1、8.2 索末菲的量子自由电子论索末菲的量子自由电子论 前提:物理学家泡利提出了不相容原理：一切由自旋等于半整数的粒子费米子组成的系统中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。这一原理推动了电子自旋概念的确立。 费米和狄拉克分别在泡利不相容原理及玻尔兹曼统计基础上,提出电子服从某一统计规律,后来称为费米狄喇克统计分布。能量不连续 kPE 5.2.1 索末菲自由电子气模型 独立电子：电子之间无相互作用 自由电子：近似于自由电子,即单电子近似。 忽略离子作用，不考虑碰撞，忽略晶格周期场。 引入了泡利不相容原理 服从费米狄喇克统计分布 根据量子力学的波动现象，电子的波函数满足自由电子的薛定谔方
2、程。8.2.2索末菲电子气的能量状态0( )0EL (0)0pE( )pEL 8.2.2.1 无限势阱 定态薛定谔方程的解l一维金属晶体中自由电子的能级22228()0mExxh边界条件：x=0,(x)=0;x=L,(x)=0波函数在X=0L区间归一化( )pEL 2222288hhEknmL解得自由电子的波函数是：2( )sinnxxLL自由电子的能量是：式中，n=1,2,3这正好表明金属丝中自由电子的能量不是连续的，此处的n仅代表自由电子的可取能级。每个能级可容纳两个自旋方向相反的电子。三维金属自由电子的能级设一电子在边长为L的立方体金属块中运动，取势阱内( , , )0pEx y z 三
3、维定态薛定谔方程式为：222222228( , , )0mEx y zxyzh驻波边界条件：0,( )0;,( )00,()0;,()00,( )0;,( )0 xxxLxyyyLyzzzLz归一化条件：20|( , ) |1Vx y zdV采用分离变量法求解，令( , , )( )( )( )xyzx y zxyz经上 解得电子的波函数的驻波解321( , , )() sinsinsinyxznnnx y zxyzLLLL电子的能量22222()8xyzhEnnnm L 电子的状态可以有一组正整数来确定，波函数所描述的金属块中的电子是在势垒的反射下做来回往复的运动，尽管电子并不是静止的，但电
4、子的平均动量和平均速度等于零，与实际不符。此外，对于驻波态的解，当L趋于无穷大，得不到平面波。 人们采用波恩-卡门条件即所谓的周期边界条件让电子波函数能够在三维相界面上周期性重现，来求得行波解。(0, )( , );( ,0, )( , )( ,0)( ,)y zL y zxzx L zx yx y L有此求得波矢222;yxzxyznnnkkkLLL自由电子定态波函数的行波解为：3()21()()xyzikxkykzreL补充补充)(2cos :,)(,. , . 3.txAxknhPhEPE下式来表示方向传播的平面波可用沿频率波长即它是都不变或波长它的频率和波矢与自由粒子联系的波知所以由德
5、布罗意公式可是常数量都由于自由粒子能量和动公式上述公式称为德布罗意满足以下方程：频率波长动量自由粒子的能量平面波这种波称为德布罗意波的平面波得到与自由粒子联系代入上式和将将其改写成复数形式其中则的方向传播如果波沿单位矢量)()(A :,A :2 2k cos )(2cos ,EtrpitrkieEkPentrkAtnrAn),(t ),(t ),( t ,A t ,A 2222222222)(2222)()(trptrptrpeApet iEEt iEieyyxEtzpypxpixEtrpiEtrpizyx同理有得到进行二次偏微商对自由粒子波函数相当与算符即由上式可得得到求偏微商对自由粒子波函
6、数)(2 U(r), 2- ti 2 .),(- : zyx , ),(zyx 2222222222222222rUmpEmmpEiptrpkjitrp式为则粒子能量和动量关系为设粒子在力场中的势能得到利用能量动量关系式相当与算符即由上式可得是劈形算符其中同理有将以上三式相加得., HH , )(2- )(2- )(2- )(2- ti ,ti),(22222222的本征函数算符称为的本征值称为算符程这种方程称为本征值方于是上式可写成表示或通常以称为哈密顿算符算符上式称为薛定鄂方程或得到下列方程和代替分别和并以算符上式两边同乘以波函数HHEEHrUmrUmrUmErUmpEitr.,)(2-1
