1、2M为为点处点处割线割线 的极限位置的极限位置. . 0tt ( ),xt ( ),yt ( )zt 000(,)M xy z00( )tx 00( )ty MM 000( ( ),( ),( )Mttt( ( ),( ),( )Mttt ( ( ) t MM 0( ),t ( ) t 0( ),t ( ) t 0( )t 0tt MM ( 0tt 0( )( )tt 0,tt ( ) t 0( )t 0,)tt ( ) t 0( )t s 0tt MM 0limtt( 0(),t 0( ),t 0( )t M 0()t 0( )t 0( )t 0 xx 0yy 0zz 00( )tz 000
2、( ),( ),( )ttt如个别为如个别为0, 0, 则理解为则理解为分子分子为为 0 .0 .00( )()txx 00( )()tyy 00( )()0tzz s s Ms 0(),t 0( ),t 0( )t zyxox ,2 Rx 202Rxk zk 0yR x y z (0,()02k zk y z R 0k0 x yR 2zk 02k xRzRk s (,R 0,)k,R)2k sin,R cos,R ,kcos,R sin,R k 2 ( , , )0F x y z 000(,)M xy z0,tt 设设: s s ( )yt ( )zt 0( ),t 0( ),t 0( )t
3、 0 xx 0yy 0zz 0( )t 0( )t 0( )t M: ( ),xt ( ),yt ( )zt ( ( ),( ),( )0tttF,0处求导两边在tt 0( )t 0 0()xFM 0()yFM 0()zF M 0( )t 0( )t 00( ),tx 00( ),ty 00( )zt n 0(),xFM 0(),yFM 0()zF M n s sn n ( )xt 0 ( , , )F x y z0 Mn n ( , , ),xx y zF ( , , ),yx y zF ( , , )zx y zF 000(,)M xy zn 0(),xFM 0(),yFM 0()zF M
4、 0()xFM 0()zF M 0()yFM 0()xx 0()yy 0()zz 0()xFM 0()yFM 0()zF M 0 xx 0yy 0zz 0 ( , )F x yz ( , )f x yn ( , ),xfx y ( , ),yfx y 1)0 n ( , ),xx yF ( , ),yx yF ( )yf x n ( ),fx 1)2ax2by 2cz d 0(,x0,y0)z0ax x0byy 0c zz d ( , , )F x y z2ax 2by 2cz d n (2,ax2,by 2)cz2(,ax ,by)cz0M0(,x0,y0)zn 0(,ax0,by0)cz0
5、ax0()xx 0by 0()yy 0cz 0()zz 0 0ax x0byy 0c zz 20ax 20by 20cz 0Md 2x24y 216z 16 0(,x0,y0)z0 x x04yy 016zz 16 22xa22yb 22zc 1 0(,x0,y0)z20 x xa20y yb 20z zc 1 2ax2by d 0(,x0)y0ax x0byy d 22xa22yb 1 0(,x0)y20 x xa20y yb 1 2x29y 4 0 x x09yy 4 2x( , , )F x y z (1)x x4 9 149n (2 ,x 4 , y 6 ) z(1,2,3)(1,2,
6、3)(2, 8, 18)1x 2y 3z 22y 23z 36 2x22y 23z 36 (2)y (3)z 0 4y 9z 36 0 (1,4, 9) ( , , )0G x y z ( , , )0F x y z 0Ps ijkxF yF zF xG yG zG 0P 1 2L1A x1B y 1C z 1D 0 2A x2B y 2C z 2D 0 1n2nss 1n 2n ijk1A1B1C2A2B2C1S( , , )0F x y z 1n1n(,xF ,yF )zF 0P2S( , , )0G x y z 0P2n2n(,xG ,yG )zG 0PL ( , , )0G x y z
7、 ( , , )0F x y z 0Pss 1n 2n ijkxF yF zF xG yG zG 0P在点在点F G z xy 5 xyz 6 0 xy 5 z xyz6 在点在点s ijkyx1 yzxyyz(1, 2,3) ijk 2 11 6 32 (1, 2, 0)11x 2y 3z 201 (1)x2 (2)y 0 (3)z 0 230 xy2x在点在点F G 2y 2z 6, 2x2y 2z 6 xy z 0 xy z 在点在点s ijk2x2y2z111(1, 2,1) 2 ijk12 11112( 6(1,0, 1) 3, 0,3)11x 2y 1z 01 1 (1)x0 (2
8、)y 1 (1)z 0 0 xzxyo)(xfy CT0 xM( )yf x 00(,()xf x0()yf x0()fx 0()xx d y 0()fx dxxy x dyz ( , )f x y000(,)xy z( , )f x yz0 n ( , ),xfx y ( , ),yfx y 1)000(,)xy zn 00(,),xfxy 00(,),yfxy 1)00(,)xxfy 0()xx 00(,)yxfy 0()yy 0()zz0 z 00(,)xy( , )f x ydz 00(,)xxfy dx00(,)yxfy d ydz0zz00(,)xxfy 0()xx 00(,)yx
9、fy 0()yy 2zx y xz 2,xy2,yyz (2,1)xz 1,(2,1)yz 4,2z 1 4(1)y(2)x 44zxy, .为锐角则( , )zf x y 000(,)xy zn 00(,),xfxy 00(,),yfxy 1)cos cos MTncos xf 221xyff yf 221xyff 1221xyff, zx y 2(1)x 220 xyz ( , , )F x y z zx y n (, y , x 1)(1,2,2)n ( 2, 1, 1) 12 1 (2)y (2)z 0 1x 2y 2z 00( )()txx : 内容小结内容小结00( )()tyy
10、00( )()0tzz ( )xt ( )yt ( )zt 0()t 0( )t 0( )t 0 xx 0yy 0zz s 0(),t 0( ),t 0( )t ( )yf x s (1,( )fx : ( , , )0F x y z ( , , )0G x y z s xFyFzFxGyGzGijk0()xFM 000(,)M xy z0()zF M ( , , )F x y z0 n 0(),xFM 0(),yFM 0()zF M 0()yFM 0()xx 0()yy 0()0zz 0()xFM 0()yFM 0()zF M 0 xx 0yy 0zz : ( , )zf x y n ( ,
11、 ),xfx y ( , ),yfx y 1)0zz00(,)xxfy0()xx 00(,)yxfy 0()yy 100(,)xxfy 00(,)yxfy 0 xx 0yy 0zz cos cos cos xf 221xyff yf 221xyff 1221xyffx yz 222xyz000(,)M xy z2a 00(,y z0(,x(0)a x yz 1n 222xyz2a 2n 0 x203x故000 x y z 33 3a 20y20z20 x0 x 00,x z00)x y0,y0)z1n 2/n 00y z00 x z00 x y0 x0y0z20 x20y 20,z 0y 0z 2,a 3a 33 3a例例6.6.(,)F.),(可微其中vuF1(,F 1F 2)F (,m 1,)n故结论成立故结论成立 . .0 2F l 1(,F 1mF 2,nF 2)F l n ()m (),n n l 1mF 1mF 2nF 2nF xym zyn 0
