1、1/72本章主要内容：本章主要内容：1 概述概述；2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理;3 结构位移计算的一般理论结构位移计算的一般理论;4 结构位移计算（荷载作用）的单位荷载法结构位移计算（荷载作用）的单位荷载法;5 图乘法图乘法；6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移7 由于支座位移引起的结构位移计算由于支座位移引起的结构位移计算。课后作业课后作业2/725-1 概述概述3/725-1 概述概述一、结构位移的种类一、结构位移的种类结构在荷载和温度变化等外界因素的影响下将会发生变形，因而结构上各点或截面的位置可能发生改变即产生位移。结构的位移可分为结构的位移可分为1线位
2、移线位移：结构上各点产生的位置：结构上各点产生的位置移动移动2角位移角位移：杆件横截面所产生的位置：杆件横截面所产生的位置转动转动变形体：变形体： 在外界因素影响下产生变形（弹性变形和非弹性变形）的在外界因素影响下产生变形（弹性变形和非弹性变形）的物体统称为物体统称为变形体变形体4/725-1 概述概述一、结构位移的种类一、结构位移的种类5/725-1 概述概述一、结构位移的种类一、结构位移的种类绝对位移绝对位移相对位移：两点或两截面相互之间位置的改变量相对位移：两点或两截面相互之间位置的改变量HHCCCDBAAB6/725-1 概述概述二、使结构产生位移的因素二、使结构产生位移的因素1.荷载
3、荷载结构在荷载作用下产生内力结构在荷载作用下产生内力 材料发生应变材料发生应变结构产生位移结构产生位移2.温度变化温度变化材料的热胀冷缩材料的热胀冷缩 结构产生位移结构产生位移3.支座位移支座位移基础发生沉降基础发生沉降 结构支座移动、转动结构支座移动、转动 结构产生位移结构产生位移4.其他因素其他因素结构构件的尺寸制作误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等结构构件的尺寸制作误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等7/725-1 概述概述三、计算结构位移的目的三、计算结构位移的目的1.验算结构的刚度验算结构的刚度结构要满足强度、刚度、稳定性要求。结构要满足强度、刚度、稳定性要求。结构的刚度：以其变形或位
4、移来量度结构的刚度：以其变形或位移来量度 （在验算结构刚度时，需计算结构位移）。（在验算结构刚度时，需计算结构位移）。闸门：沿水流方向位移超过允许限度时，将使闸门的启闭受到阻碍，同闸门：沿水流方向位移超过允许限度时，将使闸门的启闭受到阻碍，同时影响止水效果。时影响止水效果。结构设计规范中具体规定结构设计规范中具体规定2.计算超静定结构计算超静定结构计算超静定结构：静力平衡条件、计算超静定结构：静力平衡条件、变形协调条件（结构的位移）变形协调条件（结构的位移）本章内容处于静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承上启下本章内容处于静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承上启下的作用。的作用
5、。8/725-1 概述概述三、计算结构位移的目的三、计算结构位移的目的3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据为建筑起拱和结构架设提供位移数据(a)大跨度建筑中，结构变形大跨度建筑中，结构变形产生明显的下垂现象产生明显的下垂现象 不但影响美观，而且容易引起人们的不安全感。不但影响美观，而且容易引起人们的不安全感。(b)建筑起拱建筑起拱 (起拱起拱)：把结构做成具有一定上弯度的初始弯曲形式，：把结构做成具有一定上弯度的初始弯曲形式， 用以抵消由挠度产生的下垂现象。用以抵消由挠度产生的下垂现象。(需要计算结构位移需要计算结构位移)9/725-1 概述概述三、计算结构位移的目的三、计算结构位移的目的3.
