1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY力系力系作用在物体上力的总称（力的集合）作用在物体上力的总称（力的集合）根据力的作用线是否共面可分为：根据力的作用线是否共面可分为：平面力系平面力系空间力系空间力系根据力的作用线是否汇交可分为：根据力的作用线是否汇交可分为：汇交力系汇交力系平行力系平行力系任意力系任意力系CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2-1 汇交力系的合成汇交力系的合成汇交力系：汇交力系：各力的作用线汇交于一点的力系各力的作用线汇交于一点的力系包括包括:平面汇交力系平面汇交力系空间汇交力系空间汇
2、交力系CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY一、力的可传性一、力的可传性 作用于作用于刚体刚体上某点的力，可以沿其作用线移到上某点的力，可以沿其作用线移到刚体刚体内内任意一点，并不改变该力对刚体的作用任意一点，并不改变该力对刚体的作用。AFBAF作用在刚体上力的三要素：作用在刚体上力的三要素：力的大小力的大小方方 向向作作 用用 线线滑移矢量滑移矢量= =CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2-1 汇交力系的合成汇交力系的合成二、合成过程二、合成过程AP1F1P2F2PnFnP3F3AF1F2F3FnRF
3、RF平行四边形法则平行四边形法则汇交力系的合成结果：汇交力系的合成结果：作用于原力系汇交点的一个合力。作用于原力系汇交点的一个合力。合力矢：合力矢：nRRFFFFFF321力多边形法则力多边形法则iRFF或：或：作用点：原力系的汇交点。作用点：原力系的汇交点。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY思考题：思考题：:1.平面汇交力系可合成为平面汇交力系可合成为_个合力个合力,其作用线通过其作
4、用线通过_,其大小和方向可用力多边形的其大小和方向可用力多边形的_表示表示.1力系的汇交点力系的汇交点封闭边封闭边FFFFFFR43211F2F3F4FRF位置图位置图力矢图力矢图CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2.1F2F3F4F1F2F3F4F1F2F3F4F( a)( b)( c)( a)图中四个力的关系为图中四个力的关系为_,其矢量表达式为其矢量表达式为_;( b)图中四个力的关系为图中四个力的关系为_,其矢量表达式为其矢量表达式为_;( c)图中四个力的关系为图中四个力的关系为_,其矢量表达式为其矢量表达式为_;04321FFFF14
5、32FFFF4132FFFFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY受力分析小结：受力分析小结：（1）必须明确研究对象，正确取分离体。）必须明确研究对象，正确取分离体。（2）正确分析约束反力的方位（或方向）。）正确分析约束反力的方位（或方向）。（3）必须画出研究对象上全部受力，包括：主动力和约束反力。）必须画出研究对象上全部受力，包括：主动力和约束反力。每解除一个必须有相应的约束反力代替。每解除一个必须有相应的约束反力代替。 须按须按约束的类型（或性质约束的类型（或性质）确定反力的方位，切忌凭）确定反力的方位，切忌凭直观任意猜想。直观任意猜想。 两物体
6、间的相互作用力须按两物体间的相互作用力须按作用与反作用定律作用与反作用定律分析。分析。 光滑铰链约束反力的三种情况（按铰链约束的性质、二光滑铰链约束反力的三种情况（按铰链约束的性质、二力构件、三力平衡汇交定理分析）。力构件、三力平衡汇交定理分析）。（4）必须明确每个力的施加者。）必须明确每个力的施加者。（5）内力在受力图上不画。）内力在受力图上不画。（6）正确标注各力的符号：）正确标注各力的符号：FA 、 FAx 、 FAyCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影平面力矢的投影平面
7、力矢的投影sincosFFFFyxFxFyxABFOyFxFya1b1a2b2力的投影是力的投影是代数量代数量（只有大小、正负号的量）（只有大小、正负号的量）投影的正负号由投影的正负号由 确定。确定。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY空间力矢的投影空间力矢的投影直接投影法直接投影法coscoscosFFFFFFzyxxyzOF已知力已知力F F 与三个坐标轴的夹与三个坐标轴的夹角分别为角分别为和,二次投影法二次投影法cossinsincossinFFFFFFzyx已知已知、 ，为为F在在xy平面平面内的投影与内的投影与x轴的夹角轴的夹角OyxzF
8、FxyCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY大小大小：222zyxFFFF方向：方向：FFFFFFzyxcos,cos,cos其中其中，,为为F关于关于x、y、z轴的夹角轴的夹角。如果已知一力在直角坐标轴上的投影分别为如果已知一力在直角坐标轴上的投影分别为ZYxFFF，则该力的大小和方向分别为：则该力的大小和方向分别为：OxyzFFxFyFz力的解析表示：力的解析表示：力力F沿坐标轴方向的分力沿坐标轴方向的分力k Fj, Fi,F321xxxFFF因此，力因此，力F的解析表达式为：的解析表达式为：kjiFFFFzyxFFF321OxyzFFxFyFz
