1、第10章 达朗贝尔原理及虚位移原理 达朗贝尔原理和虚位移原理分别从不同的角度分析系统的平衡问题，是研究力学平衡问题的另一途径。两者结合起来组成动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍方法，构成了分析力学的基础。 10.1 惯性力、质点的达朗贝尔原理惯性力、质点的达朗贝尔原理 10.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 10.3 约束、虚位移、虚功约束、虚位移、虚功 章节简介章节简介310.1惯性力、质点的达朗贝尔原理惯性力、质点的达朗贝尔原理10.1.1惯性力 质点受其它物体的作用而引起运动状态变化时，由质点本身的惯性力引起对施力物体的动反作用力，为受力质点的惯性力。
2、 amFF 力 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。F 例如人用力 推车，使车产生加速度 ，同时，车也给人手一个反作用力 ：FaF4zJzyJyxJxamFamFamF惯性力作用在使质点产生加速度的其他施力物体上。惯性力作用在使质点产生加速度的其他施力物体上。 大小：大小：FJ = maJF 方向：与方向：与 相反相反aJF按不同坐标系，惯性力可分解为：0bJbnJnJamFamFamF切向惯性力法. 定义：质点惯性力定义：质点惯性力amFJ 加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。50JFNF 非自由质点M：质量
3、m，受主动力 ， 约束反力 作用， 、 的 合力为FNFN由牛顿第二定律：amR 假象地将 作用在M上，则JF0amamFRJJF即：10.1.2 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理表明：质点系中每个质点上作用的主动力，约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点的达朗贝尔原理。质点的达朗贝尔原理。Nm aFF6 这样，质点的动力学问题就可以用静力学的方法来解。但要注意：该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，而实际上惯性力并不作用在质点上，质点并不平衡。采用动静法解决动力学问题的最大优点，就是可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。也就是：对于动力学问题，假想地
4、加上惯性力，就可以用平对于动力学问题，假想地加上惯性力，就可以用平衡方程求解衡方程求解。例例10-110-1已知已知:60,m3 . 0,kg1 . 0lm求求:.,TFv用达朗贝尔原理求解用达朗贝尔原理求解解解:2sinInvFmaml0ITFFgm0,cos0bTFFmg0,sin0nTIFFF解得解得N96.1cosmgFTsm1 .2sin2mlFvT9 对整个质点系，如果在每一个质点上都假象地加上惯性力，如果在每一个质点上都假象地加上惯性力，则主动力系、约束反力系、惯性力系在形式上构成平衡力系则主动力系、约束反力系、惯性力系在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗
5、贝尔原理。可用方程表示为： 设有一质点系由n个质点组成，对任一质点，虚加惯性力，则有 对于每一个研究对象，平面问题有三个平衡方程，空间问题有六个平衡方程。10.2质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理niFFFIiNii, 2 , 10则有则有 00000IiiieiIiiieiFMFMFMFFF因因 , 0, 00iiiiFMF有有 0000IieiIieiFMFMFF也称为质点系的达朗贝尔原理也称为质点系的达朗贝尔原理:作用在质点系上的外作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系.已知：已知：如图所示如图所示, ,定
6、滑轮的半径为定滑轮的半径为r, ,质量为质量为m均匀分布在轮缘均匀分布在轮缘 上上, ,绕水平轴绕水平轴转动转动. .垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为为m1 1和和m2 2的重物的重物( (m m2),),绳与轮间不打滑绳与轮间不打滑, ,轴承摩擦轴承摩擦 忽略不计。忽略不计。求：重物的加速度求：重物的加速度. .例例10-210-2解解:amFamFII2211,amrmFiitIi0, 02211armramgmamgmMiO由由mararmarmii解得解得gmmmmma2121rvmFinIi2已知：已知：飞轮质量为飞轮质量为m, ,半径为半径为, ,以
7、匀角速度以匀角速度 定轴转动，设定轴转动，设 轮辐质量不计轮辐质量不计, ,质量均布在较薄的轮缘上质量均布在较薄的轮缘上, ,不考虑重力不考虑重力 的影响的影响. .求求:轮缘横截面的张力轮缘横截面的张力.例例10-310-3解解:22RRRmamFiniiIi0cos, 0AIixFFF0sin, 0BIiyFFF令令, 0i2mRR2mF2220Adcos2mRR2mF2220Bdsin10.3 约束 虚位移虚功10.3.1约束及其分类限制质点或质点系运动的条件称为限制质点或质点系运动的条件称为约束约束.限制条件的数学方程称为限制条件的数学方程称为约束方程约束方程.限制质点或质点系在空间的
8、几何位置的条件称为限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何几何约束约束.222lyx1）几何约束和运动约束如如, ,0fx y z 限制质点系运动情况的运动学条件称限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束运动约束.0rvA2220BABABxxyyly0rxA222ryxAA2220 xylvt2）定常约束和非定常约束约束条件随时间变化的称约束条件随时间变化的称非定常约束非定常约束.不随时间变化的约束不随时间变化的约束称称定常约束定常约束.3 3） 其它分类其它分类约束方程中包含坐标对时间的导数约束方程中包含坐标对时间的导数, ,且不可能积分为有且不可能积分为有限形式的约束称限形式的约束
9、称非完整约束非完整约束. . 约束方程是等式的，称约束方程是等式的，称双侧约束双侧约束（或称（或称固执约束固执约束）. 约束方程为不等式的，称约束方程为不等式的，称单侧约束单侧约束（或称（或称非固执单侧约束非固执单侧约束）111,01,2,innnfxyzxyzis n为质点数，为质点数，S 为约束方程数为约束方程数. . 约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的积分项可以积分为有限形式的约束为中的积分项可以积分为有限形式的约束为完整约束完整约束. .本章只讨论本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束定常的双侧、完整、几何约束. .10.3.