6、为建筑起拱和结构架设提供位移数据为建筑起拱和结构架设提供位移数据 大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时荷载的大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时荷载的作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，便于拼装时使构件准确作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，便于拼装时使构件准确就位；就位； 大型结构进行吊装时，需要合理设置起吊点，使安装部位产生的位大型结构进行吊装时，需要合理设置起吊点，使安装部位产生的位移小而且较为均匀，便于安装就位。移小而且较为均匀，便于安装就位。10/725-1 概述概述四、线性变形体系的假设及其特性四、线性变形体系的假设及其特性1线性变形体系
7、（线性弹性体系线性变形体系（线性弹性体系/线弹性体系）：线弹性体系）：满足两个基本假设的体系（1）材料是完全弹性的，服从虎克定律）材料是完全弹性的，服从虎克定律 结构在荷载作用下，最大应力不超过材料的弹性比例极限（2）结构的变形）结构的变形 (位移位移) 是微小的，因此不影响荷载的作用是微小的，因此不影响荷载的作用(材料力学小材料力学小变形假设变形假设) (不改变荷载作用点的位置和方向不改变荷载作用点的位置和方向) 应用静力平衡条件建立方程时，可以不计结构变形(位移)的影响， 而采用原始的几何尺寸。11/725-1 概述概述四、线性变形体系的假设及其特性四、线性变形体系的假设及其特性2线弹性体
8、系的两个主要特性：线弹性体系的两个主要特性：(1) 结构的变形结构的变形 (位移位移)与其作用力成正比与其作用力成正比柔度 (影响)系数d：施加单位力时所产生的结构位移位移D：作用力为一般值时所产生的结构位移 D Ki 第一个下标K 位移所在的地点和方向 D Ki 第二个下标 i 产生位移的原因 有 D Ki = d Ki Pi 12/725-1 概述概述四、线性变形体系的假设及其特性四、线性变形体系的假设及其特性2线弹性体系的两个主要特性：线弹性体系的两个主要特性：（2）计算结构的变形（位移）可应用叠加原理）计算结构的变形（位移）可应用叠加原理叠加原理：由若干因素共同作用时所产生的效果（内力
9、、变形等），等叠加原理：由若干因素共同作用时所产生的效果（内力、变形等），等于其每个因素单独作用时所产生的效果的总和。于其每个因素单独作用时所产生的效果的总和。DniPPPPPiKinKniKiKKK12211ddddd13/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理14/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功线性变形体系的功能原理是结构力学的重要理论基础,本节包括外力实功、实变形能、附加功或虚功的互等定理以及虚功原理等。线弹性体系的静力加载过程线弹性体系的静力加载过程荷载荷载: 0 P变形变形: 0 D D两者同步两者同步加载过程中，加
10、载速度缓慢，不至于加载过程中，加载速度缓慢，不至于引起振动，这样的家在过程，称为引起振动，这样的家在过程，称为静静力加载力加载，相应的荷载为，相应的荷载为静力荷载静力荷载15/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功单位荷载对应的变形单位荷载对应的变形: d d 当荷载到达最后数值当荷载到达最后数值: P d P加载过程中荷载的值加载过程中荷载的值: F d F外力做功增量外力做功增量图示蓝色部分的面积一、外力实功一、外力实功d2ddFFFT2dddFFdFd FFdddPPFFFTTP2121ddd20ddPT2116/725-2 线性变形体系的功能原
11、理线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功一、外力实功一、外力实功PT21图示黄色三角形的面积线弹性体系线性在静力荷载作用下，外力所做线弹性体系线性在静力荷载作用下，外力所做的的实功实功等于等于外力的最后数值与其相应位移乘积外力的最后数值与其相应位移乘积的一半的一半。注意点：注意点：(1)外力实功中，外力实功中，位移是由做功的力本身引起的，且外力是变化的位移是由做功的力本身引起的，且外力是变化的 (由零开始逐渐增加到其最后数值由零开始逐渐增加到其最后数值)。(2)计算外力实功时，计算外力实功时，力与位移必须相对应力与位移必须相对应。17/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功