9、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY力的投影与分力的关系力的投影与分力的关系力的投影是代数量，只有大小和正负。力的投影是代数量，只有大小和正负。分力是矢量，有大小和方向。分力是矢量，有大小和方向。区别区别联系联系在直角坐标系中，力在直角坐标系中，力F F 沿轴向的分力沿轴向的分力 大小和力的投影的绝对值相等。大小和力的投影的绝对值相等。ZYxFFF,而当坐标轴不相互垂直时，轴向分而当坐标轴不相互垂直时，轴向分力与力的投影在数值上不相等。力与力的投影在数值上不相等。F FxyoCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNO
10、LOGY力在轴上的投影和力沿轴的分量之间的关系力在轴上的投影和力沿轴的分量之间的关系(1)(1)力的投影是代数量，力的分量是矢量力的投影是代数量，力的分量是矢量(2)(2)不论是否为直角坐标系，力的投影都按下式计算：不论是否为直角坐标系，力的投影都按下式计算：cosFFxcosFFy、分别为力分别为力F F与与OxOx、OyOy轴的夹角。轴的夹角。(3)(3)分力分力 应按平行四边形法则计算应按平行四边形法则计算yxF,FCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYOxyxyOxFyFabyFxFxFyFbaCHINA UNIVERSITY OF MINI
11、NG AND TECHNOLOGYF nF3F2F1AnA2A1A3in21RFFFFF两边向坐标轴投影得：两边向坐标轴投影得：zznzzRzyynyyRyxxnxxRxFFFFFFFFFFFFFFF212121合力在坐标轴上投影合力在坐标轴上投影CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY合力投影定理合力投影定理 合力在任一坐标轴上的投影等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。1F2F3F4FR1F2F3F4FRABCDEabcdedecdacaedecdbabcdecdbcab+=CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNO
12、LOGY例：例：ijk已知：已知：F1=12k， F2=4j， F3=3i (力的单位为N）。各力作用点的坐标为：O（0，0，0），A（0，a，0），B（b1，b2，0)（ b2=0）。求：该力系的主矢量大小与方向。 解：解：主矢量的模：主矢量的模：N13)()()(222ziyixiRFFFF主矢量的方向：主矢量的方向：133),cos(RxRFFiF134),cos(RyRFFjF1312),cos(RzRFFkFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 根据合力投影定理，得合力在轴根据合力投影定理，得合力在轴x，y上的投影分别为：上的投影分别为：
13、60453045CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY656.0cos754.0cosRRRRFFFFyx合力的大小：合力的大小：合力与轴合力与轴x，y夹角的方向余弦为：夹角的方向余弦为：所以，合力与轴所以，合力与轴x，y的夹角分别为：的夹角分别为：60F245F430F1xyO45F3CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例已知已知：F、，试求：Fx、Fy、Fz。解：解：xFyFzFcosFsinFcossinFsinCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY0R
14、FF1F2F3FnRFP1F1P2F2PnFnP3F3F4F4F1F2F3Fn力多边形力多边形平衡平衡)合成的力多边形合成的力多边形A刚体在某力系作用下维持平衡状态，该力系各力应满足的条件刚体在某力系作用下维持平衡状态，该力系各力应满足的条件CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 已知：已知：P，a 求求：A、B处约束反力。处约束反力。 PABCD FB FA P FBFAPPFB5 . 0tanPFPFBA2522CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解析条件：解析条件：RF222)()()(zyxFFF
15、合力的大小：合力的大小：000zyxFFF力系中各力在直角坐标系每一轴上的投影代数和都等于零。力系中各力在直角坐标系每一轴上的投影代数和都等于零。特别地：特别地：平面汇交力系：平面汇交力系： 0zF平衡方程：平衡方程：= =0 000yxFFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 已知：已知：P，a 求：求：A、B处约束反力。处约束反力。 PABCD FBxy0sin, 00cos, 0AByAxFFFFPF解上述方程，得解上述方程，得 FAPFPFBA21,25CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三、平
16、衡问题的解法 基本步骤：1.选取研究对象 2.进行受力分析 3.由平衡方程求解未知量注:1.应用平面汇交平衡的解析条件可以求解两个未知量。2.解题时，未知力的指向可先假设，若计算结果为正值， 则表示所设指向与力的实际指向相同；3.选坐标轴以投影方便为原则；4.注意投影的正负和大小计算；CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例 已知：系统如图，重力P=20kN，用钢丝绳挂在铰车D计滑轮B上。A、B、C处为光滑铰链连接。不计杆、轮自重，忽略摩擦和滑轮大小 ，试求平衡时杆AB和BC所受的力 。解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B（或点B），画受力图。用解