10、2 10.3.2 虚位移虚位移 在某瞬时在某瞬时,质点系在约束允许的条件下质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何可能实现的任何无限小的位移称为无限小的位移称为虚位移虚位移 .只与约束条件有关只与约束条件有关.虚位移虚位移,xr等等实位移实位移d ,d ,drx等等OABxyArBrM实位移实位移是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、主动力以及运动的初始条件有关主动力以及运动的初始条件有关 . 10.3.3 10.3.3 虚功虚功 rFW如果在质点系的任何虚位移中如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和所有约束力所作虚功的和等于零，称
11、这种约束为等于零，称这种约束为理想约束理想约束.0iNiNiNrFWW力在虚位移中作的功称虚功力在虚位移中作的功称虚功.WM 光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束.即即0iirF设质点系处于平衡设质点系处于平衡, ,有有0NiiFF或记为或记为0FiW此方程称此方程称虚功方程,其表达的原理称其表达的原理称虚位移原理虚位移原理或或虚功原理虚功原理.0iNiiirFrF0iNiiirFrF10.3.4 10.3.4 虚位移原理虚位移原理对于具有理想约束的质点系
12、对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是其平衡的充分必要条件是:作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零等于零.解析式为解析式为0iziiyiixizFyFxF已知：如图所示已知：如图所示, ,在螺旋压榨机的手柄在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平上作用一在水平 面内的力偶面内的力偶( ( ),),其力矩其力矩 , ,螺杆螺杆 的导程为的导程为. .FF,FlM2h求：机构平衡时加在被压物体上的力求：机构平衡时加在被压物体上的力.例例10-410-4FFsNF解解:02FlsFWNFs与hs2022hFFlWNF是任
13、意的因02hFFl2NFhlFN4给虚位移给虚位移以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象受力如图受力如图.FFsNF已知：如图所示椭圆规机构中已知：如图所示椭圆规机构中, ,连杆连杆AB长为长为l, ,滑块滑块, ,与杆与杆 重均不计重均不计, ,忽略各处摩擦忽略各处摩擦, ,机构在图示位置平衡机构在图示位置平衡. .BAFF 与求：主动力求：主动力 之间的关系。之间的关系。例例10-610-6解解: (1) (1) 给虚位移给虚位移,BArr0iirF代入虚功方程代入虚功方程, ,有有即即tanBAFF 由由sincosABrr( ( 在在 A , ,B
14、 连线上投影相等连线上投影相等) )BArr,0BBAArFrFcotABBBFrFr直接法（几何法）直接法（几何法）(2) (2) 用解析法用解析法. . 建立坐标系如图建立坐标系如图. .0 xiiyiiziiFxFyFz有有0BBAAFxFysin,coslylxAB得得tanBAFF sinBxl cosAyl 代入到代入到得中,0iirF由速度投影定理由速度投影定理, ,有有cossinBAvv代入上式代入上式得得tanBAFF 0AABBvFvF(3) (3) 虚速度法虚速度法定义定义: trvtrvBBAAdd,为虚速度为虚速度AvBv已知：已知：如图所示机构如图所示机构, ,不
15、计各构件自重与各处摩擦不计各构件自重与各处摩擦. . 求：机构在图示位置平衡时求：机构在图示位置平衡时, ,主动力偶矩主动力偶矩与主动力与主动力 之间的关系之间的关系. .例例10-710-7解解: : 给虚位移给虚位移cr,由图中关系有由图中关系有sinearr 2sin,sinhrrhOBraCe代入虚功方程得代入虚功方程得 2sinFhM 0FCWMFrerarrr用虚速度法用虚速度法:2sin,sinhvvhOBvCae代入到代入到 20,sinCFhMFvM用建立坐标用建立坐标,取变分的方法取变分的方法,有有2sincot0hxBChxxFMCCC解得解得2sinFhM avevrv求求:支座支座的约束力的约束力 . .AF已知：如图所示无重组合梁已知：如图所示无重组合梁. .例例10-810-8解：解除解：解除A处约束，代之处约束，代之 ，给虚位移，如图，给虚位移，如图（b） AF代入虚功方程代入虚功方程, ,得得MFFFA811411832102211sFMsFsFWAAFAMAAsssss81111,833,81AAM2ssss14118117474