12、能原理一、外力实功一、外力实功一、外力实功一、外力实功计算外力实功时，计算外力实功时，力与位移必须相对应力与位移必须相对应PT21AMT21V21CPT18/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功一、外力实功一、外力实功广义力广义力：凡是做功的力统称为广义力凡是做功的力统称为广义力广义位移广义位移：与广义力相对应的位移统称为广义位移：与广义力相对应的位移统称为广义位移广义力(集中力集中力) 广义位移(线位移线位移)广义力(集中力偶集中力偶) 广义位移(角位移角位移)广义力(一对大小相等方向相反的共线力一对大小相等方向相反的共线力) 广义位移(相对线位移
13、相对线位移)广义力(一对大小相等方向相反的共线力偶一对大小相等方向相反的共线力偶) 广义位移(相对角位移相对角位移)19/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功一、外力实功一、外力实功体系上多个外力共同作用时，总的外力实功体系上多个外力共同作用时，总的外力实功nnPPPT2121212211niiiP121D D i 所有外力共同作用所有外力共同作用时，在时，在 i 点沿点沿Pi方向所产生的位移方向所产生的位移DnjjijniniiiPPPP12211dddd20/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理【例【例5-1】图示等截面直杆，
14、在截面】图示等截面直杆，在截面1-1和和2-2处，分别作用沿处，分别作用沿轴线方向的静力荷载轴线方向的静力荷载 P1 和和 P2，已知杆件截面积为，已知杆件截面积为A，材料弹，材料弹性模量性模量E，试求外力，试求外力 P1 和和 P2 所做的实功。所做的实功。21/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理21N1PPFEAaPPEAaFl211N112N2PFEAbPEAbFl22N2EAbPEAaPPll22121222112121DDPPT2212211)(21)(21EAbPEAaPPPEAaPPPEAaPPEAbaPEAaP2122212)(222/725-2 线性变形
15、体系的功能原理线性变形体系的功能原理EAaPPEAbaPEAaPT2122212)(2第一项第一项:P1单独作用时所做的实功单独作用时所做的实功EAaPPEAaPT1121212第二项第二项:P2单独作用时所做的实功单独作用时所做的实功EAbaPPEAbaPT2222212第三项第三项:两个力的相互影响所产生的功两个力的相互影响所产生的功结论：计算外力实功时不能应用叠加原理。结论：计算外力实功时不能应用叠加原理。23/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理EAaPPEAbaPEAaPT2122212)(2第三项的物理意义第三项的物理意义先加载先加载P1P1做功做功:EAaPP
16、lPT111112121再加载再加载P2P2做功做功:EAbaPPlPT222222121由于由于P2作用作用 1-1截面再次下移截面再次下移D D l12 EAaPl212P1 在附加位移在附加位移 D D l12 上所做的功上所做的功EAaPPlPT211213“附加功附加功” “虚功虚功”“附加功附加功” 用以区别于外力再其本身所引起的位移上所做的实功用以区别于外力再其本身所引起的位移上所做的实功24/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理二、实变形能二、实变形能线弹性体系，受到荷载作用，发生变形，荷载卸去后，变形消失。是什么力量能使体系消除变形的呢?原因原因:加载过程
17、中，外力作功，通过体系变形，转化为变形能储存到体系内部;卸载过程中，通过消除体系的变形，释放变形能变形能变形能:因弹性变形而积储或释放的能量，称为线弹性体系的变形位能因弹性变形而积储或释放的能量，称为线弹性体系的变形位能(变形变形势能势能)，简称变形能。一般用，简称变形能。一般用U表示表示实变形能实变形能: 与外力实功相对应的变形能与外力实功相对应的变形能虚变形能虚变形能: 与外力附加功与外力附加功(虚功虚功)相对应的变形能相对应的变形能变形能以体系内力作功来量度的变形能以体系内力作功来量度的25/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理二、实变形能二、实变形能从某体系的某根杆
18、上任意截取微段ds，研究其内力变形内力在相应位移上所做的内力实功实变形能；略去二阶微量d21d21d21ddddQNVMNFMuFUUUU对于线弹性体系，三种变形能各自独立，由材料力学GAsFsEIsMEAsFudddddddQN 为剪应力不均匀分布系数，与截面形状有关 矩形截面1.2，圆形截面32/17 ， 工字形截面总面积 A除以腹板面积 AS，即A/ AS26/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理二、实变形能二、实变形能d21d21d21ddddQNVMNFMuFUUUU(1)GAsFsEIsMEAsFudddddddQN将式(2)代入(1)，并在长度方向积分，得到一
