1、sF解解: : 由物理知由物理知, 与位移平行的与位移平行的分力作功分力作功, 与位移垂直的与位移垂直的分力不作功分力不作功. 于是于是第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积一、两向量的数量积一、两向量的数量积 (Scalar Product)SFW cos例如例如: 设力设力 F 作用于某物体上作用于某物体上, 物体有一段位移物体有一段位移 S , 求功的表示式求功的表示式.cos SF ab 结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积向量在这向量的方向上的投影的乘积. .向向量量a与与b的的
2、数数量量积积为为ba cos|baba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义,Prjcos|bba ,Prjcos|aab abbabPrj| .Prj|baa 0数量积是一个实数数量积是一个实数。数量积也。数量积也记作记作ba或或),(ba称为称为“点积点积”、“内积内积”. .1.1.数量积的定义数量积的定义关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证. aaa 即即)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos . ba 即即，2|)1(aaa )(,ba ,0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa ,2 ,2 0)2( ba.ba (1) 交换
3、律交换律(2) 结合律结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac2. 数量积的运算规律数量积的运算规律利用向量证明三角形的余弦定理利用向量证明三角形的余弦定理例例1 1证证ab c.cos2222 abbac , bac 由于由于)()( 2babaccc babbaa 2， cos222baba .cos2222 abbac 3. 数量
4、积的坐标表达式数量积的坐标表达式,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 在直角坐标系下，在直角坐标系下， cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 4. 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为 解ba )1(2)4()2(111 .9 222222cos)2(zyxz
5、yxzzyyxxbbbaaabababa ,21 .43 )2,2, 1 (,)4, 1, 1 (baba ba已知 例例2 2, 求;(2)(1) 与的夹角. 二、两向量的向量积二、两向量的向量积 (Vector Product)先研究物体转动时产生的力矩先研究物体转动时产生的力矩LFPQO 设设 O 为为一一根根杠杠杆杆 L 的的支支点点， 有有一一力力 F 作作用用于于这这杠杠杆杆上上 P 点点处处力力 F 与与 OP 的的夹夹角角为为 ，力力 F 对对支支点点 O 的的力力矩矩是是一一向向量量 M，它它的的模模 |FOQM sin| |FOP M 的的方向方向: 垂直于垂直于OP与与F
6、 所在的平所在的平面面, 指向使指向使OP、F与与M 满足满足右手规则右手规则.定义定义向向量量a与与b的的向向量量积积 bac 规规定定为为 sin|)1bacc 的的模模大大小小：(其其中中 为为a与与b的的夹夹角角) 2)2)方向方向：c的方向同时垂直于的方向同时垂直于 a和和b， 即垂直于， 即垂直于a, ,b所决定的平所决定的平面面, ,a, ,b和和ba 成右手系成右手系. . 向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”. .bac ab向量积是一个向量向量积是一个向量1.1.向量积的定义向量积的定义 （1 1）两向量的向量积的两向量的向量积的几何意义几何意义 : (i)
7、(i) 表示以表示以 和和 为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积 . . |ba ab sin|baba ha |ab sin|bh sin|bh 其中其中 (ii) (ii) a b 的方向与一切既平行于的方向与一切既平行于 a 又平行于又平行于 b 的的平面相垂直平面相垂直 . .（2 2）0 ba 当当且且仅仅当当 ba/. . （3 3）0 aa )(,0 ba,0| a,0| b,0sin ,0 )(.0sin .0sin| baba证证ba/ba/ 或或0 证毕证毕两个非零向量共线两个非零向量共线它们的向量积它们的向量积0 0向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规
8、律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa )()(baba bbbaabaa .2ba 例例3 32. 向量积的运算规律向量积的运算规律bac ab例例4 4 设向量设向量 不共线，若向量不共线，若向量3 +k与与+27k求求k的值的值. .共线，共线，解解: :(3 +27kk 0, , 即即23+81+27kk 0由于由于 0，, , 所以所以2(81)k 09 k 0, , 故故由于由于例例5 5证明证明: :222() +| 并由此证明关于三角形面积的海伦并由此证明关于三角形面积的海伦(Heron)(Hero
9、n)公式：公式：2= ()()(),Ss sa sb sc其中其中 a, b, c 是三角形的三边长，是三角形的三边长，s 是周长的一半，是周长的一半，S 表示面积表示面积. .,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( ijk向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示.zyxzyxbbbaaakjiba bakbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()(
10、)( 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量. bac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj例例6 6解解在在顶顶点点为为)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的的三三角角形形中中，求求AC边边上上的的高高BD. ABCD)3, 4 , 0(AC)0 , 5, 4( AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD .5| BD例例7 7解解三、向量的混合积三、向量
11、的混合积 定义定义或或).,(cba混合积是一个实数混合积是一个实数设已知三个向量设已知三个向量 ，先作向量，先作向量 的向量积的向量积cba, baba，把所得到的向量与第三个向量，把所得到的向量与第三个向量c再作数量积再作数量积cba)(，这样得到的数量叫做三向量，这样得到的数量叫做三向量cba,的混合积的混合积. . 记作记作,cba1. 混合积的定义混合积的定义 2. 2. 向量混合积的几何意义向量混合积的几何意义为棱作平行六面体为棱作平行六面体, ,高高h故平行六面体体积为故平行六面体体积为hAV cos,Abacba,以则其底面积则其底面积cosbaccba)(c),(cbabac
12、ba混合积混合积),(cba表示以表示以cba,平行六面体的平行六面体的有向体积有向体积. .为棱的为棱的zyxzyxbbbaaaxcyczckji设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa ),(cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc3. 3. 向量混合积的坐标表达式向量混合积的坐标表达式cbacba)(),(zyxzyxzyxcccbbbaaa 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式),() 1 (cbacba )(acb )(.)(bac 4
13、. 4. 混合积的性质混合积的性质(可用三阶行列式推出可用三阶行列式推出),(),()2(cabcba),(),(),(),()3(cbakckbacbkacbak),(),(),()4(2121cbacbacbaa0),()5(caacbacba)(),(zyxzyxzyxcccbbbaaa . 0),(cba三个向量共面的判定定理证明证明共面，则当cba,若时，ab/0ba，显然. 0)(),(cbacba当a不平行于b时，ba垂直于ba,所在的平面，因而cba )(，有. 0)(),(cbacba若. 0),(cba，逆推也成立.解解例例6 6)()()(accbba )()accbbb
14、caba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2),(2cba.4 已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求四面体的体积求四面体的体积. 由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.例例7 7解解),(61ADACABV ABCD,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 1414141
15、3131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,121212zzyyxxAB ABCD内容小结内容小结设设1. 1. 向量运算向量运算加减加减: :数乘数乘: :点积点积: :),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积叉积: :kjixayazaxbybzbba向量的向量的线性运算线性运算混合积:2. 2. 向量关系向量关系: :xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba
