1、误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础测绘工程学院 鲍建宽第第4 4章章 平差数学模型平差数学模型 与最小二乘原理与最小二乘原理 测量平差测量平差求平差值求平差值精度评定精度评定评定指标？评定指标？建立数学模型建立数学模型如何求这些指标？如何求这些指标？定义求定义求广义传播律广义传播律单位权方差、单位权方差、对应权倒数对应权倒数方差（阵）、方差（阵）、权（协因数阵）权（协因数阵）数学模型解算数学模型解算第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理本章教学内容本章教学内容4-1 4-1 测量平差概述测量平差概述 4-2 4-2 函数模型函数模型 4-3 4-3 函数模型
2、的线性化函数模型的线性化 4-4 4-4 测量平差的数学模型测量平差的数学模型 4-5 4-5 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理 4-64-6 综合练习题综合练习题 要求：要求： 掌握各类控制网必要元素的数目掌握各类控制网必要元素的数目与类型和多余元素数的计算方法；平与类型和多余元素数的计算方法；平差数学模型的概念、最小二乘原理及差数学模型的概念、最小二乘原理及其应用其应用 重点：重点： 必要起算数据、必要观测个数必要起算数据、必要观测个数的确定；平差的数学模型及其线性的确定；平差的数学模型及其线性化方法；最小二乘法化方法；最小二乘法 第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学
3、模型与最小二乘原理4-1 4-1 测量平差概述测量平差概述 测量的目的：确定某些几何量的大小测量的目的：确定某些几何量的大小 确定相应的几何模型确定相应的几何模型*注* 确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其它元素可以通过它们来确定。一、确定模型的必要元素一、确定模型的必要元素、必要元素（量）、必要元素（量）：能够唯一确定一个几何模型所必须知道的元素。其个数用tm表示必要元素的获取途径：本次测量值、往次测量成果 *注*例1：确定三角形形状与大小，只需知道其中任意的两角一边、两边一角或三边三个量就可以了 。必要元素的个数tm只取决于模型本身
4、，个数与类型所有的必要元素都是彼此函数独立的量，不能互替模型中所有的量都是必要元素的函数模型中作为必要元素的“量”不是唯一的3 3、必要起算元素或配置元素：、必要起算元素或配置元素：在唯一确定一个几何模型的tm个必要元素中，不能通过本次测量作业测定的量。其数目用t0表示。可见有： tm t t0 2 2、必要观测量（元素）：、必要观测量（元素）：为了能够唯一确定一个几何模型所必须测量的元素。其个数用t表示，称为必要观测个数。 *注*必要观测量的类型，与测量技术与设备有关。在同一模型中，有些量当前测量不了例2确定三角形形状和大小， tm3，如果只测角度，则t=2, t0 =1：若只测边， t=，
5、 t0 =4 4、多余观测元素、多余观测元素( (量量) )：为及时发现测量中的错误，除必要观测量外还要观测的其它量。其个数用r表示，称为多余观测个数5 5、观测值总数、观测值总数用n表示, r=n-t 在一个几何模型中， 除tm 个独立量外，若再增加一个量，在必然要产生一个相应的函数关系式。如（例）中增加为3个角度，则条件方程条件方程4-1 4-1 测量平差概述测量平差概述二、多余观测与条件方程二、多余观测与条件方程 *注* 一个几何模型中， 如果有r()个多余观测，就产生r个条件方程。可见，在列条件方程前，先确定必要观测数 t tmt0 111222333,LLLLLL 由于观测值不可避免
6、地存在观测误差，由观测值组成上述条件方程必不能满足，即o1231800LLLW造成条件方程不闭合，或者说存在闭合差。由于则有112233()()()180LLL1230W 条件方程条件方程求出一组真误差(改正数)，消除闭合差平差平差4-1 4-1 测量平差概述测量平差概述三、常用测量控制网必要观测个数的确定三、常用测量控制网必要观测个数的确定 1测站方向观测目的：确定各个目标的方向（方位）观测值（量）：角度必要起算元素：一边的方位角t0 =1 * 若没有已知方位角，可以假设一边的方位角 必要观测值个数：t= tmt0 =总方向数1（多余的起算元素个数）2.(2.(平面平面) )测角三角网测角三
