1、结结 构构 力力 学学structural Mechanics第 9 章矩阵位移法（12学时）第第9 9章章 矩阵位移法矩阵位移法 9-1 9-1 概述概述 9-2 9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵( (局部坐标系）局部坐标系） 9-3 9-3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵( (整体坐标系）整体坐标系） 9-4 9-4 连续梁的整体刚度矩阵连续梁的整体刚度矩阵 9-5 9-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵 9-6 9-6 等效结点荷载等效结点荷载 9-7 9-7 计算步骤和算例计算步骤和算例 9-8 9-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 9-9 9-9
2、桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析 9-10 9-10 小结小结主要内容主要内容矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，借助矩阵矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。形等计算的方法。理论基础：位移法理论基础：位移法 分析工具：矩阵分析工具：矩阵 计算手段：计算机计算手段：计算机 9-1 9-1 概述概述5 5 矩阵位移法的基本思路矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法的两个基本步骤是矩阵位移法的两个基本步骤是 （1 1）结构的离散化；（）结构的离散化；（2 2）单元分析；（）单元分
3、析；（3 3）整体分析，）整体分析，任务任务意义意义单元分析单元分析建立杆端力与杆端位移间建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚的刚度方程，形成单元刚度矩阵度矩阵用矩阵形式表示杆件用矩阵形式表示杆件的转角位移方程的转角位移方程整体分析整体分析由变形条件和平衡条件建由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度刚度方程，形成整体刚度矩阵矩阵用矩阵形式表示位移用矩阵形式表示位移法基本方程法基本方程6 63 34 45 51 12 2679-2 9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）1 1 一般单元一般单元A AB BC CE E
4、D DF FA AB BD DE EC C结构的离散化结构的离散化局部坐标系局部坐标系下单元刚度下单元刚度 T123456T111222eeeuvuv 杆端位移向量杆端位移向量杆端力向量杆端力向量弯矩、转角：绕杆端弯矩、转角：绕杆端顺顺时针为正；时针为正；其它：与坐标轴同向为正。其它：与坐标轴同向为正。1 12 21u1v122u2v1 12 2e eE A IE A Il l1 12 21xF1yF1M2M2xF2yF单元刚度方程单元刚度方程112212xxEAFuulEAFuul 11212221212211212232121223426246612612yyEIEIEIMvvlllEIE
5、IEIMvvlllEIEIFvvllEIEIFvvll 首先，由两个杆端轴向位移，可以求出杆端轴向力，首先，由两个杆端轴向位移，可以求出杆端轴向力，其次根据转角位移方程可以求出弯矩、剪力与杆端其次根据转角位移方程可以求出弯矩、剪力与杆端位移之间的关系位移之间的关系111111212221212211212232121223426246612612yyEIEIEIMvvlllEIEIEIMvvlllEIEIFvvllEIEIFvvll 112212xxEAFuulEAFuul 113232122232322222000012612600646200000012612600626400 xyxyF
6、EAEAllFEIEIEIEIllllEIEIEIEIMllllEAEAFllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIllllM111222uvuv将上面六个方程合并，写成矩阵形式：将上面六个方程合并，写成矩阵形式：1212EAEA l l6 6EIEI l l2 2 6 6EIEI l l2 2 EAEA l l1212EIEI l l3 3 1212EIEI l l3 34 4EIEI l l2 2EIEI l l上面的式子可以用矩阵符号记为上面的式子可以用矩阵符号记为 kF这就是局部坐标系中的单元刚度方程。这就是局部坐标系中的单元刚度方程。可求单元杆端力可求单元杆端力 F k= =(1
7、)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)0 00 00 00 00 00 06 6EIEI l l2 20 06 6EIEI l l2 20 0-EA-EA l l-6-6EIEI l l2 2-6-6EIEI l l2 2 EAEA l l-12-12EIEI l l3 3 1212EIEI l l3 32 2EIEI l l4 4EIEI l l0 00 00 00 00 00 0-6-6EIEI l l2 20 06 6EIEI l l2 20 011u11v1112u12v12只与杆件本
8、身性质有关只与杆件本身性质有关而与外荷载无关而与外荷载无关通过这个式子由单元杆端位移通过这个式子由单元杆端位移局部座标系的单元刚度矩阵局部座标系的单元刚度矩阵2 2 单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质（1 1）单元刚度系数的意义）单元刚度系数的意义第第j j个单位杆端位移个单位杆端位移=1=1时引起时引起的第的第i i个杆端力个杆端力（2 2）单元刚度矩阵是对称矩阵）单元刚度矩阵是对称矩阵反力互等定理反力互等定理（3 3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵矩阵行列式等于零，逆阵不存在。矩阵行列式等于零，逆阵不存在。解不唯一解不唯一由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移由