19、个杆件的实变形能(2)ddd(21dQNFMuFUUGAdsFEIsMEAsFUU22d2dd2Q22N累加所有杆件的实变形能，得到体系的实变形能实变形能计算实变形能时，不能应用叠加原理计算实变形能时，不能应用叠加原理(不能按单个荷载产生的实变形能累加得到全部荷载作用的实变形能不能按单个荷载产生的实变形能累加得到全部荷载作用的实变形能)27/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理三、实功原理三、实功原理-外力实功与实变形能的关系外力实功与实变形能的关系线弹性体系，静力加载，只发生变形，不引起振动，故无动能的变化。如果不计体系内部因材料应变发生内摩擦而损耗的微小热能，则体系上外
20、力所做的实功，将全部被吸收转化为变形能(能量守恒)。UT GAsFEIsMEAsFPniii2d2d2d212Q22N128/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理四、附加功四、附加功(虚功虚功)的互等定理的互等定理实功：实功：一批荷载在其本身产生的位移上所做的功附加功：附加功：一批荷载在别的因素产生的位移上所做的功做功和位移的下标说明做功和位移的下标说明TK i第一下标 K 表示做功的荷载第二个下标 i 表示做功的位移是在哪个状态DK i第一下标 K 表示位移发生的位置第二个下标 i 表示引起该位移的荷载1. 附加功的互等定理附加功的互等定理29/725-2 线性变形体系的
21、功能原理线性变形体系的功能原理四、附加功四、附加功(虚功虚功)的互等定理的互等定理第一组荷载在状态所做实功iiiPT2111第二组荷载在状态所做实功kkkPT2122第一组荷载在状态所做附加功附加功ikiPT12第二组荷载在状态所做实功kkkPT2122第一组荷载在状态所做实功iiiPT2111第二组荷载在状态所做附加功附加功kikPT2130/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理四、附加功四、附加功(虚功虚功)的互等定理的互等定理由于线性变形体系外力做的实功，与加载顺序无关，只与体系的初始状态和最终状态有关，所以两种加载次序下所得到的外力(Pi ,Pk)实功相等21TT
22、211122122211TTTTTT2112TT 附加功互等定理: 第一状态的外力在第二状态位移上所做的功，等于第二状态的外力在第一状态位移上所做的功。31/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理四、附加功四、附加功(虚功虚功)的互等定理的互等定理（1）位移互等定理位移互等定理 力法解超静定梁力法解超静定梁2. 附加功的互等定理的推论附加功的互等定理的推论kikkiikiikPTPTddkiikTT kiikdd1kiPP位移互等定理：位移互等定理： 第第个单位力在第二个单位力个单位力在第二个单位力方向上所产生的位移，等于第二个方向上所产生的位移，等于第二个单位力在第一个单位
23、力方向上所产单位力在第一个单位力方向上所产生的位移。生的位移。注意：注意：单位力单位力广义力广义力位移位移广义位移广义位移32/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理四、附加功四、附加功(虚功虚功)的互等定理的互等定理（1）位移互等定理位移互等定理 力法解超静定梁力法解超静定梁2. 附加功的互等定理的推论附加功的互等定理的推论kiiikPTdkiikTT ikikd1kiMPikkkiMT33/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理四、附加功四、附加功(虚功虚功)的互等定理的互等定理（2）反力互等定理反力互等定理 位移法解超静定梁位移法解超静定梁1 kiik
24、rTi 状态的反力在 k 状态的位移做功k 状态的反力在 i 状态的位移做功1 ikkirTkiikTT ikkirr 反力互等定理：反力互等定理： 第一个约束发生单位第一个约束发生单位位移时在第二个约束中所位移时在第二个约束中所引起的反力，等于第二个引起的反力，等于第二个约束发生单位位移时在第约束发生单位位移时在第一个约束中所引起的反力一个约束中所引起的反力34/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理五、附加功原理五、附加功原理体系总的外力实功：122211TTTT体系总的实变形能：122211UUUUU11与T11相对应(实变形能)U22与T22相对应(实变形能)荷载单独
