1、1第三章 大气运动基本方程组 前两章主要介绍了连续介质的概念，研究流体力学的两种常用方法，并介绍了N-S方程及其应用，这一章我们着重来研究一个具体的流体的运动规律，即旋转地球上的大气运动的规律。 旋转地球上的大气运动的规律，主要是用流体力学的方法，来描述与讨论大气运动的基本规律。因此，它的基础就是流体力学，但是它又与一般的流体力学有所差别，正因为有差别，才能将气象科学与其它流体力学区别开来。21、 大气运动与一般流体运动区别最重要的一点，就是气象上的运动具有大尺度的特征 气象上运动一般水平尺度是数百公里到数千公里的范围，有时候还几乎等于地球半径。因此，这类运动中就必须考虑地球自转的作用，也正是
2、这一点，在大气中存在一种准地转关系。 例如在给定压力分布情况下，一般流体均是沿着压力梯度方向运动的，即“水是从高处往低处流的”，但是，由于地球的旋转效应，将会改变“水往低处流”，而是出现流体沿着等压线（即与压力梯度相垂直）流动的趋势和现象，这就是我们将要学习的地转风；而且旋转的越厉害，这种趋势和现象越明显。 大气运动的主要特点32、 大气的运动具有准水平的特征 由于重力场的作用，使得大气质量向地表面集中。由此造成了气压在铅直方向上的分布不均匀，描述这种分布的就是众所周知的静力方程。 此外，密度和温度在垂直方向的分布也不均匀，这种介质的物理性质的不均匀分布，使大气具有层结的分布。 但是，就大范围
3、而言，层结具有稳定的特点，这就使垂直方向的扰动受到了抑制，再加上地球旋转的效应，因此，运动就具有准水平的特征。 大气运动的主要特点4 大气运动的主要特点3、 大气中含有水汽 大气中的水汽成分在运动过程中发生了相变，而相变的潜热又反过来供给大气，促使运动得到支持和发展。4、 大气的其它的一些重要特征，例如大气的斜压性，准不可压缩性那么准的含义是什么呢？5 “准”的含义水平运动：垂直速度为零。准水平运动：主要是水平运动，但垂直运动也很重要（降水的形成）。地转运动：科氏力与气压梯度力相等，加速度等于零。准地转运动：科氏力与气压梯度力近似相等，加速度不等于零，系统能发展。6流体力学对大气运动的研究包括
4、: 考虑地球自转的、准水平运动大尺度大气动力过程。 大尺度系统，又称天气尺度系统、天气系统。所以说7以流体力学为基础的动力气象学与天气学不同之处在于： 天气学：从观测资料出发，经验性的，总结天气过程的发生发展规律，（主观）推断可能机理 动力学：从物理定律出发，从理论上，（客观）揭示天气过程的发生发展规律和机理 83.1 作用于大气上的力，惯性坐标系运动方程1、惯性坐标系相对于某个恒星（如太阳）静止或作匀速直线运动（即没有加速度）的坐标系。 所谓惯性坐标系就是牛顿第二定律适用的坐标系，否则就是非惯性坐标系。9aaiid VFdt123iiFFFF11Fp 惯性坐标系下牛顿第二定律成立：对于空气微
5、图，作用于其上的外力有23GMFrr 3F 摩擦力=外摩擦力+内摩擦力31aad VGMprFdtr 10旋转(相对)坐标系相对于某个恒星（如太阳）作旋转运动（即有加速度）的坐标系，则固定在地球上的坐标系属于旋转坐标系11 由于人们总是取固定在地球上并且与地球一起转动的参考系来考察和研究大气的运动，而这种坐标系是非惯性坐标系。 当把加速度转换在非惯性坐标系中，它并非不变量，而要出现由于参考系旋转所引起的加速度的附加项。而且，对于随同参考系一起旋转的观测者而言，加速度中的此种附加项是作为体积力作用的形式而出现的，统称为惯性力。12131415162、旋转坐标系中加速度的表达式 所谓惯性坐标系就是
