1、2022-6-16崎山苑工作室1第三章气体分子热运动速率第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布和能量的统计分布n3.1气体分子的速率分布律n3.2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律n3.3玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布n3.4能量按自由度均分定理2022-6-16崎山苑工作室23.1气体分子的速率分布律l 统计规律性：统计规律性：分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是配下）是无规则无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体的，存在
2、着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的上却存在着确定的规律性规律性。（例：理想气体压强）。（例：理想气体压强）人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规律性称为律性称为统计规律性统计规律性。气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。为研究气气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。为研究气体分子速度分布的定量规律，有必要介绍体分子速度分布的定量规律，有必要介绍分布
3、函数分布函数的概的概念。念。2022-6-16崎山苑工作室3例例1：统计某城市中每个商店里职工的分布情况，：统计某城市中每个商店里职工的分布情况，可用下列方法。可用下列方法。分布函数和平均值分布函数和平均值偶然事件偶然事件：大量出现不可预测的事件。多次重复：大量出现不可预测的事件。多次重复观察同样的事件，可获得该偶然事件的分布，从观察同样的事件，可获得该偶然事件的分布，从而得到其统计规律。而得到其统计规律。表示该城市中的商店总数表示该城市中的商店总数表示该城市中有表示该城市中有 个职工的商店数，称分布数。个职工的商店数，称分布数。iNiiNN名职工的商店的百分数表示有 iNNfii归一化的分布
4、数,条件归一化, 1)(NNfii2022-6-16崎山苑工作室4例例: :我们以人的身高为例，来引入分布函数的概念。我们以人的身高为例，来引入分布函数的概念。 设设 N 为总人数，为总人数，dN（h）为身高在）为身高在 h-h+dh 间间 的人数。显然的人数。显然 NhN)(d令令 f（h）=dN（h）/Ndh，则，则1d)(hhf我们把我们把 f（h）称为归一化分布函数。）称为归一化分布函数。f（h）表征在单位高度内，身高为）表征在单位高度内，身高为 h 的人数占总的人数占总人数的比率。人数的比率。f(h)dhf(h)dh：高度在：高度在h h与与h+dhh+dh之间的概率之间的概率202
5、2-6-16崎山苑工作室5N 个人的平均身高为个人的平均身高为h f（h） h h+dhof(h)f(h)为归一化分布函数为归一化分布函数分布曲线分布曲线高度在高度在h h与与h+dhh+dh之间的人数：之间的人数：dhhNfhdN)()(hhhfhNhhhNfNhNhd)(d)()(d2022-6-16崎山苑工作室6推广至任一变量（物理量）推广至任一变量（物理量）x ,由分布函数由分布函数f(x)求求平均值，有：平均值，有：xxxfNxxNxfNNxxd)(d)(d 对具有统计性的系统来讲，总存在着确定的分对具有统计性的系统来讲，总存在着确定的分布函数布函数f（x），因此，写出分布函数），因
6、此，写出分布函数f（x）是研）是研究一个系统的关键之处，具有普遍的意义。究一个系统的关键之处，具有普遍的意义。2022-6-16崎山苑工作室7l 一定量的气体分子总数为一定量的气体分子总数为NdNv表示速率分布在某区间表示速率分布在某区间 vv+dv内的分子数，内的分子数，dNv/N表示分布在此区间内的分子数占总分子表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率（或百分比）。数的比率（或百分比）。dNv/N 是是 v 的函数，在不同速率附近取相等的的函数，在不同速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。区间，此比率一般不相等。当速率区间足够小时（宏观小，微观大），当速率区间足够小时（宏观小，微观大）