25、作用单独作用时做功和变形能由实功原理， T11=U11 T22=U22 (单独作用单独作用) T=U (共同作用共同作用)则有， T12 = U12同理可推知， T21 = U21一般情况 Tik = Uiki 状态中的外力在状态中的外力在 k 状态中的位移上所做的附加功，状态中的位移上所做的附加功，等于等于 i 状态中的内力因状态中的内力因 k 状态中的变形而产生的附加应变能。状态中的变形而产生的附加应变能。35/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理五、附加功原理五、附加功原理根据：ikiikPTkikikiikFMuFUdddQNkikikiikiFMuFPdddQN
26、线弹性体系的附加功原理线弹性体系的附加功原理(外力虚功与虚变形能的关系外力虚功与虚变形能的关系) 方程称为虚功方程。方程称为虚功方程。可写为可写为 外力外力 位移位移 内力内力 变形变形虚功原理需要涉及到两个状态：虚功原理需要涉及到两个状态： (1)一个状态取其外力和内力一个状态取其外力和内力 (2)一个状态取其位移和变形一个状态取其位移和变形实际上一般只提供一个状态实际上一般只提供一个状态即实际状态，即实际状态，另一个状态假设另一个状态假设(根据分析问题的需要设定根据分析问题的需要设定)虚拟状态虚拟状态36/725-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理五、附加功原理五、附加功原理
27、外力虚设外力虚设虚力原理虚力原理外力外力位移位移 内力内力变形变形实际的位移实际的位移(变形变形)虚拟的力系虚拟的力系位移虚设位移虚设虚位移原理虚位移原理外力外力位移位移 内力内力变形变形虚拟的位移虚拟的位移(变形变形)实际的力系实际的力系虚功原理适用范围：虚功原理适用范围： 线弹性体系，非线弹性体系线弹性体系，非线弹性体系 产生的变形产生的变形( (位移位移) )的原因可以为外界各种因素：的原因可以为外界各种因素： ( (包括荷载、温度变化、支座沉降、制造误差等包括荷载、温度变化、支座沉降、制造误差等) ) 小变形范围小变形范围37/725-4 结构位移计算的一般理论结构位移计算的一般理论3
28、8/725-3 结构位移计算的一般理论结构位移计算的一般理论一、结构位移计算的一般公式一、结构位移计算的一般公式虚功方程：虚功方程：kikikiikiFMuFPdddQN虚设虚设 Pi = 1 (虚拟状态虚拟状态)：kikikiikFMuFdddQN结构位移的一般计算公式（单位荷载法）结构位移的一般计算公式（单位荷载法）iiiFMFQN表示表示虚拟状态虚拟状态中由虚设单位力中由虚设单位力Pi = 1所产生的内力所产生的内力kkkuddd表示表示实际状态实际状态中结构杆件微段的变形。中结构杆件微段的变形。ik表示表示实际状态实际状态中由于杆件变形引起的结构位移。中由于杆件变形引起的结构位移。39
29、/725-3 结构位移计算的一般理论结构位移计算的一般理论二、虚拟状态的设置方法二、虚拟状态的设置方法 虚拟状态中所设置的单位力与所求位移，必须符合广义力与广义位移虚拟状态中所设置的单位力与所求位移，必须符合广义力与广义位移的对应关系。的对应关系。 单位力是无量纲的量单位力是无量纲的量40/725-3 结构位移计算的一般理论结构位移计算的一般理论41/725-3 结构位移计算的一般理论结构位移计算的一般理论1dT42/725-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法43/725-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法虚力原理的应
30、用虚力原理的应用(MaxwellMohr 法法)根据结构位移计算的一般公式根据结构位移计算的一般公式kikikiikFMuFdddQNk 状态：实际状态，内力以状态：实际状态，内力以FNP、MP、FQP 表示表示对线弹性体系，有对线弹性体系，有EAsFuukdddNPPEIsMkdddPPGAsFkdddQPPDGAsFFEIsMMEAsFFiiiidddQPQPNPNP线弹性体系杆件结构在荷载作用下，结构位移计算的一般公式线弹性体系杆件结构在荷载作用下，结构位移计算的一般公式44/725-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法一、桁架一、桁架EAlFFiiN
31、PNP二、梁和刚架二、梁和刚架EIsMMiidPP三、组合结构三、组合结构EIsMMEAsFFiiPddPNPNi链杆链杆 受弯杆件受弯杆件四、曲杆和拱四、曲杆和拱轴线的曲率半径较小轴线的曲率半径较小采取同梁或刚架那样的处理方法采取同梁或刚架那样的处理方法较扁平的拱较扁平的拱必须同时考虑轴向变形和弯曲变形两项影响必须同时考虑轴向变形和弯曲变形两项影响 ( (由于轴力较大，轴向变形显著由于轴力较大，轴向变形显著) )45/725-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法【例【例5-2】图示钢桁架，】图示钢桁架，P = 160kN，各杆用两个，各杆用两个 80mm5