6、牛顿第二定律适用的坐标系，否则就是非惯性坐标系。如图所示，点P表示某质点在起始时刻的位置，假设观测者也在该同一位置。经过时间dt，空气质点移到点Pa，同时，对于地面不动的观测者随地球自转移动到Pe处。我们称 为牵连位移，以 来表示；在绝对（即固定）坐标中观测到的质点位移 为绝对位移，以 来表示；在相对坐标（即随地球一起转的坐标）中观测到的位移 为相对位移，以 表示。 Rppepar地轴17显然，绝对位移是相对位移与牵连位移的矢量和，即Rppepar地轴此式除以dt，得18此式除以dt，得即（3.5）其中 =是绝对速度，因为由转动引起的牵连速度是P点位置矢的时间导数，即=是相对速度，是牵连速度其
7、中 是地转角速度矢，R是在纬圈面上的半径（3.2*）（3.1*）=19将3.2* 代入3.1* 即得：3.3*将3.3*中的 去掉，则得： 表示相对坐标系中的个别变化其中 ，表示绝对坐标系中的个别变化3.3*1）3.3*表示了绝对坐标系的个别变化与相对坐标系中的个别变化之间的关系说明：2）3.3*式中的算符对任意矢量都是成立的20将3.3* 中的 换成绝对速度以 （3.5）与 代入3.10式 得 ：3.10将3.4*式右端展开后，因 为常数，可得：3.4*上式表示绝对坐标系中的加速度与相对坐标系中的加速度之间的关系3.5*2122 称为科里奥利力（科氏力）， 称为惯性离心力我们知道，惯性流体动
8、力学方程或N-S方程为：不考虑黏性力，将3.5*代入上式，即得3.7* 根据达朗贝尔（DAlembert)原理，3.7*式可以移到右边作为惯性力来考虑，这样，3.5*中的3项加速度都可以看作是惯性力. 但是为了明确起见，我们以后只把 称为惯性力，而把3.6*23将3.7*改写一下：3.8*讨论： 1）方程是在相对坐标系或旋转坐标系中的大气运动方程2）方程的右边多了两项，它们在物理学中称为惯性力，是由于旋转效应而引起的附加项3） 就是科氏力 4） 是惯性离心力（惯性离心力和离心力是两个不同的概念） 5）ga 是万有引力 2425二、作用于大气上的力 共有两类 第一种称为表面力，它是周围空气介质作
9、用在空气微团表面上的力，与作用面的面积大小成比例 第二种称为质量力或体力，这种力作用在组成空气微团的所有质点上，与空气微团的质量或体积成比例，而与空气微团以外的空气介质的存在无关261，气压梯度力 气压梯度力是空气介质对空气微团的作用力。考虑大气中一物质体积元，取笛卡尔坐标系，其体积为 体积元的中心在（x0，y0，z0）处，如右图所示，该体积元各面上都要受到周围空气对它的作用力压力。以P0代表该体积元中心处的气压则在右图中A面上的气压为：作用在A面上的总压力为：其中 是A的面积27同理，作用在B面上的总压力为：因此，作用在体积元上x方向的合压力为：若空气微团的密度为，该体积元含有的大质量上的合
10、压力为：该力的方向与x轴的方向平行。气质量为因而作用于每单位空气考虑周围空气对其它面上的压力，则有所以周围空气介质对每单位质量空气微团的作用力为：28将上式写成矢量形式，即可得到作用在单位质量的气压梯度力：讨论： 气压梯度力是面力 水平气压梯度力比垂直气压梯度力小很多 显然只有在非均匀气压场中才存在气压梯度力 气压梯度力的大小与气压梯度成正比，与空气的密度成反比。即等压线越密集，气压梯度就越大，在同样的气压梯度下，高处的风比低空的大，因为高空的密度小。 气压梯度力的方向指向- 方向，即由高压指向低压，垂直于等压线。水平方向 100km 相差1hPa 垂直方向 8-10km 相差1hPa由于向上
