1、3.3.2 移动平均法移动平均法3.3.3 数学模型法数学模型法 长期趋势长期趋势 时间序列的主要构成要素时间序列的主要构成要素, ,他他是指现象在较长时期内持续发展变化的一种是指现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态趋向或状态. .利用长期趋势的分析利用长期趋势的分析, ,可以掌握可以掌握现象活动的规律现象活动的规律, ,并对其未来的发展趋势作出并对其未来的发展趋势作出判断与预测判断与预测. . 长期趋势根据长期趋势根据表现形态分为表现形态分为:线性趋势与线性趋势与非线性趋势非线性趋势3.3.1 3.3.1 时距扩大法时距扩大法 时距扩大法时距扩大法 测定长期趋势最原始、最简测定长期趋
2、势最原始、最简单的方法单的方法,是将原有时间序列中较小时距单位是将原有时间序列中较小时距单位的若干数据加以合并的若干数据加以合并,得到扩大了时距单位的得到扩大了时距单位的数据数据,形成新的时间序列形成新的时间序列. 这种方法求得的新的时间序列可以消除这种方法求得的新的时间序列可以消除较小时距单位所受偶然因素的影响较小时距单位所受偶然因素的影响,使研究现使研究现象发展变化的基本趋势更为明显象发展变化的基本趋势更为明显.例题例题3.3.13.3.1 书上书上P90 P90 例题例题3.6; 3.6; 3.3.2 移动平均法 移动平均法移动平均法 是对扩大时距法的一种修正是对扩大时距法的一种修正,采
3、用逐期递移的方法计算一系列扩大时距的采用逐期递移的方法计算一系列扩大时距的序时平均数序时平均数,并以这一系列移动平均数为相应并以这一系列移动平均数为相应时期的趋势值时期的趋势值. 通过移动平均的方法求得的新的时间序列通过移动平均的方法求得的新的时间序列可以消除偶然因素的影响可以消除偶然因素的影响,指标值得以修匀指标值得以修匀,使使研究现象发展变化的基本趋势更为明显研究现象发展变化的基本趋势更为明显. 移动平均法有简单移动平均法和加权移动移动平均法有简单移动平均法和加权移动平均法两种平均法两种.这里介绍简单移动平均法这里介绍简单移动平均法. 简单移动平均法简单移动平均法 将每个观察值都给予相将每
4、个观察值都给予相同的权数同的权数,只使用最近期的数据只使用最近期的数据,在每次计算移动在每次计算移动平均值时平均值时,移动的间隔都为移动的间隔都为k. 主要适合对较为平稳的时间序列进行预测主要适合对较为平稳的时间序列进行预测 应用时应用时,关键是确定合理的移动间隔长关键是确定合理的移动间隔长,原则原则上选择移动步长时上选择移动步长时,可通过试验的办法可通过试验的办法,选择一个选择一个使均方误差达到最小的移动步长使均方误差达到最小的移动步长. 例例3.3.2 居民消费价格指数数据居民消费价格指数数据,分别取移动隔分别取移动隔k=3和和k=5,计算各期的居民消费价格指数的平滑计算各期的居民消费价格
5、指数的平滑值值(预测值预测值),计算出预测误差计算出预测误差,并将原序列和预测并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较后的序列绘制成图形进行比较 年份年份19861987198819891990199119921993价格指数价格指数106.3107.3118.8118103.1103.4106.4114.7年份年份1994199519961997199819992000价格指数价格指数124.1117.1108.3102.899.298.6100.4解解 年份年份19861987198819891990199119921993K=3110.9114.7113.3108.2104.3108.