32、mm的等边角钢的等边角钢(2L805)，A = 2791.2mm2 ， E = 210GPa，试求试求 D DCV46/725-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法计算实际状态和虚拟状态下各杆的内力计算实际状态和虚拟状态下各杆的内力(轴力轴力),如图如图160KN160KN00200120120120200121258385834583858EAlFFiCNPNVlFFEAiNPN1mkN2330NPNlFFi mm012. 72 .79121021010233036VC47/725-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法1
33、47.245 39.497 -0.625 -20015.8245B-E0.000 0.625 015.8245C-E0.000 0.625 015.8245C-D39.497 -0.625 -20015.8245A-D34.125 -0.750 -12015.8246D-E17.063 0.375 12015.8246B-C17.063 0.375 12015.8246A-C轴力（kN）轴力 (kN) 截面积A(cm2) 杆长l(m)杆件名称NPFiFN2NPNcmmkNAlFFi2NPNcmmkNAlFFi48/725-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法
34、【例【例5-3】图示简支梁，受到集中荷载】图示简支梁，受到集中荷载FP作用，试求梁两端截作用，试求梁两端截面面A、B的相对转角的相对转角 AB49/725-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法解解BAAB虚拟状态虚拟状态,在截面在截面A,B施加一对反向单位力偶施加一对反向单位力偶确定实际状态下的弯矩方程确定实际状态下的弯矩方程(参见弯矩图参见弯矩图)lxalxaFaxxlbFM10PPP虚拟状态下的弯矩方程虚拟状态下的弯矩方程( (参见弯矩图参见弯矩图) )1MsEIMMABdPalaxlxEIaFsxEIlbF0PPd1dEIabF2P正值表示与所设的一对
35、单位正值表示与所设的一对单位力偶方向相同。力偶方向相同。50/725-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法【例【例5-4】图示一等截面圆弧曲杆】图示一等截面圆弧曲杆AB,截面为矩形，圆弧的圆截面为矩形，圆弧的圆心角为心角为a a,半径为半径为R。设均布竖向荷载。设均布竖向荷载 q 沿水平线作用，试求沿水平线作用，试求B点的竖向位移点的竖向位移D DBV51/725-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法虚拟状态：虚拟状态：在在B点加单位竖向荷载点加单位竖向荷载取B点为坐标原点，任一点C坐标(x,y),圆心角计算实际状态和单位
36、荷载作用下的内力 2P21qxMsinNPqxFcosQPqxFxMsinNFcosQFABABMxxEIqsEIMMd2d3PABABxxEAqsEAFFdsind2NNPNABABxxGAqsGAFFdcosd2QQPQ52/725-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法ABABMxxEIqsEIMMd2d3PABABxxEAqsEAFFdsind2NNPNABABxxGAqsGAFFdcosd2QQPQQNVMB取 为积分变量ddcos1sinRsRyRx代入前三式aa34cos31cos322EIqRM代入前三式，经整理计算aa32Ncos31cos3
37、2EAqRa32Qcos131GAqR53/725-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法aa34cos31cos322EIqRMaa32Ncos31cos32EAqRa32Qcos131GAqR若90aEIqRM34EAqR322NGAqR32QGAqREAqREIqRMB3323224QNV讨论讨论：设 2 . 112/3/8/)(10/1/903ahAIGEhRh为截面高6001612222NRhARIM375112222QGREhGAREIM在题示给定的条件受弯的梁/曲杆下，弯曲变形对位移D的影响是主要的。一般轴力和剪力所引起的位移可以忽略不计。 54
