1、YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率1s对于不同的曲线对于不同的曲线, 其弯曲程度一般不同其弯曲程度一般不同. 例如：例如：ABBA12.ABA BssAB2B A一、曲率的定义一、曲率的定义 YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率AABBoss.ss相同 曲线的弯曲程度与其曲线的弯曲程度与其切线方向变化的夹角切线方向变化的夹角 的大小及其弧长的大小及其弧长 有关有关.s结论：结论：YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率yxoA将将sKBs任意弧段任意弧段 AB = = R ， 有有s1.KsRR称为曲线段称
2、为曲线段 AB 的的平均曲率平均曲率，它，它刻画了一段曲线的平均弯曲程度刻画了一段曲线的平均弯曲程度. OABR 对于半径为对于半径为R的圆，的圆，YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率, 0sK对于直线对于直线, 其切线方向不变其切线方向不变, 即即 , 有有0 曲线在曲线在 A 点的点的曲率曲率为为0lim.sdKdss 其中其中 为点为点A及其邻点及其邻点B之间弧长之间弧长, 为为AB上切线上切线方向变化的角度方向变化的角度. 曲率刻画了曲线在一点的弯曲程度曲率刻画了曲线在一点的弯曲程度.s.故“直线不曲”YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平
3、面曲线的曲率x yox),(yyxxNxx),(yxMAyxsM如图，设曲线的弧长如图，设曲线的弧长s 由点由点 A 起算起算. 任取任取MN = ，有，有由此由此s222,MNxy .122xyxMN当当 充分小时，在一些假定之下充分小时，在一些假定之下( 如如曲线有连续导数曲线有连续导数 )，x二、弧长的微分二、弧长的微分dsYunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率，得，再令代替，用0 xMNMNMNMN,)(1)(22dxdydxds从而即得从而即得 弧长微分的公式弧长微分的公式21,dsydx 或或22222.dsdxdydsdxdy , YunnanUniv
4、ersity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率连续，则在，弧的方程为,)()(baxfbxaxfy21( ).dsfx dx ，则连续，且不全为在与，弧的方程为0,)()()()(ttttytx22( )( ).dstt dt 则连续在极坐标方程弧的方程为,)(),)()(22.( )( )dsd 关于关于 的具体表示式：的具体表示式：dsYunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率三、曲率的计算三、曲率的计算先计算先计算 , 考虑曲线考虑曲线 在在 M 点的切线点的切线, 有有 d,tany.arctan.yei两边求微分，得两边求微分，得.1122dxyyyydd d
5、dsdKds把和代入中得曲率的计算公式：322.(1)yKy)(xfy YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率( ),( ),xtyt参数方程3222( ),( )()ttK ( ), 极坐标方程223222, ( ).2()K YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率四、曲率半径与曲率圆四、曲率半径与曲率圆对半径为对半径为 R 的圆的圆,.1,1KRRKDef : 曲线上一点的曲率的倒数称为曲线在该点的曲线上一点的曲率的倒数称为曲线在该点的 曲率半径，记作曲率半径，记作1.KAAoYunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲
6、线的曲率曲率圆与曲线在曲率圆与曲线在A A点具有以下关系点具有以下关系: : 有共同的切线，即圆与曲线在点有共同的切线，即圆与曲线在点 A 相切；相切； 有相同的曲率；有相同的曲率； 圆和曲线在点圆和曲线在点 A 具有相同的一阶和二阶导数具有相同的一阶和二阶导数. 讨论讨论 y = f (x) 在某点在某点 x 的性质时，若此性质仅的性质时，若此性质仅与与 x , y , 有关，则只要讨论曲线在有关，则只要讨论曲线在 x 点的曲率圆点的曲率圆的性质，即可知这曲线在的性质，即可知这曲线在 x 点附近的性质点附近的性质.yy ,YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率例例
7、1. 求抛物线求抛物线 上任一点处的曲率和曲率半径上任一点处的曲率和曲率半径.2xy 解：解：.2,2 yxymaxmin1(0,0),2,.2K在点(|),x自原点逐渐上升 增大,)41(22/32xK2xy 随着曲线.2)41(12/32xK.逐渐增大逐渐减小，KxyO1O2O2yxAYunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率,41)0()0(2min2020yx故处又在, 2, 0,)0 , 0( yy法线： x = 0 .切线：y = 0 ,000(,),0,xyx 而圆心在法线上 故.41)21(22 yx点处的曲率圆方程：在于是)0 , 0(,2xy ).2
8、1(2100yy舍求求 的最小曲率半径时的曲率圆的方程的最小曲率半径时的曲率圆的方程.2yx则设曲率圆圆心),(00yxYunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率,()1.RR火车转弯时,为使火车能平稳地转过弯去必须将外轨垫高.铁轨由直道转入圆弧弯道时设半径为,外轨的弯曲有一个跳跃,会导致接头处的曲率突然改变,容易发生事故. 为了行驶平稳,往往在直道和弯道之间接入一段缓冲段,使曲率连续地由零过渡到例例2. 2. 铁道的弯道分析铁道的弯道分析YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的
9、的曲曲率率近近似似为为时时，在在终终端端很很小小并并且且当当为为零零的的曲曲率率在在始始端端的的长长度度，验验证证缓缓冲冲段段为为，其其中中缓缓冲冲段段作作为为，通通常常用用三三次次抛抛物物线线 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xClBYunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率xyoR),(00yxA)0 ,(0 xC证明证明: : 如图如图0 x 表示直线轨道，,.OAAB是缓冲段是圆弧轨道在缓冲段上在缓冲段上,212xRly .1xRly , 0, 0,0 yyx处处在在. 00 k故故缓缓冲冲始始点点的的曲曲率率根据实际要求根据实际要求,0 xl lBYun
10、nanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率20210 xRlyxx 有有221lRl ,2Rl 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的的曲曲率率为为故故在在终终端端 A0232)1(xxAyyk 2322)41(1RlR , 1Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次项略去二次项xyoR),(00yxA)0 ,(0 xClBYunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率例例3 3xyoQP.,.70,/400,)(40002压力压力飞行员对座椅的飞行员对座椅的到原点时到原点时求俯冲求俯冲千克千克飞行员体重飞行员体重秒秒米米处速度为处速度为点点在原在原俯
11、冲飞行俯冲飞行单位为米单位为米飞机沿抛物线飞机沿抛物线 vOxy解解如图如图,受力分析受力分析,PQF 视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,.2 mvF O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率为得曲率为.200010 xxk曲率半径为曲率半径为.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千克千克牛牛 ),(4 .571)(70千克力千克力千克力千克力 Q).(5 .641千克力千克力 即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641.5千克力千克力.YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率 运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学研究曲线和曲面的性质的数学分支分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).四、小结四、小结