7、角网v目的：确定网中各点在坐标系中的坐标v观测值(量)：网中各内角的角度v必要起算元素：一点坐标、一边方位和边长， 等价于两点坐标。t0 =4 * 若没有已知点和已知方位，可以假设v必要观测数：t= 2(总点数2)多余的起算元素个数“”表示坐标为已知的固定点；“ O”表示待定点;双线表示已知边，虚线表示没观测 3.(3.(平面平面) )测边三角网测边三角网v目的：确定网中各点的坐标v观测值(量)：网中各点间距离v必要起算元素：一点坐标、一边方位，t0 =3 * 若没有已知点和已知方位，可以假设v必要观测值个数：t= 2总点数3 多余的起算元素个数4.(平面)边角三角网v目的：确定网中各点的坐标
8、v观测值(量)：网中的角度和边长v必要起算元素：一点坐标、一边方位，t0 =3 若没有已知点，可以假设一点坐标、一边方位v必要观测值个数：t= 2总点数3 多余的起算元素个数5高程控制网（水准网）v 目的：确定网中各点的高程v观测值(量)：网中两点间的高差v必要起算元素：一点的高程，t0 =1 * 若没有已知点，可以假设一点的高程v必要观测值个数：t= 总点数1 多余的起算元素个数“ ”表示坐标为已知的固定点；“O”表示待定点;箭头表示观测方向 常用控制网的必要起算数据个数与类型常用控制网的必要起算数据个数与类型控制网必要元素个数必要起算数据个数与类型(确定网的位置、方向、尺度）水准网点数t0
9、=1 一个点的高程测角三角网点数2t0=4一个点的坐标、一边边长和方位角 两个已知点测边三角网点数2t0=3一个点的坐标、一边方位角边角三角网点数2t0=3一个点的坐标、一边方位角据起算数据情况，把控制网分为：自由控制网：不足或仅有必要的起算数据附和控制网：有多余的起算数据4-1 4-1 测量平差概述测量平差概述四、计算四、计算t和和r的例题的例题 1 1水准网水准网2. 2.测角网测角网ABCD12345678(a)ABC198623475D(b)多余观测个数：r =n - t 当 n t 时，不能确定平差问题的模型 n = t 时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知 n t 时，有多余观测
10、，因观测误差使观测值间产 生矛盾，使模型出现多解。 通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一最优解。五、多余观测与平差的关系五、多余观测与平差的关系 4-2 4-2 测量平差的数学模型测量平差的数学模型平差数学模型包括：平差数学模型包括： 函数模型函数模型和和随机模型随机模型两个部分。两个部分。函数模型函数模型是指模型是指模型( (几何、物理几何、物理) )中量中量( (观测量、未知参数观测量、未知参数) )的的真值真值( (或期望值或期望值) )之间的函数关系式。之间的函数关系式。随机模型随机模型是指描述观测值的先验精度及其相关性的特是指描述观测值的先验
11、精度及其相关性的特征。常用观测值的征。常用观测值的方差阵方差阵或或协因数阵协因数阵或或权阵权阵表示。表示。 函数关系式有线性非线性之分； 线性函数模型与非线性函数模型(线性化后处理)。一、函数模型一、函数模型1. .条件平差条件平差的函数模型的函数模型3,2,1ntr条件方程1230W 01231800LLL一般的：一般的：一、函数模型一、函数模型1. .条件平差条件平差的函数模型的函数模型 若有平差问题，观测向量为L、权阵为P，其中必要观测个数为t个，多余观测个数为r=nt，则产生r个条件式： 值得注意值得注意：条件方程的个数等于多余观测数条件方程的个数等于多余观测数r r各条件式之间必需是
12、线性无关的（独立）各条件式之间必需是线性无关的（独立）一个平差问题中一个平差问题中, ,条件形式不唯一条件形式不唯一, ,选取形式最简为易。选取形式最简为易。01( )00r n nF LA LA%线性形式00AWWALA，闭合差闭合差t=2，选2个参数，这两个参数可以确定模型。函数模型：1X2X一、函数模型一、函数模型2. .间接平差间接平差( (参数平差参数平差) )的函数模型的函数模型11220312180LXLXLXX 一般的：一般的： 选择t个函数独立的参数： ，这些参数刚好能够确定模型。则函数模型为： 12(,)tXXX1()nLF X线性情况下111nn t tnLB Xd111