9、杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移 （刚体位移（刚体位移+ +变形）。变形）。解唯一解唯一eeeFk 1eeekF ijK14三、特殊单元三、特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。e以连续梁以连续梁为例：为例：1201u01v1202u02ve222111222323222323222111460260612061200000260460612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIl
10、EAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYXMYXeee151201u01v1202u02ve222111222323222323222111460260612061200000260460612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYXMYXeee21214224lEIlEIlEIlEIMM lEIlEIlEIlEIk4224 为了程序的标准化和通用为了程序的标准化和通用性，不采用特殊单元，只用一性，不采用特殊单元，只用一般单元，如果结构有特殊单元，般
11、单元，如果结构有特殊单元，可以通过程序由一般单元来形可以通过程序由一般单元来形成。成。9-3 9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）单元刚度矩阵（整体坐标系）（1 1）单元坐标转换矩阵）单元坐标转换矩阵局部坐标系下局部坐标系下的杆端力的杆端力整体坐标系下整体坐标系下的杆端力的杆端力1111111122222222cossinsincoscossinsincoseeexxyeeeyxyeeexxyeeeyxyFFFFFFMMFFFFFFMM 1111111122222222cossinsincoscossinsincoseeexxyeeeyxyeeexxyeeeyxyFFFFFFMMFFFFFFMM
12、 111112222222cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001eeexxyyxxyyFFFFMMFFFFMM eeFTF cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001T cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001T 1TTT 坐标转换矩阵（正交矩阵）坐标转换矩阵（正交矩阵）同理：同理：eeT （2 2）整体坐标系下的单元刚度矩阵）整体坐标系下的单元刚度矩阵eeeFk ,eeeeFTFT eeeTFk T 1
13、eeeFT k T TeeeFT k T TeekT k T eeeFk 1TTT 整体坐标下的整体坐标下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵整体坐标下的整体坐标下的单元刚度方程单元刚度方程性质性质（1）整体坐标系下单元杆端）整体坐标系下单元杆端位移引起的杆端力；位移引起的杆端力；（2）对称矩阵；）对称矩阵；（3）奇异矩阵。）奇异矩阵。解解 （1 1）局部坐标系下的单刚）局部坐标系下的单刚l l = 5m= 5ml l = 5m= 5m例例1. 1. 试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵 k k 。设。设 和和 杆的杆长和截面尺寸相同。杆的杆长和截面尺
14、寸相同。l l=5m=5m，b b h h=0.5m =0.5m 1m,1m,A A=0.5m=0.5m2 2, , I I= m= m4 4, , 1 1 2424441025,10300lEIlEA1 12 22 21 110030050300301203012000300003005030010030030120301200030000300104k k= =k k（2 2）整体坐标系下的单刚）整体坐标系下的单刚单元：单元：=0=0，T T = = I I单元：单元：=90=90 100000001000010000000100000001000010T k k = = T T T T
15、k k T T 10003050030030000300030012300125003010003003000030003001230012104k k1 1= =1 1 k k 229-4 9-4 连续梁的连续梁的整体刚度矩阵整体刚度矩阵按传统的位移法按传统的位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每个结点位每个结点位移对约束力移对约束力F的单独贡献的单独贡献F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2 123=F=K 根据每个结点位移根据每个结点位移对附加约束上的约束对附加约束上的约束力力
16、F的贡献大小进的贡献大小进行叠加而计算所得。行叠加而计算所得。传统位移法传统位移法一、一、 单元集成法的力学模型和基本概念单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑每个单元对分别考虑每个单元对F的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成i1i212123F3F1= F11F211TF11F21F31令令 i2 =0，则则F31=0k =4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）单元单元 1 对结点力对结点力F的贡献的贡献略去其它单元的贡献。略去其它单元的贡献。k =4i22i24i22i22设设 i1 =0，则则F12=0F3
