数式中待定常数K由由 uc(0) 确定，在上式中令确定，在上式中令t = 0， 0)( scUKtusUK tscceRUdtduCti )(以及以及 ，t 0 0.63US US0uctictRUSRUs368.0 +- -USRicC+- -uc0 t0 t)e1 (U) t
12、 (utsc ，由上可以看出：由上可以看出： 1)不跃变的不跃变的uc(t)的零状态响应是从的零状态响应是从 零值按指数规律上升趋于稳态值，该稳态值可由零值按指数规律上升趋于稳态值，该稳态值可由电路观察看出。在上面的电路中，电路观察看出。在上面的电路中，uc的稳态值的稳态值为为 ， 所以电容电压的零状态响应所以电容电压的零状态响应 可写成可写成 。2) 并不是所有变量的零状态响应都是从零值趋于稳并不是所有变量的零状态响应都是从零值趋于稳态值，例如态值，例如 ic(t) 是从其初始值按指数规律衰减到是从其初始值按指数规律衰减到零。这是上图电路中零。这是上图电路中 ic 本身性质所确定的。本身性质
13、所确定的。 ScUu )()1)()( tcceutu +- -USRicC+- -uc0 t例例 图示电路，图示电路，2A电流源在电流源在t=0时加于电路，时加于电路，u(0)=0，求，求i1(t)，t0，并画出其波形。，并画出其波形。 2Ai10.01Fi2+- -u2i1+- - 4 4解：设解：设 i2 如图。先求如图。先求u，则，则 dtduCi 2得得212ii （1）求）求 。因为。因为 时，时，C 等等效为开路，此时效为开路，此时 电路如图电路如图 )( u t( (a a) ) t = =2Ai1+- -2i1+- - 4 4)( u ViiuAi12)(2)(4)(2)(1
14、11 ，（2）求）求R0 和和：由图（：由图（b），在端口处），在端口处加加 i1 ，求，求u 。i1+- -2i1+- -u 4 40R( (b b) )SCRiu10i2i8iu111 . 001. 0101001 则则0RViiuAi12)(2)(4)(2)(111 ，(3)0)1(12)1)()(10 tVeeututt， 02 . 12)(02 . 112001. 0)(10110102 tAetitAeedtduCtittt，2Ai10.01Fi2+- -u2i1+- - 4 40.8i1(A)2t(s)二、二、RL电路的零状态响应电路的零状态响应ISt = 0baRLiL+- -
15、uLuLISRLiL+- -t t 0 0, ,iL L( (0 0) )= =0 0以以 iL 为变量的微分方程为变量的微分方程: 0)0(LsLLiIidtdiRL解得解得 0)(0)1()( teRIdtdiLtuteIiititSLLtSLpLhL， 式中式中RL 从数学结果和波形看出，不跃变的从数学结果和波形看出，不跃变的 iL(t) 的零状态响应与的零状态响应与 uC(t) 的零状态响应一样的零状态响应一样也是从零值开始按指数规律上升趋于其直也是从零值开始按指数规律上升趋于其直流稳态值流稳态值 。 )( LiiLIS0tuLRIS0t掌握这一规律，在掌握这一规律，在RL一阶电路中，
16、求任意变量一阶电路中，求任意变量的零状态响应，可以先求的零状态响应，可以先求iL(t) 的零状态响应，再的零状态响应，再从电路的约束关系，求出任意变量的零状态响应。从电路的约束关系，求出任意变量的零状态响应。三、直流一阶电路零状态响应的小结三、直流一阶电路零状态响应的小结1. RC电路中的电路中的uC ，RL电路中的电路中的iL ，其零状态，其零状态响应有如下通式：响应有如下通式：0)1)()( teftft， CR0 式中式中 为为uC 或或 iL 的直流稳态值的直流稳态值. 为时间常数，对为时间常数，对RC 电路电路 ，对，对RL电电路路 ，R0 是是t0 时动态元件两端的时动态元件两端的
17、戴维宁电阻戴维宁电阻 R0 。0RL )( f2. 电路达到稳态时，电容如同开路，电路达到稳态时，电容如同开路，电感如同短路，由此电感如同短路，由此 的等效的等效电路求出相应的电路求出相应的 或或 。)( cu)( Li t3. 求出求出uc或或iL的零状态响应后，若需的零状态响应后，若需求其它变量的零状态响应，可由求其它变量的零状态响应，可由uc或或iL置换置换C或或L，再由电路的约束关，再由电路的约束关系求出。系求出。 4. 零状态响应满足线性性（即比例性零状态响应满足线性性（即比例性和叠加性）。和叠加性）。 例例 已知已知iL(0)=0 ，求，求 i(t) ，t0 1 5 4 2 . 1
18、it = 0+- -18V10HiL 6 4 2 .1+- -18V)( Li(a) t=+- -15V 1 4)( Li(b) t=解：这是求解：这是求i(t) 的零状的零状态响应，先求态响应，先求iL(t) 的的零状态响应。零状态响应。 +- -15V 1 4)( Li(b) t=，将图，将图(a)化成化成图图(b)可得可得)( LiAiL34115)( SRL20 1) 求求2) 求求R0 ，由图（，由图（ a）或（）或（b）可得）可得R0=53) 4) 将将L由由iL(t)的电流源的电流源置换，由网孔方程置换，由网孔方程 AetitL)1(3)(5 . 0 0 t，i+- -iLiLi