6、2115.1年份年份1994199519961997199819992000K=3118.6116.5109.4103.4100.299.4年份年份19861987198819891990199119921993K=5110.7110.1109.9109.1110.3113.1年份年份1994199519961997199819992000K=5114.1113.4110.3105.2101.9消费价格指数移动平均趋势消费价格指数移动平均趋势508011014019861988199019921994199619982000年份消费价格指数消费价格指数3 期移动平均预测5期移动平均预测例题例题
7、3.3.33.3.3 书上书上P92 P92 例题例题3.7; 3.7; 3.3.2 3.3.2 数学模型法数学模型法 数学模型法数学模型法 在对原有时间序列进行分析的基在对原有时间序列进行分析的基础上础上,根据其发展变动的特点根据其发展变动的特点,寻找一个与之相匹配寻找一个与之相匹配的趋势曲线方程的趋势曲线方程,并以此来测定长期趋势变动规律并以此来测定长期趋势变动规律的方法的方法. 依据时间序列数据画散点图依据时间序列数据画散点图,观察散点图观察散点图,配配合直线还是曲线的拟合合直线还是曲线的拟合,得到线性趋势方程与曲得到线性趋势方程与曲线趋势方程线趋势方程. 常用的趋势线数学模型常用的趋势
8、线数学模型 线性趋势与非线性趋势线性趋势与非线性趋势 1. 常用的数学模型常用的数学模型 (1) 直线趋势模型直线趋势模型 用用t表示时间标号，用表示时间标号，用Yt表示时间序列中的指标表示时间序列中的指标值，值， 表示相应的趋势值表示相应的趋势值. tYbtaYt (2) 指数趋势模型指数趋势模型 ttabY (3) 二次曲线趋势模型二次曲线趋势模型 2ctbtaYt (4) 修正指数趋势模型修正指数趋势模型 ttabKY (5)罗吉斯蒂罗吉斯蒂趋势模型趋势模型 ttabKY 1 (6) 龚柏兹趋势模型龚柏兹趋势模型 ttKabY 各个模型的参数往往是待估参数各个模型的参数往往是待估参数,需
9、要根据时需要根据时间序列进行估计间序列进行估计. 2. 如何判别使用哪个数学模型如何判别使用哪个数学模型 ？ 横轴表示时间序列的时间标号，纵轴表示时间横轴表示时间序列的时间标号，纵轴表示时间序列的指标值，将时间序列的时间与指标值作为坐序列的指标值，将时间序列的时间与指标值作为坐标绘制在直角坐标线下，形成的图称为标绘制在直角坐标线下，形成的图称为散点图散点图 (1) 图形法图形法散点图散点图 根据散点图的走势，大致判断使用哪个趋势根据散点图的走势，大致判断使用哪个趋势曲线模型曲线模型. 根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线 (2) 指标法指标法 tY一次差
10、大体相同，配合直线一次差大体相同，配合直线二次差大体相同，配合二次曲线二次差大体相同，配合二次曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线一次差的环比值大体相同一次差的环比值大体相同,配合修正指数曲线配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同对数一次差的环比值大体相同,配合配合 Gompertz 曲线曲线倒数一次差的环比值大体相同倒数一次差的环比值大体相同,配合配合罗吉斯蒂罗吉斯蒂曲线曲线 若有几种趋势线可选择若有几种趋势线可选择,以估计标准误差最小以估计标准误差最小为标准为标准. 3. 直线趋势模型直线趋势模型(线性趋势模型线性趋势模型)的拟合与预测的拟合与预测