17、F2= F12F222T单元单元对结点力对结点力F的贡献的贡献略去单元略去单元的贡献。的贡献。241K F =1K =14i12i14i12i1000002K F =2K =24i12i14i12i100000i1i2121212K=（K +K ）12k K K eeF=F +F =（K +K ）12F=K整体刚度矩阵为：整体刚度矩阵为：单元集成法求整单元集成法求整体刚度矩阵步骤：体刚度矩阵步骤：根据单元根据单元和单元和单元分别对结点力分别对结点力F的贡献，可得整体刚度方程：的贡献，可得整体刚度方程：25k =4i12i14i12i11K =14i12i14i12i100000k =4i22i
18、24i22i22K =24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2K=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2k K K ee2626二、按照单元定位向量由二、按照单元定位向量由 k k 求求 K K (1)(1)在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。(2)(2)在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。以连续以连续梁为例梁为例1 12 21 12 23 31 1(1)(1)(2)(2)2 2(1
19、)(1)(2)(2)位移统一编码，位移统一编码，总码总码单元单元1 12 2对应关系对应关系局部码局部码总码总码单元定位向量单元定位向量 e e(1)(1)1 1(2)(2)2 2 1 1= =21(1)(1)2 2(2)(2)3 3 2 2= =32确定确定中的元素在中的元素在中的位置。为此建立两种编码：中的位置。为此建立两种编码：位移单独编码位移单独编码局部码局部码由单元的结点由单元的结点位移总码组成位移总码组成的向量的向量e ee e ek eK2727（3 3）单刚）单刚和单元贡献和单元贡献中元素的对应关系中元素的对应关系单元单元单元单元 k k = =4 4i i1 12 2i i1
20、 14 4i i1 12 2i i1 11 1(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2) 1 1= =21 K K = =1 11 12 23 30 00 00 00 00 00 00 00 00 04 4i i1 12 2i i1 12 2i i1 14 4i i1 11 12 23 3 k k = =4 4i i2 22 2i i2 24 4i i2 22 2i i2 22 2(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2) 2 2= =32 K K = =2 20 00 00 00 00 00 00 00 00 04 4i i2 22 2i i2 24 4i i2 22 2i i2
21、 21 12 23 31 12 23 3单元定位向量单元定位向量描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。单元定位向量单元定位向量定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的具体位定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的具体位置，故也称为置，故也称为“单元换码向量单元换码向量”。单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量单元定位向量”进行进行“换码重排位换码重排位”。 ek eK2828三、三、 单元集成法的实施单元集成法的实施（定位（定位 累加）累加） K K 1 1
22、2 23 31 12 23 30 00 00 00 00 00 00 00 00 0 k k 1 1 1 10 00 00 00 00 00 00 00 00 04 4i i1 12 2i i1 12 2i i1 14 4i i1 11 12 23 31 12 23 3 k k 2 2 2 24 4i i1 12 2i i1 14 4i i1 12 2i i1 10 00 00 00 00 02 2i i2 22 2i i2 24 4i i2 24 4i i1 1+4+4i i2 21 12 23 31 12 23 3（1 1）将）将 K K 置零，得置零，得 K K=0=0；（2 2）将）将
23、 k k 的元素在的元素在 K K 中按中按 定位并进行累加，得定位并进行累加，得 K K=K K ；（3 3）将）将 k k 的元素在的元素在 K K 中按中按 定位并进行累加，得定位并进行累加，得 K K=K K +K K ；按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵 K K 。29291 12 2i i1 1i i2 2i i3 33 31 12 23 30 0 1 1 2 2 3 3 0 0= 0= 0（1 1）结点位移）结点位移分量总码分量总码（2 2）单元定位向量）单元定位向量 1 1= =21 2 2= =32 3 3= =0
24、3（3 3）单元集成过程）单元集成过程 k k = =4 4i i1 12 2i i1 14 4i i1 12 2i i1 11 11 12 22 21 1 k k = =4 4i i2 22 2i i2 24 4i i2 22 2i i2 22 22 23 33 32 2 k k = =4 4i i3 32 2i i3 34 4i i3 32 2i i3 33 30 03 33 30 0 K K = =1 12 23 31 12 23 30 00 00 00 00 00 00 00 00 04 4i i1 12 2i i1 12 2i i1 12 2i i2 22 2i i2 24 4i i
25、2 24 4i i1 14 4i i2 2+4+4i i3 34 4i i1 1+4+4i i2 2例例. .求连续梁的整求连续梁的整 体刚度矩阵。体刚度矩阵。3030四、整体刚度矩阵四、整体刚度矩阵 K K 的性质的性质（1 1）整体刚度系数的意义）整体刚度系数的意义: : K Kijij j j= =1 (1 (其余其余 = =0)0)时产生的结点力时产生的结点力F Fi i（2 2） K K 是对称矩阵是对称矩阵（3 3）对几何不变体系，）对几何不变体系， K K 是可逆矩阵，如连续梁是可逆矩阵，如连续梁i i1 1i i2 2 1 1 2 2 3 3F F1 1F F2 2F F3 3
