1、一、平面图形的面积 平面图形面积可借助定积分平面图形面积可借助定积分几何意义几何意义进行求解。进行求解。一条曲线情形：（积分变量为x）xOyabSxOyabS(1) f(x)0,(2) f(x)0,( )baSf x dx ( )baSf x dx |( ) |baf xdx （3）一般情况）一般情况123SSSS( )( )( )cdbacdf x dxf x dxf x dx|( )|baf xdx xOyab1S2S3Scd( ),|( )|bayf xxa xbxSf xdx 由由及及 轴轴所所围围图图形形的的面面积积为为 一条曲线（积分变量为一条曲线（积分变量为y）xyOcd(1)0
2、)( y (2)0)( y (3)一般情况一般情况( )dcSy dy ( )|( ) |ddccSy dyydy ( )( )|( )|eddcecSy dyy dyydyxyOcd)(yx xyOcde)(yx ( ),|( )|dcxyyc ydySydy 由由及及 轴轴所所围围图图形形的的面面积积为为 ln ,0.1,10,0.yx xxy求求由由所所围围图图形形的的面面积积解解：100.1|ln|Sx dx xyolnyx 1100.11lnlnxdxxdx 110.10.1ln|lnxxxdx 101011ln|lnxxxdx 0.1ln0.110.1 10ln1090.1ln10
3、0.9 10ln1099.9ln108.12条曲线（选择合适的积分变量）条曲线（选择合适的积分变量）)(1xfy )(2xfy abxyo21( )( )bbaaSfx dxfx dx21( )( )bafxfx dx 21( )( )fxfx )(1xfy )(2xfy abxyoc 1221( )( )( )( )cabcSfxfxdxfxfx dx 21( )( )bafxfx dx 21( )( )f cf c 选选x作为变量上边曲线减去下边曲线作为变量上边曲线减去下边曲线注：求面积时保证被积函数的非负性注：求面积时保证被积函数的非负性( )xy ( )xy dxyoce 当两条曲线相
4、交时，应求出其交点作为区间分段点.选选y作为变量右边曲线减去左边曲线作为变量右边曲线减去左边曲线xOcd yxyxy dcdyyyS)()( deecdyyydyyyS)()()()( dcdyyy)()( 画草图画草图.例例22,xy xy所围成图形的面积所围成图形的面积.计算由计算由解解 22xyxy得交点得交点 (0, 0) 和和 (1, 1)解方程组解方程组xoyxy 22xy ) 1 , 1 (113 120()Sxxdx 33212330 xx 另解另解. 13 120()Syydy 33212330yy 选选x为积分变量为积分变量选选y为积分变量为积分变量求面积的解题步骤求面积的
5、解题步骤2、联立方程求交点4、确定被积函数，利用公式进行求解积分变量的选择积分变量的选择选取积分变量选取积分变量 x (y) 应满足：过点应满足：过点 x (y) 作垂直于作垂直于 x (y) 轴的轴的直线穿区域直线穿区域D, 是一进一出，即最多两个交点；是一进一出，即最多两个交点；)(1xfy )(2xfy abxyoc积分区间的确定积分区间的确定选取积分变量选取积分变量 x 应为区域的左右两个边界点所确定的区间应为区域的左右两个边界点所确定的区间;选取积分变量选取积分变量 y 应应为区域的上下两个边界点所确定的区间为区域的上下两个边界点所确定的区间;被积函数应遵循的原则被积函数应遵循的原则
6、 -大减小大减小(x上减下上减下, y右减左右减左)理论上可以选理论上可以选择任何一个变择任何一个变元为积分变量元为积分变量. .例：计算由曲线例：计算由曲线y=x3-6x和和y=x2所围成的图形的面积所围成的图形的面积. 解解).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量xxxy63 2xy 0322(6)Sxxxdx dxxxx)6(3230 .12253 例：计算由曲线例：计算由曲线y2=2x和和y=x-4直线所围成的图形的面积直线所围成的图形的面积. 解：解：).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y2424
7、2ySydy 18. xy22 4 xy)2, 2( )4 , 8(选选x为积分变量为积分变量 28022(2 )( 2(4)Sxxdxxxdx .18 例：例： 求由曲线求由曲线1,2yyx xx与与所围面积。所围面积。解：解：画草图，画草图，xyoyx 1yx 2x (1,1)1(2, )2(2,2)211()Sxdxx 2211ln2xx3ln221121(2)Sdyy 21(2)y dy 例例 设曲线设曲线 x 轴与轴与 y 轴在第一象限所围的图形轴在第一象限所围的图形 被曲线被曲线 分为面积相等的两部分，试确定分为面积相等的两部分，试确定a的值的值. .2(0)yaxa 解解 如图，