11、的气压梯度力和重力得到准静力平衡，所以虽然垂直方向上气压梯度力大，但运动不明显；而水平方向上力很小但运动明显，故大气基本上是准水平运动293031322，重力 地球上任何物体（单位质量），都受地心的万有引力ga，它是指向地心的。由于地球是一个近似的椭球体，因此，万有引力ga并不垂直于地面。 由于地球自转，单纯的万有引力ga是无法测量的，实际测量的是地心引力和惯性离心力的合力，这就是通常说是的重力，对单位质量空气微团而言，它表示为3.9*Ngag离心力 重力加速度的经验公式为（精确度相当地高）：其中 是纬度 ，在动力气象中一般可以不考虑g与纬度和高度z的关系。并把重力加速度看作常数。33讨论：
12、1）除赤道和极地外，重力g并不指向球心，而具有指向赤道方向的分量3.10*2）重力g是位势力（重力对物体所做的功与物体的运动路劲无关，只决定于物体的初始和终止位置离地心的距离），它可以表为其中 称为重力位势，它是引力位势和离心力位势之和3）重力g的方向垂直于等重力位势面，且由高重力位势面指向低重力位势面4）g的大小，就是重力加速度34各等重力位势面示意图重力位势面： 1）重力位势面是一族包围着地球的椭球面。海平面也是一个等重力位势面，一般令其位势等于03）重力位势用位势米（gpm）去度量重力位势面，因为用几何“米”这把尺子去度量重力位势时，等重力位势面存在不平行的情况4）重力位势 表示移动单位
13、空气质量微团从海平面（z=0）到z高度，克服重力所做的功，其数值近似等于重力加速度g乘以海拔高度z2）等重力位势面的几何距离是不不同的。在极地密（g数值相对大）赤道疏（ g数值相对小）4）位势米的本质不是高度，而是重力位势353，分子黏性力 略除了以上三种力以外，根据达朗贝尔（DAlembert)原理，在旋转坐标系中又增加了两个力，一个是惯性离心力，另一个就是科里奥利力（科氏力）， 361） 垂直于地转轴，它在纬圈面内，但不一定在直径园面内4，科里奥利力（科氏力）对单位质量的空气微团而言，Coriolis力的特征讨论：2） 垂直于风速 ，因此，科氏力仅能改变运动的方向，但不能改变速度的大小，所
14、以科氏力也称为折向力或地转偏向力3）即使做水平方向上的运动，仍有铅直方向上的科氏力分量3738三、大气运动方程 综上，可以得到在旋转 (相对 )坐标系中单位质量空气质点的运动方程为： 3.1839四、Z坐标系中大气运动方程 以上写出的方程是矢量形式，便以理解，但是在具体用于计算时，还需把它按照一定的相对坐标系写出分量的形式。在气象上，相对坐标有好几种，如Z坐标，P坐标，坐标，下面讲述Z坐标中的分量方程40 Z坐标中也称为标准坐标（局地直角平面坐标系），它的坐标原点取在地球表面某一点O处，Z轴与地面垂直，指向天顶为正。x轴与y轴组成的平面与地面相切于O点，令x向东为正，y向北为正，这是一个正交的
15、右手坐标，它是随着地球自转而运动的。41 在Z坐标中，地球自转角速度矢 的三个分量为 可将 写成：其中 依次为x，y，z轴的方向矢风速矢量可以写成：42科氏力可以写成：因此，如果不计摩擦力，那么，相对运动方程在标准坐标系中可以写成x，y，z轴的三个分量如下：43这就是描述旋转地球上大气运动的方程组，以后，将对此方程再做合适的简化，使其能够更深刻地刻划出不同尺度的运动特质44五、地转参数的简化以及平面近似 需要指出的是，由于Z坐标把球面性的地面当作平面，这在应用时是有一定的误差的。在小尺度运动中，误差可以不计，随着运动尺度的增大，误差逐渐增大，为了克服这一缺点，一种办法是用球坐标（后面还要讲），