38、/725-5 图乘法图乘法55/725-5 图乘法图乘法一、图乘法的应用条件一、图乘法的应用条件(1) 杆件轴线为直线杆件轴线为直线直杆；直杆；(2) 杆件是等截面的（或分段等截面的）杆件是等截面的（或分段等截面的） EI = 常数；常数；(3) 两个弯矩图中至少有一个是直线变化的（或分段直线变化）两个弯矩图中至少有一个是直线变化的（或分段直线变化） 直线图形直线图形。可用图乘法求积分运算可用图乘法求积分运算56/725-5 图乘法图乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导BAKiKixMMEIsEIMMd1dBAKixMMdBAKxxM dtanaBAKxMxdtanaMK 图面积对图面积对
39、 y 轴的面积静矩轴的面积静矩KCBAKxxxMdKCBAKixxMMatandiCKyEIyxEIMMCBAKid57/725-5 图乘法图乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导注意点注意点：(1) 两个弯矩图中，一个取面积两个弯矩图中，一个取面积 ，另一个取纵坐标另一个取纵坐标yC , 但纵坐标必须但纵坐标必须取自直线图中，并与面积取自直线图中，并与面积 的形的形心相对应。心相对应。 (2) 两个弯矩图在杆件的同一侧为两个弯矩图在杆件的同一侧为正，反之为负。正，反之为负。(3) 实际上，梁和刚架的单位弯矩实际上，梁和刚架的单位弯矩图是直线变化的。图是直线变化的。58/725-5 图乘法图
40、乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导若弯矩图长度上由两根直线组成若弯矩图长度上由两根直线组成2211yyy11yy59/725-5 图乘法图乘法若两个弯矩图均为梯形时若两个弯矩图均为梯形时 将梯形分解为两个三角形，将梯形分解为两个三角形，分别与另一个弯矩图相乘后相加分别与另一个弯矩图相乘后相加2211yyy)3132(21dcal)3231(21dcbl)22(6bdbcadacly60/725-5 图乘法图乘法若两个弯矩图均为梯形时若两个弯矩图均为梯形时 )22(6bdbcadacly注：注：(1) 如如 a、b、c、d分处于杆的不同侧边时，分处于杆的不同侧边时，上式仍然适用上式仍然适用
41、注意正负号：注意正负号：“同侧相乘为正，异侧相乘为负同侧相乘为正，异侧相乘为负”(2) 如两个弯矩图中一个为梯形，另一个为如两个弯矩图中一个为梯形，另一个为三角形上式仍可应用。三角形上式仍可应用。61/725-5 图乘法图乘法三、几种常见图形的面积及其形心三、几种常见图形的面积及其形心注意注意:二次抛物线顶点处切线与基线平行二次抛物线顶点处切线与基线平行62/725-5 图乘法图乘法【例【例5-5】试用图乘法求简支梁】试用图乘法求简支梁 C 截面截面 C63/725-5 图乘法图乘法1) 确定虚拟状态确定虚拟状态2) 画出实际状态和虚拟状态的弯矩图画出实际状态和虚拟状态的弯矩图3) 图乘图乘E
42、IyCCCy3840412323232qllql逆时针逆时针64/725-5 图乘法图乘法【例【例5-6】图示阶梯形变截面梁，】图示阶梯形变截面梁，q =20kN/m，已知其弯曲刚，已知其弯曲刚度：度：AB 段为段为 4EI，BC 段为段为EI。 试求试求D DCV65/725-5 图乘法图乘法1) 确定虚拟状态确定虚拟状态2) 画出实际状态和虚拟状态的弯矩图画出实际状态和虚拟状态的弯矩图3) 图乘图乘AB 段：段：AB 段：段：2640360dcba矩形部分矩形部分310880)22(6bdbcadacly抛物线部分抛物线部分31280262140432yBC 段：段：4024340231y
43、4013128031088041VEIEIC3mkN840EI66/725-5 图乘法图乘法【例【例5-7】图示刚架，】图示刚架，EI 常数，试求常数，试求C、D两点沿两点沿CD方向的方向的相对线位移相对线位移D D CD 67/725-5 图乘法图乘法虚拟状态虚拟状态弯弯矩矩图图刚架轴力产生的轴向变形和剪力产生的剪切变形对于结构位移的影响刚架轴力产生的轴向变形和剪力产生的剪切变形对于结构位移的影响忽略不计忽略不计(参见第参见第4节节)。68/725-5 图乘法图乘法)22(611bdbcadacly)56122569(6659051085621963222y57256321232133yii
44、CDyEI15190721081EI3mkN518590EIEICD之间的相对距离缩短69/725-5 图乘法图乘法【例【例5-8】组合结构，】组合结构，CD 杆横截面杆横截面A 200200mm2，AB和和 BE杆横截面为杆横截面为 bh300600mm2， 弹性模量弹性模量 E = 30GPa，试求试求D DBH70/725-5 图乘法图乘法画出组合结构的实际状态和虚拟状态内力图(ABCE-弯矩图 CD-轴力图)【分析】 ABCE 刚架，弯矩对位移有影响 CD 链杆, 轴力对位移有影响虚拟状态：在B处施加水平向右的单位力实际状态实际状态的内力图 未标单位 kNm虚拟状态虚拟状态的内力图71