26、 F F=K K =K K -1-1 F F （4 4） K K 是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁 1 1 2 2 3 3F F1 1F F2 2F F3 31 12 23 3n n n nF Fn n n+1n+1F Fn+1n+10 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 01321nFFFF1321n4 4i i1 12 2i i1 12 2i i1 12 2i i2 22 2i i2 24
27、4i i2 2+4+4i i3 34 4i i1 1+4+4i i2 24 4i in n2 2i i3 32 2i in n31319-5 9-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵思路要点思路要点：（：（1 1）设各单元已形成了整体座标系下的单元刚度矩阵；）设各单元已形成了整体座标系下的单元刚度矩阵； (2) (2)按照单元定位向量由按照单元定位向量由 到到与连续梁相比：与连续梁相比： (1)(1)各单元考虑轴向变形各单元考虑轴向变形；(2)(2)每个刚结点有三个位每个刚结点有三个位移移； (3)(3)要采用整体坐标要采用整体坐标；(4)(4)要处理非刚结点的特殊情况要处理非刚结点的特殊
28、情况。一、结点位移分量的统一编码一、结点位移分量的统一编码总码总码A AB BC Cx xy y1 12 23 30 00 04 40 00 00 0结点位移总码结点位移总码 = = 1 1 2 2 3 3 4 4 T T规定：规定：对于已知为零的结点位移分对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为零。量，其总码均编为零。=u uA A v vA A A A C C T T整体结构的结点位移向量为：整体结构的结点位移向量为：相应地结点力向量为：相应地结点力向量为：= = X XA A Y YA A M MA A M MC C T T F F = = F F1 1 F F2 2 F F3 3 F
29、F4 4 T T ek eK3232x x(1)(1)(2)(2)(3)(3)(5)(5)(6)(6)x x(2)(2)(3)(3)(5)(5)(6)(6) 单元结点位单元结点位移分量移分量局部码局部码二、单元定位向量二、单元定位向量单元单元单元单元局部码局部码总码总码局部码局部码总码总码（1 1） 1 1（2 2） 2 2（3 3） 3 3（4 4） 0 0（5 5） 0 0（6 6） 4 4（1 1） 1 1（2 2） 2 2（3 3） 3 3（4 4） 0 0（5 5） 0 0（6 6） 0 0 000321 400321三、单元集成过程三、单元集成过程A AB BC Cx xy y1
30、12 23 30 00 04 40 00 0结点位移总码结点位移总码0 0(4)(4)(1)(1)(4)(4)33331 1A AB BC C2 2x xy y1 12 23 30 00 04 40 00 00 0 4003211 1 0003212 21 12 23 34 4 K K=1 12 23 34 40 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 01 1 k k = =0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
31、 00 00 00 00 00 00 00 01111 1212 1313 1414 1515 16162121 2222 2323 2424 2525 26263131 3232 3333 3434 3535 36364141 4242 4343 4444 4545 46465151 5252 5353 5454 5555 56566161 6262 6363 6464 6565 66661 12 23 30 00 04 41 12 23 30 00 04 41111121213132121222223233131323233336161626263636666161626263636111
32、1121213132121222223233131323233332 2 k k 1 12 23 30 00 00 01 12 23 30 00 00 01111 1212 1313 1414 1515 16162121 2222 2323 2424 2525 26263131 3232 3333 3434 3535 36364141 4242 4343 4444 4545 46465151 5252 5353 5454 5555 56566161 6262 6363 6464 6565 6666= =3434四、铰结点的处理四、铰结点的处理 K K 求单元常数求单元常数 T T 单元刚度矩阵
33、单元刚度矩阵程序设计框图（局部：集成整体刚度矩阵）程序设计框图（局部：集成整体刚度矩阵） 1 11 12 22 2刚结点刚结点：变形连续，：变形连续，截面截面1 1和截面和截面2 2具有相同具有相同的结点位移。的结点位移。铰结点铰结点：部分变形连续，：部分变形连续，截面截面1 1和截面和截面2 2具有相同的结点具有相同的结点线位移；而其角位移不相等。线位移；而其角位移不相等。3535x xy y T6543211 1 T0003212 2 T0007543 3结点位移分量总码结点位移分量总码结点结点C C1 1 4 5 6 4 5 6 结点结点C C2 2 4 5 7 4 5 7 单元定位向量
34、单元定位向量1 1 k k = =1 12 23 34 45 56 62 2 k k = =1 12 23 30 00 00 01 12 23 30 00 00 01 12 23 34 45 56 6C1ABDC2132457636360 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 T6543211 1 T0003212 2 T0007543 31
