1、例1：如图所示是一个倒置的摆，摆球质量 m，刚杆质量忽略不计，每个弹簧的刚度是k/2，求：倒摆作微幅振动时的固有频率可以有几种解法？lmak/2k/2解法1：广义坐标，零平衡位置1动能势能2221 11 2sin22kamgl2222211 () ()22kamglkamglmaxmaxTUmaxmaxn 22nkamglmllmak/2k/2零平衡位置零平衡位置1 121 121 cos2 2Ukamgl2221122TJml解法2：广义坐标，零平衡位置2动能势能2221 1 2sin22kamgl22211 22kamglmgl221()2kamglmgl 0dTUdt2222 ()0ml
2、kamgl2222()0mlkamgl22nkamglmllmak/2k/2零平衡位置零平衡位置2 221 12cos2 2Ukamgl2221122TJml例题：如图，两弹簧的刚度分别是k1和k2，摆球的质量为m。若杆的质量忽略不计，用能量法求系统的固有频率。解：取摆球偏离平衡位置的角位移为广义坐标，作简谐振动，有系统最大动能bk1k2camsin()nAtmaxA2222max11()22nTm cmAccos()nnAtmaxnA最大弹性势能最大重力势能由 得整理得2211max2max11()()22Ukakb222maxmax11(1 cos)22UmgcmgcmgcAmaxmaxT
3、U222222221211112222nmAck A ak A bmgcA22122nk ak bmgcmcbk1k2cam例：在图示系统中，弹簧长l，其质量ms ，质量块m，求弹簧的等效质量及系统的固有频率。解：令 x 表示弹簧右端的位移， 也是质量 m 的位移。假设 弹簧各点在振动中任一瞬时 的位移和一根直杆在一端固 定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，左端距离为 的截面的位移为 ， 则d 弹簧的动能为 2s1dd2smTxllxll d 例：阻尼缓冲器静载荷 P 去除后质量块越过平衡位置得最大位移为初始位移的 10 求：缓冲器的相对阻尼系数kcx0 x0Pmm平衡位置平衡位置解：
4、由题知 ，设求导设在时刻 t1质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为： 即经过半个周期后出现第一个振幅 x1(0)0 x0(0)xx000( )(cossin)ntndddxxx textt20( )sinntnddxx tet 12011( )sin0ntnddxx tet dt12111100( )ntxx tx ex e kcx0 x0Pmm平衡位置平衡位置由题设质量块最大位移为初始位移的 10，可知 解得：2111100( )ntxx tx ex e 211010%xex0.59例：小球质量 m ，刚杆质量不计求：（1）写出运动微分方程（2）阻尼固有频率，临界阻尼系数lakcmb解：
5、广义坐标，受力分析力矩平衡：无阻尼固有频率：0m l lc a ak b b 2220mlcakb22nkbbkmllm222ncaml22222ncacammlmlbklakcmbmacbklm 220nnxxx阻尼固有频率：临界阻尼系数：22 22421142dnkmb lc aml22crblcmka212cammlbk例题：一个质量为1.95kg的物体在粘性阻尼介质中作强迫振动，激励力为 N，(1)测得系统共振时的振幅为1.27cm，周期为0.20s，求系统的阻尼比及阻尼系数；(2)如果 f = 4Hz，无阻尼时振幅是有阻尼时振幅的多少倍解： (1)系统的固有频率共振时有25sin(2
6、)Fft12100.20n22562.661.27 1010FcX12/XF k62.660.5122 1.95 10ncm(2)振动频率为 f = 4Hz ，频率比无阻尼时系统振幅有阻尼时系统振幅无阻尼与有阻尼系统振幅比为40.81/20nnfrf2221(1)(2)FXkrr 211FXkr222222 0.51 0.81 ()1 ()2.4811 0.8XrXr 例题：偏心质量系统，共振时 测得最大振幅为0.1m，由自由 衰减振动测得阻尼系数为 ，假定 求：（1）偏心距 e，（2）若要使系统共振时振幅为 0.01m，系统的总质量需要增加多少？0.0510%mMmxc2k2kteMMkct
7、mesin2x解：（1）共振时最大振幅（2）若要使系统共振时振幅为0.01 m10.1 ( )2memM0.1 ( )em10.01 ( )2memMM10.10.01 ( )2 0.05mmMM9MM9MM0.1mM例题1：汽车的拖车在波形道路上行驶，已知拖车的质量满载时为 m1 =1000kg，空载时为 m2 =250kg，悬挂弹簧的刚度为 k =350kN/m，阻尼比在满载时为 ，车速为 v = 100 km/h，路面呈正弦波形，可表示为求： 拖车在满载和空载时的振幅比10.52sinfzxall =5 ml =5 mmmk/2cx0k/2xfalxfz解：汽车行驶的路程可表示为：因此：