11、时间序列的指标值的逐期增长量（一次差）大时间序列的指标值的逐期增长量（一次差）大致致相等时相等时,或散点图的散点大致在一直线附近摆动时利或散点图的散点大致在一直线附近摆动时利用直线来描绘趋势变动用直线来描绘趋势变动.直线趋势方程直线趋势方程 btaYt 此方程中的参数此方程中的参数a,b是未知的是未知的,需要根据时间序列进行需要根据时间序列进行估计估计.参数参数a,b的估计方法的估计方法最小二乘法、分割平均最小二乘法、分割平均法法 趋势方程中的两个未知常数趋势方程中的两个未知常数a 和和b 按最小二按最小二乘法求得乘法求得. 即即 使各实际观察值与趋势值的离差使各实际观察值与趋势值的离差平方和
12、为最小平方和为最小. (1) 最小二乘法最小二乘法(最小平方法最小平方法) 利用多元函数微分法，求极值，既有利用多元函数微分法，求极值，既有整理得整理得解之得解之得称此方程组为正规方程组称此方程组为正规方程组 在求时间序列趋势直线方程时在求时间序列趋势直线方程时,时间时间t的取值只的取值只是一个符号是一个符号,故在求故在求a,b时可以调整时可以调整t的取值的取值,比如将比如将中间时期的中间时期的t取取0上取分别是上取分别是1,2, ；下取分别是；下取分别是-1,-2，,使使t=0.于是正规方程组于是正规方程组可以改写为可以改写为 例题例题3.3.43.3.4 书上书上P95 P95 例题例题3
13、.8; 3.8; 利用数学公理利用数学公理 两点确定一直线两点确定一直线. 即即 将时间序列二等分，每部分分别计算其平均将时间序列二等分，每部分分别计算其平均数，以此确定所求直线上的两点坐标，再以这两点数，以此确定所求直线上的两点坐标，再以这两点为基础确定趋势直线为基础确定趋势直线. (2) 分割平均法分割平均法 具体做法具体做法 分别代表原时间序列实际观察中各部分分别代表原时间序列实际观察中各部分的平均数的平均数.例题例题3.3.53.3.5 书上书上P97P97例题例题3.9; 3.9; 某地区某地区2003-20082003-2008年年6 6年间的粮食产量资料如表年间的粮食产量资料如表
14、3-133-13所示。所示。年份年份200320032004200420052005200620062007200720082008粮食产量粮食产量（亿吨）（亿吨）85.685.691.091.096.196.1101.2101.2107.0107.0112.2112.2要求用分割平均法拟合一条直线趋势线方程，并据以预测要求用分割平均法拟合一条直线趋势线方程，并据以预测20092009年的粮食产量。年的粮食产量。解：对于时间仍以代码表示，以解：对于时间仍以代码表示，以t=1t=1代表代表20032003年，年，t=2t=2代表代表20042004年，年，以此类推。，以此类推。按上述分割平均法的
15、基本原理，将原时间序列分为按上述分割平均法的基本原理，将原时间序列分为前后两半，前半部分为前三项，后半部分为后三项，前后两半，前半部分为前三项，后半部分为后三项，并求得并求得t t和和y y的平均数如下：的平均数如下：将以上计算结果带入将以上计算结果带入a a、b b计算公式得：计算公式得：要预测要预测20092009年的粮食产量，只要将年的粮食产量，只要将t=7t=7代入趋势方代入趋势方程即可：程即可：所有，所求直线趋势方程为：所有，所求直线趋势方程为： 4. 曲线趋势模型的拟合与预测曲线趋势模型的拟合与预测 可以利用散点图大致估测使用哪种趋势曲线方程可以利用散点图大致估测使用哪种趋势曲线方