35、1 k k = =1 12 23 34 45 56 61 12 23 34 45 56 62 2 k k = =1 12 23 30 00 00 01 12 23 30 00 00 03 3 k k = =4 45 57 70 00 00 04 45 57 70 00 00 0 K K=1 12 23 34 45 56 67 71 12 23 34 45 56 67 737k k k3 3 3k k k2 2 2k k k1 1 19-8 9-8 忽略轴向变形时矩忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析形刚架的整体分析123ABDxy000102103C1C2104000单元定位向量单元定位向量123
36、456123456102103102103123456123456123456123456102000102000104000104000 102103T 102000T 104000T381234K=12340000000000000000k k k3 3 3k k k2 2 2k k k1 1 1123456123456102103102103123456123456123456123456102000102000104000104000 9-6 9-6 等效结点荷载等效结点荷载1 1 位移法基本方程位移法基本方程FK 结构整体刚度矩阵为结构整体刚度矩阵为位移法方程为位移法方程为P0KF
37、2 2 等效结点荷载的概念等效结点荷载的概念PPF 表示结点位移表示结点位移 和结点力和结点力 F F 之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。3939 K K + + F FP P =0 (2) =0 (2) F F + + F FP P =0 (3) =0 (3)将将(1)(1)式代入式代入(2)(2)式：式：基本体系在荷载单独作用下产生基本体系在荷载单独作用下产生的结点约束力。的结点约束力。基本体系在结点位移单独作用基本体系在结点位移单独
38、作用下产生的结点约束力。下产生的结点约束力。 (1) (1)等效原则等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力4040结点约束力结点约束力F FP P 结点约束力结点约束力F FP P 等效结点荷载等效结点荷载 P P 原荷载原荷载显然显然 P P=F FP P解决了计算解决了计算等效结点荷载的问题等效结点荷载的问题 K K = = F F F FP P + += =（2 2）单元等效结点荷载（整体坐标系下）单元等效结点荷载（整体坐标系下）PeePF TeePT P（3 3）整体结构的等效结点荷载）整体结构的等效结点荷载换码重排座换码重排座3
39、3 按单元集成法求整体结构的等效结点荷载按单元集成法求整体结构的等效结点荷载（1）单元的等效结点荷载（局部坐标系）单元的等效结点荷载（局部坐标系）TPP1P2P1P2P2P2exyxyFFMFFMF 单元固端约束力单元固端约束力杆两端固定，求固端约束力杆两端固定，求固端约束力4242 1012010120PFP1 11 11 12 2x xy y1 12 23 34 48kN8kN4.8kN/m4.8kN/mA AB BC C5m5m2.5m2.5m2.5m2.5m单元单元1:1:10120111PPPMYX10120222PPPMYX单元单元2:2:540111PPPMYX540222PPP
40、MYX902 4003211 1 0003212 2 00004321P12121010-10-10+4+4+0+0-5-51012010120PF1 1540540PF2 2 504504PTFTP2 22 22 21051244343 K K 求单元常数求单元常数 T T P P 原始数据、局部码、总码原始数据、局部码、总码解方程解方程 K K =P P 求出结点位移求出结点位移 开始开始单元刚度单元刚度矩阵矩阵k ke e单元固单元固 端力端力 PFe e结束结束9-7 9-7 计算步骤和算例计算步骤和算例 K K = = F F F FP P + += =程序设程序设程序设程序设程序设
41、程序设计框图计框图计框图计框图计框图计框图求杆端力求杆端力 PFkFe ee ee ee e4444例例. . 求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁b b2 2h h2 2=0.5m =0.5m 1.26m1.26m，立，立柱柱b b1 1 h h1 1=0.5m =0.5m 1m1m。（1 1）原始数据、局部码、总码（设）原始数据、局部码、总码（设E E=1=1）31131114121103 .83,1094. 6,6,241,5 . 0lEAlEImlmImA12m12m6m6mA AB BC CD Dq q=1kN/m=1kN/m3311321
42、13113111031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132lEIlEIlEIlEIA AB BC CD D1 12 23 3x xy y1 13 34 45 52 26 60000柱柱梁梁322322242221094. 6,105 .52,12,121,63. 0lEIlEAmlmImA332232223223221058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132lEIlEIlEIlEI局部码坐标系下的坐标可以自己随意设定，计算结果一样局部码坐标系下的坐标可以自己随意设定，计算结果一样45 1000000cossin0000sincos000
43、0001000000cossin0000sincosTeelEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk4602606120612000002604606120612000002223232223234646（2 2）形成局部座标系中的单元刚度矩阵）形成局部座标系中的单元刚度矩阵k ke e单元单元1 1和和3 3=10=10-3-38 .2794. 609 .1394. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003 .839 .1394. 608 .2794. 6094. 631. 2094.