7、，dNv/N还应与区间大小成正比。还应与区间大小成正比。2022-6-16崎山苑工作室8因此有因此有 dvvfNdNv物理意义：速率在物理意义：速率在 v 附近，单位速率区间的附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。分子数占总分子数的比率。f(v):速率分布函数速率分布函数 100dvvfNdNNv归一化条件(Normalizing condition) dvNdNvf或或2022-6-16崎山苑工作室9l Maxwell speed distribution law（一定条件下，速率分布函数的具体形式）（一定条件下，速率分布函数的具体形式）在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以在平衡态下
8、，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间忽略时，分布在任一速率区间 vv+dv 的分子数的分子数占总分子数的比率为占总分子数的比率为dvvekTmNdNkTmvv2223224 2223224vekTmvfkTmv麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数2022-6-16崎山苑工作室10麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线pv)(vfvO)(vfv2022-6-16崎山苑工作室11麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线1v2v)(vfvO)(vf面积NNvvfdd)( 面积NNvvfvv21d)(v vdv速率在速率在 区间内的分子数占总分子数的比例；区间内的分子数占总分子
9、数的比例；或分子速率位于或分子速率位于 区间内的几率。区间内的几率。 ),(21vv),(21vv速率在速率在 区间内的分子数区间内的分子数占总分子数的比例；或分子速率位占总分子数的比例；或分子速率位于于 区间区间 内的几率。内的几率。),(vvvd),(vvvd2022-6-16崎山苑工作室12vvnfd)() 1 (VNnvNNvf ,dd)(vvnfd)(VNd表示单位体积内分布在速率区间表示单位体积内分布在速率区间 内的分子数。内的分子数。vvvd说说明明下下式式的的物物理理意意义义：为为分分子子数数密密度度，为为速速率率分分布布函函数数， nvf)(2022-6-16崎山苑工作室13
10、vvNfd)()2(vNNvfdd)( Nd vvNfd)(表示分布在速率区间表示分布在速率区间 内的分内的分子数。子数。vvvd说说明明下下式式的的物物理理意意义义：为为分分子子数数密密度度，为为速速率率分分布布函函数数，nvf)(2022-6-16崎山苑工作室14 21d)()3(vvvvfnVNnvNNvf ,dd)(vvfnvvd)(21 VNNNVN 表示分布在单位体积内，速率区间表示分布在单位体积内，速率区间 内的分子数。内的分子数。21vv 说说明明下下式式的的物物理理意意义义：为为分分子子数数密密度度，为为速速率率分分布布函函数数，nvf)(2022-6-16崎山苑工作室15说
11、说明明下下式式的的物物理理意意义义：为为分分子子数数密密度度，为为速速率率分分布布函函数数，nvf)(2121d)(d)()4(vvvvvvfvvvfvNNvfdd)( NNNNvNN21d表示速率在区间表示速率在区间 内的分子的平均内的分子的平均速率。速率。)(21vv ，vNNvfdd)( NvdNNN212022-6-16崎山苑工作室162232224)(vekTmvfkTmv速率分布函数速率分布函数 中的极大值对应中的极大值对应的分子速率的分子速率 。pv)(vf0d)(dvvf极值条件极值条件(1)最可几速率最可几速率:RTRT41. 12mkTpv2温度超高，温度超高，vp越大；分
12、子的质量越大，越大；分子的质量越大， vp越小越小2022-6-16崎山苑工作室17)(vfvpvO最最 可几可几 速速 率（率（most probable speed）2022-6-16崎山苑工作室18 对大量分子而言，在相同的速率间隔对大量分子而言，在相同的速率间隔中，气体分子的速率在中，气体分子的速率在v vp p附近的分子数附近的分子数最多。最多。 对单个分子而言，速率在对单个分子而言，速率在v vp p附近的附近的几率最大。几率最大。最可几速率最可几速率“ v p”的意义是：的意义是：2022-6-16崎山苑工作室19气体分子速率的算术平均值。气体分子速率的算术平均值。NNvvN0d