17、析法，建图示坐标系0ixF030cos60cos21FFFBA060cos30cos21FFFBC0iyFkN32.27BCFPFF21kN321. 7BAFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY简易起重装置。已知：起吊重物的重量为简易起重装置。已知：起吊重物的重量为P=2kN，杆杆AB处于水平位处于水平位置，其余几何关系如图，不计滑轮尺寸。试求重物匀速提升时杆置，其余几何关系如图，不计滑轮尺寸。试求重物匀速提升时杆AB和和AC的受力。的受力。xyFPFACFAB解解:一、解析法一、解析法（1）适当选取研究对象）适当选取研究对象 滑轮滑轮A连同重物连
18、同重物（2）受力分析）受力分析:（3）建立适当的坐标系）建立适当的坐标系: Axy；（4）列平衡方程求解）列平衡方程求解, 0 xiF030sin30cosFFFACAB, 0yiF030cos30sinPFFAC由（由（2）式可求得）式可求得30sin30cos1PFACkN464. 7xyCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY再由（再由（1）式可求得）式可求得kN464. 530sin230cos)464. 7(30sin30cosPFFACAB二、几何法二、几何法（1）适当选取研究对象）适当选取研究对象（2）受力分析）受力分析:（3）取一适当的
19、比例尺，作平衡的力多边形）取一适当的比例尺，作平衡的力多边形作力多边形的顺序：先主动，后约束反力。作力多边形的顺序：先主动，后约束反力。按力多边形首尾相接、自行封闭的条件确定未知反力的指向。按力多边形首尾相接、自行封闭的条件确定未知反力的指向。（4）按比例尺量取未知力的大小。）按比例尺量取未知力的大小。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYPFACFABF3030量得：量得：1kNkN45. 7kN45. 5ACABFF对于二力杆需说明：其拉压性质。杆对于二力杆需说明：其拉压性质。杆AB受拉，杆受拉，杆AC受压。受压。FPFACFABCHINA UN
20、IVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY图示刚架，在图示刚架，在B点受一水平力点受一水平力P作用。作用。P=20kN，刚架重量不计。求刚架重量不计。求A、D处的约束反力。处的约束反力。PFAFAxFAyFD解：解：一、解析法一、解析法(1)取刚架为研究对象；取刚架为研究对象；(2)受力分析如图（平面汇交力系）；受力分析如图（平面汇交力系）；(3)建立图示坐标系；建立图示坐标系；, 0 xiF0cosAFPkN4 .2254/420cosPFA, 0yiF0sinADFFkN1084tansincossinPPPFFAD(4)列平衡方程求解；列平衡方程求解；xyCHIN
21、A UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、几何法二、几何法作平衡的力多边形：作平衡的力多边形：由三角关系得：由三角关系得：kN4 .22cosPFAkN10tanPFDFAFDPPFAFDCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY思考题思考题:1.平面汇交力系可合成为平面汇交力系可合成为_个合力个合力,其作用线通过其作用线通过_,其大小和方向可用力多边形的其大小和方向可用力多边形的_表示表示.2.力在正交坐标轴上的投影的大小与力沿这两个轴的分力的大小力在正交坐标轴上的投影的大小与力沿这两个轴的分力的大小_;力在互不垂直
22、的两个轴上的投影的大小与力沿这两个轴力在互不垂直的两个轴上的投影的大小与力沿这两个轴的分力的大小的分力的大小_.3.平面汇交力系平衡的充要条件平面汇交力系平衡的充要条件_.1力系的汇交点力系的汇交点封闭边封闭边相等相等不相等不相等力系的合力为零力系的合力为零CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY4.平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件_;平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件_.5.平面汇交力系有平面汇交力系有_个独立的平衡方程个独立的平衡方程,可求解可求解_个未知量个未知量.力多边形自行封闭边力多边形自行封闭边0 xF
23、0yF22CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY5.1F2F3F4F1F2F3F4F1F2F3F4F( a)( b)( c)( a)图中四个力的关系为图中四个力的关系为_,其矢量表达式为其矢量表达式为_;( b)图中四个力的关系为图中四个力的关系为_,其矢量表达式为其矢量表达式为_;( c)图中四个力的关系为图中四个力的关系为_,其矢量表达式为其矢量表达式为_;04321FFFF1432FFFF4132FFFFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 如图轧路碾子自重如图轧路碾子自重G = 20 kN，半径，