45、/725-5 图乘法图乘法实际状态实际状态的内力图 未标单位 kNm虚拟状态虚拟状态的内力图EIyEAlFFCiiiBNPNHEAEAEAlFFi1924965 .0NPN5 . 221105325 . 2328852111Cy3005 . 2325 . 28826522Cy33.20825 . 25053233CyEIEIyCii67.91633.40872/725-5 图乘法图乘法实际状态实际状态的内力图 未标单位 kNm虚拟状态虚拟状态的内力图mm16. 0mm200200MPa1030mmN10192192236NPNEAEAlFFiEIEIyCii67.916433312mm1260
46、0300MPa1030mmN1067.916mm658. 5EIyEAlFFCiiiBNPNHmm818. 516. 0658. 573/725-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移74/725-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移 一般的建筑材料一般的建筑材料(钢，砼钢，砼)都有热胀冷缩的特性，因此结构在实际使用都有热胀冷缩的特性，因此结构在实际使用过程中，如果其周围温度发生变化，则杆件将发生变形，因而结构可能引过程中，如果其周围温度发生变化，则杆件将发生变形，因而结构可能引起位移。起位移。 在静定结构中，由于体系不存在多余约束，当温度发生变化时，结在静定结构中，由于
47、体系不存在多余约束，当温度发生变化时，结构及其各杆可以自由地发生构及其各杆可以自由地发生(符合体系约束条件的符合体系约束条件的)变形或位移，但不会引变形或位移，但不会引起任何的反力和内力。起任何的反力和内力。ABhlt1t2均匀升温均匀升温 t1=t2BABhlt1t2不均匀升温不均匀升温 t t1 1 t t2 2B75/725-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移假设杆件内部的温度变化沿截面高度按直线变化故杆件中性轴上的温度为2112212111210)(hhhththhhtttt若h1 = h22210ttt微段的轴向变形：stukdd0a微段的弯曲变形：tkddhststd
48、d12aahstdDa12tttD(杆件上、下侧温度差的绝对值)微段的弯曲变形：微段的相对剪切位移：0ddtkvv76/725-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移stukdd0atkddhstdDa0ddtkvv根据结构位移计算的一般公式根据结构位移计算的一般公式kikikiikFMuFdddQN代入上述三式，得代入上述三式，得DshtMstFiiikdd0Naa77/725-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移等直杆情况下，h 为常量DshtMstFiiikdd0Naa若有 a, t1, t2 沿杆长不变DsMhtsFtiiikddN0aa取sFiidNN表示杆件单
49、位荷载下轴力图的面积取sMiMid表示杆件单位荷载下弯矩图的面积DMiiikhttaaN0t0 升高为正，降低为负升高为正，降低为负 Ni 拉为正，压为负拉为正，压为负 Mi 温度变化产生的弯曲变形与温度变化产生的弯曲变形与 产生的弯曲方向相同时为正，产生的弯曲方向相同时为正， 反之为负反之为负iM78/725-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移注意：注意：(1) 温度变化时，杆件的轴向变形与其横戴面大小无关温度变化时，杆件的轴向变形与其横戴面大小无关 (截面很大的杆件，也可能产生显著的轴向变形截面很大的杆件，也可能产生显著的轴向变形) 在梁、刚架计算中，由于温度变化引起的位移时
50、，在梁、刚架计算中，由于温度变化引起的位移时， 必须考虑受弯杆件的轴向变形对结构位移的影响。必须考虑受弯杆件的轴向变形对结构位移的影响。(2) 温度升高或降低，均为相对温度，而不是绝对温度。温度升高或降低，均为相对温度，而不是绝对温度。桁架：桁架：一般只承受轴力，故可得桁架由于温度变化引起的位移计算公式：一般只承受轴力，故可得桁架由于温度变化引起的位移计算公式：lFttiiikN0N0aa79/725-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移【例【例5-9】AC、BC 杆截面为矩形，高杆截面为矩形，高 h 300mm，已知材料，已知材料的线膨胀系数为的线膨胀系数为a a，温度变化如图，