13、111()nn t tnnnnB XlldL 一、函数模型一、函数模型2. .间接平差间接平差( (参数平差参数平差) )的函数模型的函数模型一、函数模型一、函数模型3. .附有参数的条件平差附有参数的条件平差的函数模型的函数模型X3,2,1,1ntru条件方程个数r+u=c个12310cWXW 0123118000LLLLX一般的：一般的： 在具体平差问题中,观测次数n，必要观测次数t，则多余观测次数r,再增加u个独立参数,且 0 u t ，则总共有r +u = c个条件方程，一般形式是：线性情况下011110c n nc u uccA LB XA11110c n nc u uccAB XW
14、1 ( ,)0cF L X一、函数模型一、函数模型3. .附有参数的条件平差附有参数的条件平差的函数模型的函数模型4 4、附有限制条件的间接平差法附有限制条件的间接平差法的函数模型的函数模型 选择u个参数： ，u t，且包含t个函数独立的参数。则多选择的s =ut 个参数必然是 t个独立参数的函数，亦即u 个参数之间存在s 个函数关系 。函数模型为： 12(,)uXXX1111()()0nusuLF XX线性形式是 11101110nn u unus ussLB XdC XCo1111o001111()0()nn u unnxus usssB XllBXdLLLC XCWCXC 选择u个参数：
15、 ，其中有s个不独立参数，且不包含t个函数独立的参数。则u 个参数之间存在s 个函数关系 。函数模型为：12(,)uXXX111 ( ,)0()0csuF L XX线性形式01111011100c n nc u uccus ussA LB XAC XC0111101110()0c n nc u uccus ussAB XWWALBXAC XC5 5、附有限制条件的条件平差法附有限制条件的条件平差法模型模型4-2 4-2 测量平差的数学模型测量平差的数学模型平差数学模型包括：平差数学模型包括： 函数模型函数模型和和随机模型随机模型两个部分。两个部分。函数模型函数模型是指模型是指模型( (几何、物
16、理几何、物理) )中量中量( (观测量、未知参数观测量、未知参数) )的的真值真值( (或期望值或期望值) )之间的函数关系式。之间的函数关系式。随机模型随机模型是指描述观测值的先验精度及其相关性的特是指描述观测值的先验精度及其相关性的特征。常用观测值的征。常用观测值的方差阵方差阵或或协因数阵协因数阵或或权阵权阵表示。表示。 函数关系式有线性非线性之分； 线性函数模型与非线性函数模型(线性化后处理)。设有函数 1111(,)ccnuFF L X设0XXxLL同时有 由于 和是微小量。对非线性函数进行Talay展开，只保留一阶项，于是有： x0000,(,)( ,)L XL XFFFF LXxF
17、 L XxLX若令4-3 4-3 函数模型的线性化函数模型的线性化00,212221211111,XLncccnnXLncLFLFLFLFLFLFLFLFLFLFA00,212221212111,XLucccuuXLucXFXFXFXFXFXFXFXFXFXFB则函数F 的线性形式是：0111( ,)cc n nc u uFF L XAB x线性化方法：把L和X0代入式子算出常数项，再加微分。 平差的最终目的都是对参数 和观测量 （或）作出某种估计，并评定其精度。X一、参数估计及其最优性质4-4 4-4 最小二乘原理最小二乘原理L 设有参数 ，其真值为 、估计值为 。最优估计量具有的性质：无偏
18、性无偏性( )E则称 为 的无偏估计量。一致性1)(limPn则称 为 的一致估计量。n为子样容量, 任意小正数2( )0lim() 0nEE则称 为 的严格一致估计量。有效性如果两个无偏估计量 和 ，满足1212( )()DD则称 比 有效。12( )minD则 为 的最有效估计量，称为最优估计量。具有无偏性、最优性的估计量必然是一致性估计量4-4 4-4 最小二乘原理最小二乘原理二、最小二乘法1230W 01231800LLL例求一组最优解，满足2( )0,minE 观测值的残差，改正数观测值的平差值1230vvvW,VLVL 最小二乘法的表达式 同精度独立最小二乘法： 2minTiV Vv2minTi iV PVpv加权最小二乘法：PminTVV 广义最小二乘法：练习题1 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素就是必要观测元 素吗？为什么？2 平差问题存在的条件是什么?3 为什么要进行多余观测？4 水准网、测角三角网、测边三角网、边角网的必要起算数据 个数分别是几个？都分别是什么量？5 写出每种平差方法的函数模型及数学模型。6 测量平差的函数模型和随机模型分别表示那些量之间的什么 关系？7 最小二乘法的一般表达式？8 确定下图控制网中的必要观测个数t