19、 1 5 418V 2 . 1182 . 12 . 7 Lii解得：解得：2 . 7)(2 . 118)(titiL Aet5 . 05 . 02 ，t 0作业：作业：8-15，8-16，8-19 （321页）页） 8-3 完全响应完全响应 由初始状态和独立源共同引起的响应称为由初始状态和独立源共同引起的响应称为完全响应。本节讨论全响应的两种分解形完全响应。本节讨论全响应的两种分解形式，所讨论的电路如图所示，求解式，所讨论的电路如图所示，求解uc(t)。 t = 0RC+-uc+-US12U0+- -一、全响应一、全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 0 t0)0(Uuc R+-
20、USC+-uc tceUtu 0)( 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 )1()( tSceUtu 全响应全响应 )1()(0 tStceUeUtu t = 0RC+-uc+-US12U0+- -二、全响应二、全响应=固有响应固有响应+强制响应强制响应 将将式中由式中由表征的指数项合并，得表征的指数项合并，得 StScUeUUtu )()(0固有响应固有响应 强制响应强制响应 式中的第一项实际上是微分方程的齐次解式中的第一项实际上是微分方程的齐次解uch(t)，其模式（即变化规律）由电路的固有，其模式（即变化规律）由电路的固有参数（参数（RC）决定，故称为）决定，故称为固有响应固有响
21、应。若电。若电路的特征根路的特征根s0，由于，由于uch(t)随时间最后衰减为零，故这样的固有响应又随时间最后衰减为零，故这样的固有响应又称为称为暂态响应暂态响应。 式中的第二项实际上是微分方程的特解式中的第二项实际上是微分方程的特解ucp(t)，其变化规律取决于外加激励的变化模式，称为其变化规律取决于外加激励的变化模式，称为强制响应强制响应。当其电路的。当其电路的0，在，在t时，时，uch(t)0，则，则uc(t)= ucp(t)，这时的强制响应又，这时的强制响应又称为称为稳态响应稳态响应。直流激励下的。直流激励下的ucp(t)就是直流就是直流稳态响应。直流稳态响应可通过观察法由电路稳态响应
22、。直流稳态响应可通过观察法由电路直接看出。直接看出。 StScUeUUtu )()(0固有响应固有响应 强制响应强制响应 例如原图电路中，例如原图电路中，ucp(t)=uc()=US。 如果仔细推敲如果仔细推敲式，可将该式写成对任意变量式，可将该式写成对任意变量成立的全响应表达式。现将成立的全响应表达式。现将式重写如下：式重写如下： 式中式中U0为为uc(0)，US为为uc() StScUeUUtu )()(0固有响应固有响应 强制响应强制响应 t = 0RC+-uc+-US12U0+- -R+-USC+-uc所以在直流激励下，一阶电路所以在直流激励下，一阶电路任意变量的全响应可表达为：任意变
23、量的全响应可表达为： )()()0()( fefftft 这就是下节将要讨论的三要素这就是下节将要讨论的三要素法公式，第一项是法公式，第一项是固有响应。固有响应。（若若0，又是暂态响应），又是暂态响应） 第第二项是二项是直流稳态响应直流稳态响应。 综上所述，电路的完全响应可以用两综上所述，电路的完全响应可以用两种方法求解，这两种方法分别是上述种方法求解，这两种方法分别是上述式和式和式所表述的方法，即式所表述的方法，即：全响应全响应 = 零输入响应零输入响应 + 零状态响应零状态响应 如如式式 全响应全响应 = 固有响应固有响应 + 强制响应强制响应 如如式式 例例 图示电路，各电源在图示电路，
24、各电源在t=0时接入时接入电路，已知电路，已知u(0)=1V，求，求i(t)，t0。 i+- -10V1 F+- -u1A 1解法一，全响应解法一，全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 先求先求u(t)的全响应的全响应 = 1S，u(0) = 1V，u() = 11V u(t) = u(0)e-t + u()(1-e-t) = e-t + 11(1-e-t) +- -10V+- -1A 1)( u u(t) = u(0)e-t + u()(1-e-t) = e-t + 11(1-e-t) 则则Ae101e111e110)t(u)t( ittt 强制强制响应响应 零状态零状态响应响应零输入响应零输入响应固有固有响应响应 i+- -10V1 F+- -u1A 1解法二：解法二： )()()0()( ieiitit i+- -10V1 F+- -u1A 1+- -10Vi(0+)C+- -u(0+)1V 1(t=0+)(t=0+)1) 由由 t = 0+ 的等效电路得的等效电路得 A91101)0( i 2) 由由t = 的等效电路得的等效电路得 i() = 1A = 1S t 01)19()( tetiAet 101作业：作业：8-21，8-23，8-27 （323页）页）