16、程进行拟合进行拟合.下面着重介绍指数趋势曲线与二次趋势曲线下面着重介绍指数趋势曲线与二次趋势曲线. 此方程中的参数此方程中的参数a,b是未知的是未知的,需要根据时间序需要根据时间序列进行估计列进行估计.参数参数a,b的估计方法的估计方法最小二乘法最小二乘法. (1) 指数趋势曲线指数趋势曲线 时间序列指标值的环比发展速度大致相等时，时间序列指标值的环比发展速度大致相等时，即用于描述以几何级数递增或递减的现象，可利用即用于描述以几何级数递增或递减的现象，可利用指数曲线来描绘趋势变动指数曲线来描绘趋势变动.指数趋势曲线方程指数趋势曲线方程 ttabY a表示初始发展水平，表示初始发展水平，b表示平
17、均发展速度表示平均发展速度 采取采取“线性化线性化”手段将其化为对数直线形式手段将其化为对数直线形式 根据最小二乘法根据最小二乘法,得到求解得到求解A=lga,B=lgb的正规的正规方程组为方程组为 解上述方程组解上述方程组 得得A=lga和和B=lgb后后,再取其反再取其反对数对数,即得即得a和和b .例题例题3.3.63.3.6 书上书上P98P98例题例题3.10; 3.10; 此方程中的参数此方程中的参数a,b,c是未知的，需要根据时间序是未知的，需要根据时间序列进行估计列进行估计.参数参数a,b,c的估计方法的估计方法最小二乘法最小二乘法. (2) 二次二次趋势曲线趋势曲线 时间序列
18、指标值的逐期增长量大致等量增加时时间序列指标值的逐期增长量大致等量增加时,即逐期增长量之差（二次差）近似相等，可利用二次即逐期增长量之差（二次差）近似相等，可利用二次趋势曲线来描绘趋势变动趋势曲线来描绘趋势变动.二次趋势曲线方程二次趋势曲线方程 2ctbtaYt 根据最小二乘法的基本原理及多元函数求极值的根据最小二乘法的基本原理及多元函数求极值的方法，则求方法，则求 a，b，c的正规方程组的正规方程组说明说明 与求时间序列趋势直线方程类似与求时间序列趋势直线方程类似,求求a,b,c时可时可以调整以调整t 的取值的取值,使使t=0, t3=0 .于是有于是有例题例题3.3.83.3.8 书上书上
19、P100 P100 例题例题3.11; 3.11; 3.4.2 趋势剔除法趋势剔除法3.4.3 季节变动的预测季节变动的预测 季节变动季节变动 影响时间序列的一个重要因素影响时间序列的一个重要因素,它刻划它刻划时间序列在一个年度内各月或季的典型季节特征时间序列在一个年度内各月或季的典型季节特征 说明说明 季节变动中的季节变动中的”季节季节”是广义的是广义的,不仅指不仅指一年中的四季一年中的四季,是指任何一种周期性变化是指任何一种周期性变化. 进行季节变动分析的目的进行季节变动分析的目的 (1)通过分析了解季节因素的影响作用大小通过分析了解季节因素的影响作用大小,掌掌握季节变动的规律握季节变动的
20、规律; (2)通过季节变动分析消除时间序列中季节波通过季节变动分析消除时间序列中季节波动动,使时间序列更明显地反映趋势及其他因素影响使时间序列更明显地反映趋势及其他因素影响. 分析季节变动的主要方法是分析季节变动的主要方法是测定季节指数测定季节指数,常常用的方法是简单平均法用的方法是简单平均法(同期平均法同期平均法)与移动平均与移动平均趋趋势剔除法势剔除法. 季节指数季节指数(季节比率季节比率) 反映某一月份或季度的数反映某一月份或季度的数值占全年平均数值的大小值占全年平均数值的大小. 季节变动的程度季节变动的程度 根据各季节指数与其平均数根据各季节指数与其平均数(100%)的偏差程度来测定的
21、偏差程度来测定 说明说明 如果现象的发展没有季节变动如果现象的发展没有季节变动,则各期则各期的季节指数应等于的季节指数应等于100%.若有明显的季节变化若有明显的季节变化,则各期的季节指数应大于或小于则各期的季节指数应大于或小于100%.3.4.1 简单移动平均法 简单移动平均法简单移动平均法 也称同期移动平均法，是研究也称同期移动平均法，是研究季节变动的最简单方法季节变动的最简单方法. (1) 根据历年根据历年(至少三年至少三年)同月同月(同月同月)的数据的数据,计算该计算该月月(季季)的平均数的平均数,作为该月作为该月(季季)的代表的代表 计算季节指数的方法计算季节指数的方法(2) 计算总