13、vNNvfdd)( mkTv8mkTv8(2)平均速率：平均速率：0d)(vvvf2232224)(vekTmvfkTmvRTRT60. 182022-6-16崎山苑工作室20)(vfvvO平平 均均 速速 率率(average speed)2022-6-16崎山苑工作室21(3)方均根速率（方均根速率（root-mean-square speed）：气体）：气体分子速率平方的平均值的平方根。分子速率平方的平均值的平方根。RTRTmkTv73.1332NNvvN022d02dv)v( fvmkT3vNN)v( fdd2232224)(vekTmvfkTmv2022-6-16崎山苑工作室222v
14、)(vfvO方方 均均 根根 速速 率率方方 均均 根根 速速 率率2022-6-16崎山苑工作室23三种速率均与三种速率均与 ,成反比，但三者有一个确定成反比，但三者有一个确定的比例关系的比例关系;三种速率使用于三种速率使用于不同的场合。不同的场合。讨论速率分布讨论速率分布时用最可几速率；计算分子时用最可几速率；计算分子运动的平均距离时用平均速运动的平均距离时用平均速率；计算分子平均平动能时率；计算分子平均平动能时用方均根速率用方均根速率。mT2v)(vfvpvvO2vvvp三种速率比较三种速率比较2vvvp2022-6-16崎山苑工作室24)(vfvO3pv1pv2pv)(1pvf)(2p
15、vf)(3pvf3T2T1T321TTT温度越高，速率温度越高，速率大的分子数越多大的分子数越多同一气体不同温度下速率分布比较同一气体不同温度下速率分布比较2022-6-16崎山苑工作室25321mmm)(vfvO3m2m1m同一温度下不同种气体速率分布比较同一温度下不同种气体速率分布比较分子质量越小，速率分子质量越小，速率大的分子数越多。大的分子数越多。2022-6-16崎山苑工作室26例题例题1 试计算气体分子热运动速率的大小介于试计算气体分子热运动速率的大小介于 vp- vp/100 和和 vp+vp/100 之间的分子数占总分子数的百之间的分子数占总分子数的百分数。分数。pppvvvv
16、1009910050100100pppppvvvvvv 在此利用在此利用vp ，引入引入W=v/ vp ，把麦克斯韦速率分，把麦克斯韦速率分布律改写成如下简单形式：布律改写成如下简单形式：WeWWWfNNW224)(解解: : 按题意按题意2022-6-16崎山苑工作室27%66.15011009942100992eNN把这些量值代入，即得把这些量值代入，即得10099pvvW 501pvvW 现在现在2022-6-16崎山苑工作室28例例2. 有有N个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为求：求： （1）速率分布曲线（）速率分布曲线（2）由）由v 0 求常数求常数C （3）粒子的平均
17、速率）粒子的平均速率 )(CNdvdNvf 0)( vf)0( 0 vv)(0vv 解解（1 1）速率分布曲线速率分布曲线 （ 见下图）见下图）)(vf0vC0v2022-6-16崎山苑工作室29（2）常数）常数 C 由归一化条件求得由归一化条件求得1)(00 vdvvf100 vCdv10 v C01vC （3）平均速率：）平均速率： 0)(dvvvfv21200vv dvvvv 0001021v 2022-6-16崎山苑工作室30例例3. 由麦氏分布律导出理想气体分子按由麦氏分布律导出理想气体分子按平动动能平动动能的分布律的分布律,并找并找出出最可几动能最可几动能是什么？一个分子的是什么？
18、一个分子的平均平动动能平均平动动能是什么？是什么？解：解：一个分子的一个分子的平动动能：平动动能：221mv mvdvd 由麦氏分布律：由麦氏分布律：dvvekTmdvvfNdNkTmv 22232)2(4)(v dekTkT2123)1(2这就是理想气体这就是理想气体分子按平动动能分布定律。分子按平动动能分布定律。vdvmdemkTmkT 2)2(423 df)(22022-6-16崎山苑工作室31最可几动能：最可几动能：0)( ddf令令kTp21 解得221(pmv注注意意：不不是是)2(21kTmkTm 分子的平均平动动能为：分子的平均平动动能为： 0)( df理论与实验符合得很好。理
19、论与实验符合得很好。kT23 dekTkT23023)1(2kTt23 从理论上从理论上已经得到过：已经得到过：2022-6-16崎山苑工作室32在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时，速度在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时，速度分量分量vx在区间在区间vxvx+dvx，vy 在区间在区间vyvy+dvy，vz在区间在区间vzvz+dvz内的分子数占总分子数的比率为内的分子数占总分子数的比率为Maxwell velocity distribution law上面讨论的是气体分子按速率分布的规律，对分子上面讨论的是气体分子按速率分布的规律，对分子速度的方向未作任何确定。下面进一步