7、 ti )()(,)()(t)(r, ,U(r) 22表示这个常量以等式才被满足一常量时所以只有两边都等于同是互相独立的变量和而右边只含上式左边只含得到去除并把方程两边用将其代入薛定谔方程考虑写成下列形式：可以用分离变量法简化的解自由粒子的薛定谔方程不含时间如果ErtrtrUmddfftfrtfrtiEtiECertrCe f(t)ErUmfddfiddff)(),( )(2- Et Eti 22则有解出由等式左边得到即由等式左边得到。x,y,z,tVt)z(x,ytitzyxVzyxm的波函数中运动是粒子在势场式中含时薛定谔方程：,)(2 . 12222222薛定谔方程简介薛定谔方程简介粒子
8、的定态波函数 定态薛定谔方程应满足如下方程：其空间部分波函数应有以下形式：在恒定势场条件下，即定态薛定谔方程： ),( ,2 ,),(, . 2222zyxEzyxVxmz)y(xetzyxzyxVtzyxVtEi Lx,y,zx,y,zLx,y,zzyxVL或或。且有：。且有：边长为边长为设一金属为立方体，其设一金属为立方体，其0 0 0),( 5.2.2 单电子的本征态和本征能量单电子的本征态和本征能量1.电子气的本征态电子气的本征态mkEAeAeEmEHzkykxkirk izyx222222在金属内部有：2/3322221111LVALAVAdrAdr态称为本征态。态称为本征态。函数对
9、应的粒子运动状函数对应的粒子运动状的本征函数，而此时的本征函数，而此时为算符为算符值，值，的本征的本征为算符为算符，则称，则称若有若有为常数。为常数。为一个函数，为一个函数，为算符，为算符，设设UFUFUUFFU 122dr件：几率，波函数归一化条积元中粒子出现的表示空间某点处单位体22222222300022)sin()sin()sin()2( 000 zyxzyxLzzLyyLxxnnnmLhmkEznLynLxnLL，可得到方程的解为：入固定边界条件：采用分离变量法，并代第一种解法：驻波解v该解称为驻波解，表示晶体内电子的平均动量和平均速度为0，和实际不符，不利于处理金属内部电子的输运问
10、题。所以选用周期性边界条件，获得行波解。 zkykxkirk izyxAeAe 222222222 2 2 2111 zyxzzzyyyxxxLikLikLiknnnmLhmkEZnnLkZnnLkZnnLkeeezLzyLyxLxzyx周期性边界条件：通过周期性边界条件导致了波矢k 的量子化。金属中电子的能量是不连续的、分立的，每一组nx、 ny、 nz确定了一个波矢k，对应两个量子态。第二种解法：行波解它是自由电子波函数，是前进的平面波，称为行波解为晶格常数其中a 222 2 2 2222222222NaLKLnJLnILnKkJkIkkZnnLkZnnLkZnnLknnnmLhmkEAe
11、Aezyxzyxzzzyyyxxxzyxzkykxkirk izyx波矢kNnnnzyx,0KLnJLnILnkzyx 222状态空间状态空间波矢空间波矢空间空间空间k 由于每一个k k对应于一个能量状态(能级)，每个能带中共有N个能级，因固体物理学原胞数N很大，一个能带中众多的能级可以近似看作是连续的，称为准连续。 由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相反的电子，所以每个能带可以容纳2N个电子。3zz2yy1xxLnKLnKLnK其中 21,0,zyxnnn图2.5 K空间的状态分布333333422 . 382 . 28 2 . 1VLVLkkVLkk数目：单位体积对应的量子态：点数）（单位
12、体积中含有的点的分布密度点占据的体积：每个空间中：在说 明电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。故k的取值为lb/n，即l2/na时，意味着电子波长 为na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面波与晶面垂直。可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩-卡门周期性边界条件。驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。作业 1 简要说明索末菲模型的主要内容.及其与特鲁德模型的区别. 2 写出单电子近似条件下,金属晶体中的定态薛定谔方程及电子的波函数,利用周期性边界条件推导金属中电子的能量.说明量子化成立的条件.对应多少种波函数？态，的能级对应多少种量子金属中能量2224 . 3mLhE