8、路面的激励频率：有 c、k 为常数，因此 与 成反比因此得到空载时的阻尼比为：满载和空载时的频率比：l =5 ml =5 mmmk/2cx0k/2xfalxfzzvt2sinfvxatl234.9/vrad sl12121.0mm1112221.870.93nnmrkmrkm2ckm满载时阻尼比空载时阻尼比满载时频率比空载时频率比记：满载时振幅 X1，空载时振幅 X2有：因此满载和空载时的振幅比：10.521.011.87r 20.93r 211 122211 11 (2)0.68(1)(2)Xrarr222 222222 21 (2)1.13(1)(2)Xrarr120.6XXl =5 ml
9、 =5 mmmk/2cx0k/2xfalxfz例题2：已知梁截面惯性矩I，弹性模量E，梁质量不计，支座A产生微小竖直振动 ，支座B不动求：质量m的稳态振动振幅解：在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度固有频率：xf 是因 yA 的运动而产生的质量m处的运动动力学方程 振幅：/ng( / )(/ )sinfAxb a ybd at()0fmxk xx(/ )sinmxkxkbd at22/1111kbd abdXkrarammbABAysinAydt例题：机器安装在弹性支承上 ，已测得固有频率fn=12.5Hz ，阻尼比 =0.15 ，参与振动的质量是880kg ，机器转速 n=2400r/mi
10、n ，不平衡力的幅值1470N ；求：1）机器振幅 2）主动隔振系数 3）传到地基 上的力幅 解：1）频率比：弹性支承的刚度： 机器振动的振幅 ：213.2602nnnrf226880 (212.5)5.43 10nkmN22210.0291()(1)(2)FXmmkrr2）主动隔振系数 ：3）传到地基上的力幅 ：22221 (2)0.149(1)(2)FrTrr0.149 1470219TFFT FN例：弹簧质量系统受到周期为T 的方波激励，系统固有频率为n 求系统响应 TtTFTtFtF2,20,)(00)(tF0F0F0T2/Tt解： a0在一个周期内总面积为0 ； 区间0,T内，F(t
11、)关于T/2为反 对称，而cosnt关于T/2对称。)(tF0F0F0T2/Tt=0=0=0=001( )(cossin)2nnnaF tan tbn t1sinnnbn t00002( )2( )cos2( )sinTTnTnaF t dtTaF tn tdtTbF tn tdtT区间 内，F(t)关于 对称，而 n 取偶数时， 关于 反对称；区间 内，F(t) 关于 对称，而 n 取偶数时， 关于 反对称；因此 bn=0, n=2,4,6 1( )sinnnF tbn t0,2T02( )sinTnbF tn tdtTsinn t,2TT34Tsinn t4T34T)(tF0F0F0T2/
12、Tt4T当 n 取奇数时于是，周期性激励F(t)可写为： 系统运动方程则有5 , 3 , 1n011,3,541( )sinsinnnnFF tbn tn tn0411(sinsin3sin5)35Fttt( )mxcxkxF t01,3,54( )sin()nnnFx tn tk02( )sinTnbF tn tdtT4008sinTFn tdtT04Fn其中：当不计阻尼时：22221(1)(2)nnn rnr12221nn rtgn rnr0221,3,541( )sin(1)nFx tn tknn r例：无阻尼弹簧质量系统在（0，t0）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用求： 系统响应00
13、0,0( )0, QttF ttt )(tF0Q00tt解法一：（1）当 时000,0( )0, QttF ttt )(tF0Q00tt00tt 01( )( )sin()tnnx tFtdm00sin()tnnQtdm02(1 cos)nnQtm0(1 cos)nQtktnnnnndtFmtxtxtx000)(sin)(1)sincos()(（2）当 时，0tt01( )( )sin()tnnx tFtdm000,0( )0, QttF ttt )(tF0Q00tt00001sin()0 sin()ttnntnQtdtdm001cos()cosnnnnQtttm0cos()cosnnnQtt
14、tk（1）当 时，（2）当 时，因此，系统响应：00tt 0tt000,0( )0, QttF ttt )(tF0Q00tt0( )(1 cos)nQx ttk00( )cos()cosnnQx ttttk00000(1 cos), 0( )cos()cos, nnnQtttkx tQtttttk 解法二：当t t0 时激振力已经去除，此时系统将以时刻 t =t0 时的位移和速度为初始条件做自由振动，称为残余振动。t t0 时的响应可以求解如下先求得t =t0 时刻的位移和速度：000( )(1 cos) nQx ttk000( )sin nnQx ttk)(tF0Q00ttt t0 时的响应
15、：于是系统响应为0000( )( )( )cos()sin()nnnx tx tx ttttt000000(1 cos) cos()sin sin()nnnnQQttttttkk00cos()cosnnQtttk00000(1 cos), 0( )cos()cos, nnnQtttkx tQtttttk 例题：图示系统，有 试确定系统的固有频率和主振型m1m2k3k1k2x1x2F1(t)F2(t)1212,2 ,mm mm kkk32kk由已知条件得特征方程为特征值为固有频率为11122kkkk22233kkkk1221kkk 24222750nnmmkk1nkm252nkm221,2323