20、介绍气体分子按速度的方向未作任何确定。下面进一步介绍气体分子按速度分布的规律。速度分布的规律。dvx、dvy、dvz为速度空间的一个体积元为速度空间的一个体积元zyxkTvvvmvvvdvdvdvekTmNdNzyxzyx2232222kTvvvmzyxzyxekTmv ,v ,vf2232222麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数Maxwell velocity distribution law2022-6-16崎山苑工作室33速度空间速度空间(velocity space)的概念的概念 表示分子的速度表示分子的速度以其分量以其分量vx、 vy、 vz为轴可构成一直角坐标系，为轴可构成一
21、直角坐标系， 由此坐标系所确定的空间为速度空间。由此坐标系所确定的空间为速度空间。麦克斯韦速度分布律指明了分子代表点在速度麦克斯韦速度分布律指明了分子代表点在速度 空间体积元空间体积元d = dvxdvydvz 中的分布情况。中的分布情况。可由麦氏速度分布律推出麦氏速率分布律。可由麦氏速度分布律推出麦氏速率分布律。v2022-6-16崎山苑工作室34由图（b）可得：dvvd242222zyxvvvvdvvekTmdvdvdvekTmNdNkTmvzyxkTvvvmzyx222322322222422022-6-16崎山苑工作室35由麦克斯韦速度分布函数可推出速度的三个分量的分布函数。将分布函数
22、先后对vy和vz积分，即可求出速度分量vx在区间vx vxd vx内的分子数占总分子数N的比率：zkTmvykTmvxkTmvvdvedvedvekTmNdNzyxx2222322222122222mkTdvedvezkTmvykTmvzykTmvxvxxxekTmNdvdNvf22122)(同理可得：kTmvzkTmvyvyzyyekTmvfekTmNdvdNvf221221222)(2)(2022-6-16崎山苑工作室36例题：用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位面例题：用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数。积器壁上的气体分子数。解解：如图，设单位体积内的分子数为：如图，
23、设单位体积内的分子数为n，则单位体积内速，则单位体积内速度分量度分量vx在在vx vx +d vx之间的分子数为之间的分子数为nf(vx)d vx 。vx dtdA在在dt内能与内能与dA相碰的分子数为：相碰的分子数为： nf(vx)d vx vx dtdA所以，在单位时间内速度分量所以，在单位时间内速度分量vx在在vx vx +d vx之间能之间能与单位面积器壁碰撞的分子数为：与单位面积器壁碰撞的分子数为：xkTmvxxxxdvekTmnvdvvfnvx2/2/122)(而对于而对于vx 0的分子不会与的分子不会与dA相碰，相碰，所以所以vx的积分区间为的积分区间为0 2022-6-16崎山
24、苑工作室37每秒碰到单位面积上的分子数为：每秒碰到单位面积上的分子数为：02/2/1022)(xxkTmvxxxdvvekTmndvvfnvx2/102)(mkTndvvfnvxxx2/188mkTmkTvvndvvfnvxxx41)(02022-6-16崎山苑工作室38麦克斯韦分布律是一种统计规律。统计规律不仅对研究热现象有重要意义，而且在其他自然现象中也是普遍存在的。如伽尔顿板（Galton plate）实验。在一次实验中小球落入哪个狭槽是偶然的；但大量小球按槽的分布情况却是确定的。（在中央的槽内小球分布得最多，在离中央越远的槽内小球越少）。人们把这种支配大量粒子综合性质和人们把这种支配大
25、量粒子综合性质和集体行为的规律性称为集体行为的规律性称为统计规律性统计规律性2022-6-16崎山苑工作室39统计规律有以下几个特点统计规律有以下几个特点: :（1）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).（3）总是伴随着涨落.统计规律与涨落现象是不可分割的，这正反映了必统计规律与涨落现象是不可分割的，这正反映了必然性与偶然性之间相互依存的辩证关系。然性与偶然性之间相互依存的辩证关系。一切与热现象有关的宏观量（如P、T）的数值都是统计平均值。在任一给定瞬间或在系统中任一给定局部范围内，观测值都与统计平均值有偏差，这就是涨落现象。2022-6-16崎山苑工作