16、但是比较复杂，所以通常采用另外一种办法，即仍使用Z坐标，而把地面球面性的主要影响，即科氏参数f=（2sin）的变化考虑在内，即45即将f在纬度0处展开成泰勒级数，则有：若令L代表运动的径向水平尺度，则（）式前两项之比为：46 因此，在中纬度地区，若运动的经向水平尺度远小于地球半径时 ，可以取 既把f作为常数处理，这种近似称为 近似。取这种近似相当于完全没有考虑地球球面性所引起的f随纬度的变化。 高一级近似是所谓 平面近似，其主要内容是：（一）当f处于系数地位不被微商时，取： ；（二）当f处于对y求导时，取 为常数。取为常数为何称为平面近似呢？47l如右图，过 处作一平面,l其天顶方向如图。这时
17、 唯一由 决定 ；这时l平面确定后l因此 矢量在此平面上的 为常数。l因此， 相当于把地面取成过 处的平面，所以称其为 平面近似。l采用 平面近似后，用局地直角坐标系讨论大尺度大气运动是方便的，由于球面效应引起的曲率项被忽略了，但球面性引起的f随纬度的变化对大尺度的作用却被部份保留下来。l在低纬赤道地区， ，因而有l这时称为赤道 平面近似，常用l于研究低纬度大气动力学问题0acos20cos常数000fyayf2483.2 连续方程和热力学方程一、连续方程 质量守恒原理是指流体在流动过程中既不会产生也不会消失。对于右图所示的空间某固定处的正六面体，流体通过该六面体的界面流入此区域，也有通过另一
18、界面而流出此区域。该区域内净流入或净流出的质量应该等于该区域增加或者减少的质量基本原理质量守恒原理49 如图所示，在t时间内，经过左侧面流入该六面体的质量为在t 时间内，经过左侧面流入该六面体的质量为 ，经过六面体右侧面流出的质量为将上面两项相减，即，沿x轴方向经过左面流入的与经过右面流出的质量之差为：其中， 为正六面体的体积，以 来表示 ，则上式可以写为：它是沿x轴方向质量的净得50同理：沿y轴方向质量的净得为： 沿z轴方向质量的净得为：将这三个方向净得的质量相加，即为该六面体内总的质量净得：这个净得的质量应该等于在该小六面体的质量的增加而该小六面体的质量的增加为：3.11*3.12*3.1
19、1*与3.12*相等，即得：513.20这就是连续方程上式表明：如果 为负值，那么， 就大于0，就是有质量的增加，因此把 称为质量辐合，反之，把 称为质量辐散。连续方程的其它形式，将3.20式右端展开后，可写成上式开头两项之和即为，因此连续方程也可写成3.19523.19如果流体在运动过程中，密度保持不变，即 ，那么就有：3.13*所以，在质量守恒条件下，密度不变，就意味着容积不变，也就是说是不可压的。所以，3.13*式为不可压流体的连续方程运动是无辐散的。由于大气运动主要是水平的，所以在气象上，通常将上式写成：3.14*其中，称为水平散度，容易证明，它是单位面积的膨胀或收缩率53二、热力学方
20、程 由热力学观点来说，可以认为地球大气是由大小不等的热机所构成的一个系统。例如，可以把整个大气看作是一个在赤道附近受热而在两极附近冷却的热机，也可以把范围小的一些系统如海陆风等看作是一小些的热机。 这些热机的根本动力是太阳辐射能，由于太阳辐射在地球表面上的不均匀分布，形成了冷热源汇的不均匀分布，也就构成了各种不同特征的热机。虽然太阳辐射是大气晕的的主要能量来源，但是它只能决定大气能够运动，而不能决定如何运动。后者还决定于作用在大气上的其它因子，例如地球自转、摩擦、地表面不均匀、水汽的分布以及相变。只是由于这些热力和动力因子的相互作用，才决定了大气的运动状态。54总之，作为热机的大气，它一方面不