44、 631. 20003 .83003 .83=10=10-3-38 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .52单元单元2 2（3 3）计算整体座标系中的单元刚度矩阵）计算整体座标系中的单元刚度矩阵e e k k k k = = T T T T k ke e T T e e2 2 k k 1 1 k k = =3 3 k k 47 单元单元1和和3的座标转换的座标转换矩阵矩阵 （ =900） 1000000010
45、00010000000100000001000010T1k=10-3k = TT k1T38 .27094. 69 .13094. 60833003 .83094. 6031. 294. 6031. 29 .13094. 68 .27094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2单元单元2 2 （ =0=0）2kk2=10-38 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .524
46、848(4)(4)用单元集成法形成整体刚度矩阵用单元集成法形成整体刚度矩阵 K K A AB BC CD D1 12 23 3x xy y1 13 34 45 52 26 60000 T6543212 2 T0003211 1 T0006543 3 3106 .5547. 394. 69 .1347. 3047. 388.83047. 358. 0094. 6081.54005 .529 .1347. 306 .5547. 394. 647. 358. 0047. 388.830005 .5294. 6081.54K4949（5 5）求等效结点荷载）求等效结点荷载 P P 12m12m6m6m
47、A AB BC CD Dq q=1kN/m=1kN/mA AB BC CD D1 12 23 3x xy y1 13 34 45 52 26 60000330330PF1 1单单元元固固端端约约束束力力 单元单元1 1 （ =90=90） 303303330330100000001000010000000100000001000010PTFTP1 11 11 1按按单单元元定定位位向向量量 0003211 1 000303P50（6 6）解基）解基本方程本方程0003036 .5547. 394. 69 .1347. 3047. 388.83047. 358. 0094. 6081.54005
48、 .529 .1347. 306 .5547. 394. 647. 358. 0047. 388.830005 .5294. 6081.54103BBBAAAvuvu求得结点位移求得结点位移: :5 .9613. 58244 .2813. 5847BBBAAAvuvu（7 7）求各单元杆端力）求各单元杆端力e F PFkFeeee PFkF111111 FTF F单元单元1：先求：先求F 然后求然后求5151 PFkF1 11 11 11 18 .27094. 69 .13094. 60833003 .83094. 6031. 294. 6031. 29 .13094. 68 .27094.
49、603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2= =1010-3-30004 .2813.584749. 843. 076. 409. 243. 024. 13033031 11 1 FTF49. 876. 443. 009. 224. 143. 02 2 F04. 343. 024. 109. 243. 024. 13 3 F38. 424. 143. 004. 324. 143. 0同样可得出：同样可得出： 整体坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力局部坐标系下的杆端力局部坐标系下的杆端力5252（8 8）绘制内力图）绘制内力图1 1 F49. 876. 443.
50、 009. 224. 143. 02 2 F04. 343. 024. 109. 243. 024. 13 3 F38. 424. 143. 004. 324. 143. 01 12 21X1Y1M2M2X2Y 222111MYXMYXFe eA AB BC CD D8.498.492.092.093.043.044.384.38M M图图(kNm)(kNm)4.764.761.241.240.430.431.241.24Q Q图图(kN)(kN)N N图图(kN)(kN)0.430.430.430.431.241.245312m12m6m6mA AB BC CD Dq q=1kN/m=1kN