24、半径 R = 0.6 m，障碍物高，障碍物高h = 0.08 m碾子中心碾子中心O处作用处作用一水平拉力一水平拉力F，试求，试求: (1)当水平拉力当水平拉力F = 5 kN时，碾子对地面和障碍物的压力；时，碾子对地面和障碍物的压力；(2)欲将碾欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为为多大。多大。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 1. 选碾子为研究对象，受力分析如图选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。所示。再由力多边形图再
25、由力多边形图c 中各矢量的中各矢量的几何关系可得几何关系可得解得解得F 2. 画力的多边形画力的多边形CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY3. 碾子能越过障碍的力学条件是碾子能越过障碍的力学条件是得封闭力三角形得封闭力三角形abc4. 拉动碾子的最小力为拉动碾子的最小力为由此可得由此可得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY重量为重量为P的球用绳索挂在两互相垂直的墙角处，绳子与铅垂方向成角的球用绳索挂在两互相垂直的墙角处，绳子与铅垂方向成角 不计球与墙间的摩擦。试求绳子的拉力与墙作用于球的反力。不计球与墙
26、间的摩擦。试求绳子的拉力与墙作用于球的反力。30解：解：取球为研究对象；取球为研究对象；, 0ziF0cos PFDPPFD155. 1cos, 0 xiF045sinsinDAFFPPPFFDA4082. 045sin30tan45sinsincos45sinsin, 0yiF045cossinDBFFFDFAFBCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYPPPFFDB4082. 045cos30tan45cossincos45cossinCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：简易压榨机。汽缸活塞给水
27、平推杆的力为简易压榨机。汽缸活塞给水平推杆的力为P，几何关系如图。几何关系如图。试求托板给被压物体的力。试求托板给被压物体的力。解：解：此题为此题为物体物体 系统系统问题问题 如何选取研究对象？如何选取研究对象？分析过程：分析过程：从所求力所在构件开始，按力传递顺从所求力所在构件开始，按力传递顺序，逐个选取研究对象，直到主动力所在构件序，逐个选取研究对象，直到主动力所在构件F2F11FF3FBBFABFACFCFAcFABF物块物块 托板托板 杆杆AB 铰链铰链ACHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY（1）铰链）铰链A, 0 xiF02sincosA
28、BFPsinPFAB（2）托板）托板B, 0yiF, 0cos1BFF11cotcossincoscosFPPFFFABBAcF ABF 1FFBF3CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY平衡问题求解小结平衡问题求解小结（1）选取合适的研究对象。）选取合适的研究对象。由所求量情况确定所取研究对象，并画出分离体图；由所求量情况确定所取研究对象，并画出分离体图；二力杆不作为研究对象；二力杆不作为研究对象；物体系统研究对象的选取顺序。物体系统研究对象的选取顺序。（2）正确受力分析。）正确受力分析。 画出研究对象上所有力（主动力、约束反力）；画出研究对象上所
29、有力（主动力、约束反力）； 按约束的类型（或性质）分析约束反力；按约束的类型（或性质）分析约束反力； 物体间的相互作用力须按作用与反作用定律分析物体间的相互作用力须按作用与反作用定律分析CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY（3）选择适当的投影坐标系。）选择适当的投影坐标系。投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直（4）列平衡方程求解）列平衡方程求解。注意力矢的空间几何关系；注意力矢的空间几何关系； 力的投影的计算与正负确定。力的投影的计算与正负确定。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND T
30、ECHNOLOGY内容小结：内容小结：汇交力系：汇交力系：合成结果：合成结果：作用于汇交点的合力作用于汇交点的合力iRRFFF几何法：作合成的力多边形几何法：作合成的力多边形解析法：解析法：平衡条件：平衡条件：几何条件：力多边形自行封闭，首尾相接。几何条件：力多边形自行封闭，首尾相接。解析条件：解析条件：000ziyixiFFF平面汇交力系平面汇交力系00yixiFFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY内容回顾内容回顾:1.力在正交坐标轴上的投影的大小与力沿这两个轴的分力的大小力在正交坐标轴上的投影的大小与力沿这两个轴的分力的大小_;力在互不垂直的两个轴上的投影的大小与力沿这两个轴力在互不垂直的两个轴上的投影的大小与力沿这两个轴的分力的大小的分力的大小_.2.平面汇交力系平衡的充要条件平面汇交力系平衡的充要条件_.相等相等不相等不相等力系的合力为零力系的合力为零3.平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件_;平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件_.力多边形自行封闭边力多边形自行封闭边0 xF0yF224.平面汇交力系有平面汇交力系有_个独立的平衡方程个独立的平衡方程,可求解可求解_个未知量个未知量.CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