22、的月计算总的月(季季)的平均数的平均数;作为全年的代表作为全年的代表. (3)将各月将各月(季季)的平均数除以总平均数的平均数除以总平均数,得到季节指得到季节指数数%100) 总月（季）平均数总月（季）平均数同月（季）平均数同月（季）平均数季节指数（季节指数（S例题例题3.4.13.4.1 书上书上P102 P102 例题例题3.12; 3.12; 3.4.2 趋势剔除法趋势剔除法趋势剔除法 事先剔除长期趋势的变动因素，事先剔除长期趋势的变动因素，而后在计算季节指数的方法而后在计算季节指数的方法. (1) 移动平均趋势剔除法移动平均趋势剔除法 首先将移动平均数作为长期趋势值加以剔除，首先将移动
23、平均数作为长期趋势值加以剔除，再测定季节变动的方法再测定季节变动的方法. 根据测定长期趋势的方法不同，趋势剔除法根据测定长期趋势的方法不同，趋势剔除法分为移动平均趋势剔除法与配合趋势曲线趋势分为移动平均趋势剔除法与配合趋势曲线趋势剔除法剔除法. (1)计算移动平均趋势值计算移动平均趋势值T(季度数据采用季度数据采用4项移动项移动平均平均,月份数据采用月份数据采用12项移动平均项移动平均),并将其结果进并将其结果进行行“中心化中心化”处理处理.即将移动平均的结果再进行一即将移动平均的结果再进行一次二项的移动平均次二项的移动平均,即得出即得出“中心化移动平均中心化移动平均值值”(CMA)(2)计算
24、移动平均的比值计算移动平均的比值Y/T=SI，也称为修匀比率，也称为修匀比率(3) 将将SI重新按月重新按月(季季)排列排列,再利用简单平均法计算再利用简单平均法计算季节指数季节指数.具体方法如下具体方法如下例题例题3.4.2 书上书上P103 例题例题3.13; 例例3.4.3 下表是一家啤酒生产企业下表是一家啤酒生产企业19972002年年各季度的啤酒销售量数据各季度的啤酒销售量数据.试计算各季的季节指数试计算各季的季节指数 啤酒销售量的季节变动啤酒销售量的季节变动0.500.801.101.401234季度季节指数 (2) (2) 配合趋势线趋势剔除法配合趋势线趋势剔除法具体做法具体做法
25、(1) 配合趋势方程配合趋势方程 将以月或季为单位的数据合并将以月或季为单位的数据合并为年为单位的数据；在利用最小二乘法配合直为年为单位的数据；在利用最小二乘法配合直线或曲线趋势方程线或曲线趋势方程.(2) 将以年为单位的趋势方程变换为以月或季为单位将以年为单位的趋势方程变换为以月或季为单位,并将原点移至第一年第一个月（第一季度）并将原点移至第一年第一个月（第一季度）.(3) 根据趋势方程确定各月（季）的趋势值根据趋势方程确定各月（季）的趋势值.(4)计算修匀比率，即比值计算修匀比率，即比值Y/T=SI.(5)计算季节比率计算季节比率.例题例题3.4.43.4.4 书上书上P107 P107
26、例题例题3.14; 3.14; 3.4.3 季节变动的预测季节变动的预测 以季节指数为调整基础，采取对时间序列进行外以季节指数为调整基础，采取对时间序列进行外推预测的方法推预测的方法,确定年度以下确定年度以下(季度、月季度、月)的预测值的预测值. (1) 简单季节模型预测法简单季节模型预测法 计算过去若干年的月计算过去若干年的月(季度季度)平均季节比率，并平均季节比率，并 以此作为下一年各月以此作为下一年各月(季度季度)预测值调整的依据预测值调整的依据. 季节变动预测方法主要有简单季节模型预测与移季节变动预测方法主要有简单季节模型预测与移动平均季节模型预测动平均季节模型预测. 若已知下一年的全