26、室40统计规律有以下几个特点统计规律有以下几个特点: :（1）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).（3）总是伴随着涨落.统计规律与涨落现象是不可分割的，这正反映了必统计规律与涨落现象是不可分割的，这正反映了必然性与偶然性之间相互依存的辩证关系。然性与偶然性之间相互依存的辩证关系。一切与热现象有关的宏观量（如P、T）的数值都是统计平均值。在任一给定瞬间或在系统中任一给定局部范围内，观测值都与统计平均值有偏差，这就是涨落现象。2022-6-16崎山苑工作室413.2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律n由于技术条件（如高真空技术、测量技术等）的限制，测定气
27、体分子速率分布的实验，直到二十世纪二十年代才实现。实验技术的不断改善和提高，特别是分子射线实验技术的迅速发展，使麦克斯韦速度分布律得到许多直接的实验证明。2022-6-16崎山苑工作室42下图是产生分子射线实验装置示意图。容器O中贮藏的气体为平衡态的气体。从O中逸出的气体经狭缝S1、 S2后形成一窄束分子射线。在用分子射线验证麦克斯韦速度分布律的实验中，气体一般用金属（如银、铍、钍等）蒸气。2022-6-16崎山苑工作室43我国物理学家葛正权于1934年测定铋蒸气分子的速率分布，其实验装置原理图如下图。D铋分子由S3到达P处所需的时间为：t=D/vR转过的弧PP长度为：s=D /2=D t/2
28、v=D2 /2s-一定的s值与一定的v对应2022-6-16崎山苑工作室44密勒和库士在密勒和库士在1956年用钍蒸气的原子射线做实验精确地验证了年用钍蒸气的原子射线做实验精确地验证了麦克斯韦速率分布律，其实验装置原理图如下图所示：麦克斯韦速率分布律，其实验装置原理图如下图所示：r RLl给定给定 小孔充分小，改变小孔充分小，改变 ，测，测D D上的沉积厚度，就可测气体速率分布上的沉积厚度，就可测气体速率分布vltlvOD蒸汽源蒸汽源检测器检测器l抽气抽气抽气抽气 BC2022-6-16崎山苑工作室45OV相对粒子数相对粒子数粒子速率分布实验曲线粒子速率分布实验曲线粒子速率分布实验曲线如下所示
29、粒子速率分布实验曲线如下所示2022-6-16崎山苑工作室46OV相对粒子数相对粒子数粒子速率分布实验曲线粒子速率分布实验曲线粒子速率分布实验曲线如下所示粒子速率分布实验曲线如下所示2022-6-16崎山苑工作室473.3玻尔兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布玻尔兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布在麦克斯韦速度分布率中，有一因子即kTmve2/2kTEke/考虑的是不受外力场的影响，只考虑分子在速度空间体积元dvxdvydvz 中的分布情况。玻尔兹曼将其推广到分子在保守力场（如重力场）中运动的情形。在这种情形下则必须考虑分子在力场中的势能Ep。玻耳兹曼推广玻耳兹曼推广：气体分子速度在区间：气体
30、分子速度在区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvz ， 位置在区间位置在区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz 分子数目为分子数目为dN e -E /kT dvx dvy dvz dx dy dz 2022-6-16崎山苑工作室48玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律Boltzmann distribution law（玻尔兹曼分子按能量分布定律）（玻尔兹曼分子按能量分布定律）当系统在力场中处于平衡态时，当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间其中坐标介于区间xx+dx、yy+dy、zz+dz内，内，同时速度介于同时速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy
31、，vzvz+dvz内内的分子数为的分子数为zyxkTdvdvdxdydzdvekTmndNPK2302n0为在为在 处，单位体积内具有各种速度的分子总数。处，单位体积内具有各种速度的分子总数。0P2022-6-16崎山苑工作室49求单位体积分子数求单位体积分子数n n 将玻尔兹曼分布率积分将玻尔兹曼分布率积分, ,有有dxdydzendvdvdvekTmdxdydzenNdkTzyxkTkTPKP02302kTPendxdydzNdn0RTghkTmghenenn00重力场中粒子按高度的分布（重力场中粒子按高度的分布（ ）mghP满足归一化条件，结果为12022-6-16崎山苑工作室50当大气