16、22222nkkkkkkmmmmmm 把n1、n2分别代入得系统的振型向量为2(1)111121(1)1121nkmuruk 2212222222210.5nukrkmu 121110.5uu 11nkm 1u01节点0.501 2u252nkmmmk3k1k2F1(t)F2(t)y y( (t t) )x x( (t t) )123在某时刻，质量m移动到一新位置，用矢量表示为：j yi xr第n个弹簧的方向矢量为：jilnnnsincos0第n个弹簧的变形量为：nnnnyxlrlsincos),(0第n个弹簧所受的力为：微分方程为：311)(cosnnntFfxm 312)(sinnnntF
17、fym r( cossin)nnnnnnfl kkxy 现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。 x11xx230kkk112131、0312212111kkkkkk，画出各物块的受力图根据平衡条件，有首先令在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力画出受力图，则有xxx123010，kkkkkkk1222223323 ，同理，令画出受力图，有 xxx12301，kkkkk132333330 ，最后令因此刚度矩阵为K kkkkkkkkk12221333300刚度矩阵一般是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即kkijjiKKT现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。
18、 当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二和第三个弹簧的变形为零。11k1311211111,1,1kdkdkd01321FFF，首先施加单位力这时三物块所产生的静位移分别是d11, d21, d31所以三物块的位移相同，有F F1第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有1112kk,2132212211211,11,1kkdkkdkd01312FFF，令F F2第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为F F3再令1, 0321FFF321332123113111,11,1kkkdkkdkd可得到3212112121111133323123222113121111111111111111kk
19、kkkkkkkkkkkkdddddddddD系统的柔度矩阵为柔度矩阵一般也是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即3212112121111133323123222113121111111111111111kkkkkkkkkkkkkkdddddddddDi jj iddTDD 系统的柔度矩阵为例 试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度为EI，其质量不计)解：取y1、y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义，d11表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。EIlEIld243)2(3311d22表示在m2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产
20、生的位移。有EIld3322按材料力学的挠度公式，则有1m1y1F2m2y2F2l2ld12=d21表示在m2处施加单位力在m1处产生的位移，等于在m1处施加单位力在m2处产生的位移。有柔度矩阵为311122122255648ddlddEID233122152 224248llllddEIEIEI1m1y1F2m2y2F2l2l得系统的位移方程111111222()()ydm ydm y221112222()()ydm ydm y即31111222202505648yFymlmyFyEI例：求固有频率和主振型解：11220200230 xxmkkxmxkk 动力学方程：令主振动： 1122si
21、n()xtx或直接用 0MK)(2002322122mkkkmk得： m2m2kkkx1x2002322122mkkkmk00231122105722311220021212km令 特征方程： 5 . 2, 121mkmk581. 1,2111为求主振型，先将 代入 ：一个独立 12令11则111）（第一阶主振型：12令21则22.5将 代入122）（第二阶主振型：12120.5020111）（第一阶主振型：122）（第二阶主振型：画图：以横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值 第一阶主振动，两个质量在静平衡位置的同侧，做着同向运动。而做第二阶主振动时，两质量在平衡位置的异侧，做着异向运动 。有一点始终不振动，称为节点 1 11 12 21 1无节点 一个节点 m2m2kkkx1x2