21、断地由外界获得能量，另一方面在不短补偿其它各种消耗，由此维持它不停息的运动。所以，大气在运动过程中还要收到能量守恒原理的约束在热力学中，表示能量守恒原理的就是热力学第一定律，也称为热流量方程551、热力学第一定律3.21 其中， 为定容比热， 为大气作为理想流体的内能， 为体积膨胀或收缩作功率，A是热功当量的倒数， 为单位质量的加热率3.21表明：加热作用一部分用于改变温度改变内能，一部分用于做功561、热力学第一定律1* 其中， 为定容比热， 为大气作为理想流体的内能， 为体积膨胀或收缩作功率，A是热功当量的倒数， 为单位质量的加热率1*表明：加热作用一部分用于改变温度改变内能，一部分用于做
22、功以上是大气热流量方程的第一种形式57b）大气热流量方程的第二种形式理想气体的状态方程， 其中 是比容，R是气体常数，R与Cp和Cv的关系式则 可以改写为2*表明：加热可以引起大气的焓或压能的改变其中， 是焓的变化率， 是压能变化率2*58讨论： 在绝热情形下的大气运动（ ）变为：将状态方程代入上式，可得或上式由状态方程（p=1000hpa,T=)积分到任一状态（p，T），可求得绝热运动中P与T的关系式为其中，是大气绝热运动到气压为1000hPa高度上的温度，称为位置温度或位温59对其取对数微分得：变为：则考虑到绝热大气中这表明，在绝热运动中，大气的位温是守恒不变的。60c）大气热流量方程的第
23、三种形式合并 可得到和3*表明：在绝热运动中，熵也是守恒不变，即ds=0。因此，大气的绝热运动，又可称为等熵运动。其中已定义 ，此处S称为大气的熵 。这也是大气热流量方程的一种形式或3*61d）大气热流量方程的第四种形式如果 中的ds仍用 代入，并且将 按照等压面坐标展开（后面讲）， 其可写成 3*式中， ，是静力稳定度参数， ，是p坐标中的垂直速度62e）大气热流量方程的第五种形式5*式中， 为静力稳定度有关的一个参量在p坐标中的可展开成63f）大气热流量方程的第六种形式可得其中 称为位势 ， 为比容利用静力方程，即 或代入其中 仍是与静力稳定度有关的另一个参量64 以上推导出大气热流量方程
24、的六种常用形式，实际上在大气动力学方程组中，热流量方程还可用其他一些形式，此处就不一一列举了。65三、闭合方程组、初始条件和边界条件（1）大气闭合方程组综上所述：我们可以得到下面的方程组：其中，q是比湿，S是水汽源汇，以上7个方程，7个变量（u,v,w,p,T,q),方程组闭合。66说明：热流量方程中 单位质量空气在单位时间内所得到的热量，也称为非绝热加热：主要形式：1）在辐射方面：大气中含有水汽、二氧化碳与臭氧等对于太阳短波的吸收；其次还包括海陆地表对于太阳太阳短波辐射的吸收、同时，大气和海陆地表放出的长波辐射2）在传导和对流方面：由于分子的热传导和对流扩散引起的热量交换67假如空气为绝热变
25、化（短期天气演变可以考虑为绝热变化），即： =0 由于大气运动的复杂性，必须采取合理的简化和假定，才能构成适用于所研究问题的、能够求解闭合的方程组，才能得到合适的解答，这些问题将在以后有关的章节中讲述。68（2）初始条件可见，天气预报是个初值问题。69（2）边界条件 a）下边界条件可分不同的情况来取，对气压有： 若考虑空气黏性，则为： 若不考虑空气黏性，但为平坦地面，则为： 若考虑空气黏性，但为平坦地面，则为：70 若考虑空气黏性，但有地形时（地形函数：）可取为： 它表示空气沿地形运动，下界面的垂直运动系地形强迫所致。这里（us，vs）为下边界的风速。71 b）上边界条件 是指上边界（在z趋于无穷大时的条件），对气压p而言，它随高度z的增加呈指数减小，因而有： ：