32、温度均匀时，分子数密当大气温度均匀时，分子数密度随高度增加按指数规律减小。度随高度增加按指数规律减小。T减小更慢nm减小更快n在同一高度在同一高度0nzn0RTghkTmghenenn002022-6-16崎山苑工作室51RTghenn0RTghePP0利用：利用：P = nkT假设：大气为理想气体，不同高度处温度相等假设：大气为理想气体，不同高度处温度相等可得可得: :P0=n0kT表示在表示在z=0处的压强处的压强等温气压公式等温气压公式2022-6-16崎山苑工作室52设温度不随高度变化设温度不随高度变化 根据压强变化测高度，实际温度也随高度变根据压强变化测高度，实际温度也随高度变化，测
33、大气温度有一定的范围，是近似测量。化，测大气温度有一定的范围，是近似测量。由上式可得高度由上式可得高度 h 为：为：)ln(0ppgRTz测定大气压强随高度的减小，即可判断上升的高度。测定大气压强随高度的减小，即可判断上升的高度。2022-6-16崎山苑工作室53设温度不随高度变化设温度不随高度变化 根据压强变化测高度，实际温度也随高度变根据压强变化测高度，实际温度也随高度变化，测大气温度有一定的范围，是近似测量。化，测大气温度有一定的范围，是近似测量。由上式可得高度由上式可得高度 h 为：为：)ln(0ppgRTz测定大气压强随高度的减小，即可判断上升的高度。测定大气压强随高度的减小，即可判
34、断上升的高度。2022-6-16崎山苑工作室543.4能量按自由度均分定理自由度自由度（degree of freedom）：某一物体的自由度，就某一物体的自由度，就是决定这一物体在空间的位置所需要的独立坐标数。是决定这一物体在空间的位置所需要的独立坐标数。在直角坐标系中：在直角坐标系中：（1 1）对质点）对质点：x，y，z共共3 3个自由度，称平动自由度个自由度，称平动自由度t = 3（2 2）对直杆）对直杆但因但因1coscoscos222故只需故只需 r = 2 个转动自由度个转动自由度所以，所以，直杆直杆需要的自由度数为：需要的自由度数为：523 rti确定杆上一个点，需（确定杆上一个
35、点，需（x，y，z）t =3个平动自由度，个平动自由度，确定杆的方位，似乎还需（确定杆的方位，似乎还需（ 、 、 ）3 3个转动自由度个转动自由度2022-6-16崎山苑工作室55（3 3）对刚体）对刚体 确定刚体一轴线确定刚体一轴线5 5个自由度个自由度 确定刚体绕轴转动加一个自由度确定刚体绕轴转动加一个自由度1 r刚体的自由度数：刚体的自由度数：633 rti分子的自由度分子的自由度（1 1）单原子分子：）单原子分子：氦（氦（HeHe）、氖（）、氖（NeNe）i = 3（2 2）双原子分子：）双原子分子： H H2 2、O O2 2、COCO刚性刚性523 i非刚性非刚性6123 srti
36、（3 3）三原子分子：）三原子分子：COCO2 2、H H2 2O.O.刚性刚性633 rti非刚性非刚性9333 srti振动振动 自由度自由度2 , 3 rt2022-6-16崎山苑工作室56分子的自由度分子的自由度分子种类分子种类单原子分子单原子分子双原子双原子分子分子多原子多原子分子分子t 平动平动r转动转动s振动振动srti 3003刚性刚性3205非刚性非刚性3216刚性刚性非刚性非刚性3306333n - 63n自由度自由度总结总结2022-6-16崎山苑工作室57（theorem of equipartition of energy）椐理想气体温度公式，分子平均平动动能与温度关
37、系为椐理想气体温度公式，分子平均平动动能与温度关系为kTvmk2321232222vvvvzyx ,2222vvvvzyx kTvmvmvmzyx21212121222 分子在每一个自由度上具有相等的平均平动分子在每一个自由度上具有相等的平均平动动能，其大小等于动能，其大小等于 。即分子的平均平动动能。即分子的平均平动动能3KT/2是均匀的分配于每一个自由度的。是均匀的分配于每一个自由度的。kT212022-6-16崎山苑工作室58kTikTsrtk2)(21 上述结论可推广到振动和转动，得到能均分定理：上述结论可推广到振动和转动，得到能均分定理： 在温度为在温度为T T的平衡态下，物质（气体