27、年的预测值若已知下一年的全年的预测值,则各月则各月(季度季度)的的 预测值预测值tttSYY 例题例题3.4.53.4.5 书上书上P110 P110 例题例题3.15; 3.15; 例题例题3.163.16 此方法未考虑长期趋势的影响此方法未考虑长期趋势的影响. (2) 移动平均季节模型预测法移动平均季节模型预测法 具体做法具体做法 (1) 利用移动平均法求长期趋势值利用移动平均法求长期趋势值T. (2) 根据长期趋势值根据长期趋势值T序列，配合趋势曲线方程序列，配合趋势曲线方程利用最小二乘法，得到趋势曲线方程利用最小二乘法，得到趋势曲线方程. (3) 将各项实际观察值除以相应的趋势值将各项
28、实际观察值除以相应的趋势值,得到剔得到剔除长期趋势后只含季节变动和随机变动的修匀比率除长期趋势后只含季节变动和随机变动的修匀比率. (4) 将年同月将年同月(季季)的修匀比率加总的修匀比率加总,求月求月(季季)平均数平均数. (5) 根据趋势曲线方程计算各月根据趋势曲线方程计算各月(季度季度)的预测的预测值值,并与该月并与该月(季季)的季节指数相乘的季节指数相乘,得到各月得到各月(季季)的预测值的预测值.例题例题3.4.63.4.6 书上书上P111 P111 例题例题3.17; 3.17; 此方法未考虑长期趋势的影响此方法未考虑长期趋势的影响3.5.2 不规则变动的测定不规则变动的测定3.5
29、.1 循环变动的测定循环变动循环变动 往往存在于一个较长的时期中，不同于往往存在于一个较长的时期中，不同于长期趋势变动长期趋势变动,它不是朝着单一方向的持续运动它不是朝着单一方向的持续运动,而是涨落相间的交替波动，近乎规律性的从低至高而是涨落相间的交替波动，近乎规律性的从低至高再从高至低的周而复始的变动；不同于季节变动再从高至低的周而复始的变动；不同于季节变动,其变化无固定规律其变化无固定规律,变动周期多在一年以上变动周期多在一年以上,且周期且周期长短不一；时间长短和波动大小不一长短不一；时间长短和波动大小不一,且常与不规且常与不规则波动交织在一起则波动交织在一起,很难单独加以描述和分析很难单
30、独加以描述和分析 剩余法也称分离法剩余法也称分离法 假定时间序列的数学模型为乘法模型假定时间序列的数学模型为乘法模型. 既有既有 Y=TSCI 测定循环变动的方法主要有测定循环变动的方法主要有 剩余法、直接法、剩余法、直接法、循环平均法循环平均法.主要介绍剩余法主要介绍剩余法. 利用分解分析原理利用分解分析原理,首先从时间序列中剔除长首先从时间序列中剔除长期趋势与季节变动期趋势与季节变动,然后再消除随机变动的因素然后再消除随机变动的因素,从而揭示循环变动的特性从而揭示循环变动的特性. 具体做法具体做法 1.先消去季节变动先消去季节变动,求得无季节性资料求得无季节性资料2. 再将结果除以由分离季
31、节性因素后的数据计算再将结果除以由分离季节性因素后的数据计算得到的趋势值得到的趋势值,求得含有周期性及随机波动的序列求得含有周期性及随机波动的序列3. 将结果进行移动平均将结果进行移动平均(MA),以消除不规则波动以消除不规则波动,即得循环波动值即得循环波动值 C = MA ( C I )3.5.2 不规则变动的测定不规则变动的测定不规则变动的测定 一个具体的时间序列，利用一个具体的时间序列，利用上述方法分别计算长期趋势上述方法分别计算长期趋势(T)、季节指数、季节指数(S)、循环变动循环变动(C),再利用乘法模型，分别从模型中剔再利用乘法模型，分别从模型中剔除长期趋势除长期趋势(T)、季节指数、季节指数(S)、循环变动、循环变动(C)的影的影响，剩余的既是不规则变动响，剩余的既是不规则变动.I=Y/(TS C),