38、、液体、固的平衡态下，物质（气体、液体、固体）分子的每一个自由度都具有相等的平均动能，其体）分子的每一个自由度都具有相等的平均动能，其大小等于大小等于 。kT21 对于有对于有t 个平动自由度个平动自由度，s 个振动自由度个振动自由度和和 r 个转个转动自由度动自由度的气体分子，分子的平均总动能为上述三的气体分子，分子的平均总动能为上述三种运动动能之和：种运动动能之和： 每个振动自由度上均分有每个振动自由度上均分有 的振动势能的振动势能kT21kTsrtkTsk)2(21212022-6-16崎山苑工作室59在温度为在温度为T的平衡态下，气体分子每个自的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都
39、相等，都等于由度的平均动能都相等，都等于 。kT21# 是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。# 是气体分子无规则碰撞的结果。是气体分子无规则碰撞的结果。# 经典统计物理可给出严格证明。经典统计物理可给出严格证明。2022-6-16崎山苑工作室60internal energy内能内能：热力学系统的全部微观粒子具有能量总和，：热力学系统的全部微观粒子具有能量总和， 包括大量分子热运动的动能、分子间的势能、分包括大量分子热运动的动能、分子间的势能、分子内原子内及核内的能量。这里特指前两种，用子内原子内及核内的能量。这里特指前两种，用 E 表示。表示。RT
40、iMkTsrtNMEA22)2( 对于理想气体，分子间无相互作用，内能只对于理想气体，分子间无相互作用，内能只是分子各种形式的动能和振动势能的总和。是分子各种形式的动能和振动势能的总和。 理想气体内能决定于分子的自由度和气体的理想气体内能决定于分子的自由度和气体的温度，温度，内能仅是温度的单值函数内能仅是温度的单值函数，与热力学温度与热力学温度成正比，成正比，与气体的压强、体积无关。与气体的压强、体积无关。2022-6-16崎山苑工作室61单原子分子气体单原子分子气体 ME双原子分子双原子分子刚性刚性非刚性非刚性RTrtME2 MERTM27 RT23RTM25 RTsrt222022-6-1
41、6崎山苑工作室62理想气体的热容量（理想气体的热容量（heat capacity）热容量热容量：温度升高（或降低）1C物体所吸收（或放出）的热量，以c表示比热，则热容量为：CMc摩尔热容量摩尔热容量：1摩尔物质温度升高（或降低）1C所吸收（或放出）的热量，以C表示：Cc气体在等容过程中吸收的热量全部用来增加内能；而在等压过程中则只有一部分用来增加内能，另一部分转化为气体膨胀时对外所作的功。因此，气体升高一定的温度，在等压过程中要比等容过程中吸收更多的热。定压热容量比定容热容量大。2022-6-16崎山苑工作室63Cv：定容摩尔热容量(heat capacity of constant volu
42、me)dTdudTdQCv对1摩尔理想气体有：RTsrtu)2(21RsrtCv)2(21定容摩尔热容只与分子的自由度有关，与气体的温度无关。对单原子气体分子：11323KmolcalRCv对双原子气体分子：11727KmolcalRCv2022-6-16崎山苑工作室64表32为几种双原子分子的Cv随温度变化的实验数据2022-6-16崎山苑工作室65经典理论的缺陷经典理论的缺陷将理论结果与实验数据比较可知，对于单原子分子气体，Cv的理论值与实验值很好的符合；对双原子分子，理论值与实验值显然不符。根据经典理论，一切双原子分子应该具有完全相同的Cv；气体的Cv应与温度无关。但实验表明，一切双原子
43、分子气体的Cv都随温度的升高而增大，并且它们的都Cv不相同。理论值与实验值不符的根本原因在于，热容量理论建筑在能均分定理之上，而这个定理是以经典概念（能量的连续变化）为基础的。原子、分子等微观粒子的运动遵从量子规律，经典观念只有在一定的限度内才能适用。2022-6-16崎山苑工作室66振动能对热容量的影响振动能对热容量的影响根据量子理论，双原子分子的振动能只能取一系列不连续的值，若把原子的振动近似地看作谐振动，则振动动能只能取下列数值：,2 , 1 , 0,21nhns式中的正整数n叫做振动量子数，h为普朗克常数，为振动频率。转动能对热容量的影响转动能对热容量的影响根据量子理论，分子的转动能也只能取一些不连续的值：, 2 , 1 , 0),1(822lllIhr式中l为转动量子数，I为两原子绕质心的转动惯量2022-6-16崎山苑工作室67振动能对热容量的影响振动能对热容量的影响根据量子理论，双原子分子的振动能只能取一系列不连续的值，若把原子的振动近似地看作谐振动，则振动动能只能取下列数值：,2 , 1 , 0,21nhns式中的正整数n叫做振动量子数，h为普朗克常数，为振动频率。转动能对热容量的影响转动能对热容量的影响根据量子理论，分子的转动能也只能取一些不连续的值：, 2 , 1 , 0),1(822lllIhr式中l为转动量子数，I为两原子绕质心的转动惯量