8、如图，解方程组解方程组 1(,)11aaa 而而122110(1)aSxaxdx 23 1a 再由再由112SS 12021(1)23 1xdxa 221yxyax 311(1)130 xa xa 得得3a 解解之之得得13得交点坐标得交点坐标21,yxxyo21yx2yax 1S2SoxyabxS(x)二、平行截面面积已知的立体体积(), , ( )( )baxaxb abxa bxS xVS x dx 设设为为一一空空间间立立体体，夹夹在在平平面面和和之之间间过过任任意意点点作作垂垂直直于于 轴轴的的平平面面, ,它它截截立立体体的的截截平平面面的的面面积积为为（连连续续）, ,则则该该立
9、立体体的的体体积积为为 oxyabiV 具体求法如下：具体求法如下：1.分割分割01naxxxb 1iiixxx 1|maxiinx 1ix ix2.近似求和近似求和i ()iS ()iiiVSx 11()nniiiiiVVSx 3.求极限求极限| |01lim()niiiVSx ()baS x dx 旋转体的体积旋转体的体积是由某平面内一个图形绕平面内的一条直是由某平面内一个图形绕平面内的一条直线旋转一周而成的立体线旋转一周而成的立体,这条定直线称为旋转体的这条定直线称为旋转体的轴。轴。圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台xOyab xfy x 2( )S xfx 2bxaVfx dx l 由连续曲线由
10、连续曲线y=f(x), x=a, x=b, y=0 所围图形所围图形绕绕x轴轴旋转一周旋转一周生成旋转体的体积为：生成旋转体的体积为：l 由连续曲线由连续曲线x= (y), y=c, y=d, x=0 所围图形所围图形绕绕y轴轴旋转一周旋转一周生成旋转体的体积为：生成旋转体的体积为：xOycd xy 2dycVy dy 2( )S yy 一般地一般地, , 由连续曲线由连续曲线 y =(x) 、 y =g(x) 和直线和直线 x = a 、x = b所围成的平面图形绕所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成轴旋转一周而成的立体的体积为的立体的体积为oxyy=(x)abx x+dxy=g(x)22
11、( )( )bxaVfxgx dx 例：求由椭圆例：求由椭圆22221xyab旋转椭球体的体积旋转椭球体的体积旋转椭球体可看作由上半椭圆旋转椭球体可看作由上半椭圆绕绕x轴旋转。轴旋转。22byaxa222axabVaxdxa 所围成所围成的图形绕的图形绕x轴旋转而成的轴旋转而成的x243ab 222202abaxdxa 解：解：xOya22xaaby例：求由例：求由y=x2,x=y2所围成的图形绕所围成的图形绕y轴旋转而成的体积。轴旋转而成的体积。解：解：画图，画图，xOy2xy 2yx )(yx 求交点求交点： (0,0)(0,1)1 , 0 y积分变量：积分变量：yV 1220ydy 21
12、0ydy 10ydy15015y 120125y 32510 例：求由例：求由y=x2,y=x,y=2x所围成的图形绕所围成的图形绕x,y轴轴旋转而成的体积。旋转而成的体积。解：解： 画图，画图，xOyyx 2yx 2yx (1,1)(2,4)xV 2202xdx 120 xdx 2221xdx 32043x 3 1013x 52115x 323 13 315 6215 xOyyx 2yx 2yx (1,1)(2,4)yV 120ydy 241ydy 2402ydy 3 152 163 52 xOy21yx (0, 1) 2,21,xyyxxy求求由由所所围围图图形形的的面面积积，及及绕绕 轴
13、轴轴轴旋旋转转生生成成旋旋转转体体的的体体积积. .2xy 1(,0)2解：解： 画图，画图，221xyyx 11(1,1),( ,).42 交交点点为为(1,1)11( ,)42 S 112dy 1(2y 2)y 116 xV 210 xdx 211221xdx 3 yV 211212ydy 21212ydy 920 三、经济应用举例（一）已知总产量的变化率求总产量已知总产量的变化率求总产量已知某产品总产量已知某产品总产量Q的变化率是时间的变化率是时间t的连续函数的连续函数f(t),且时刻且时刻t0的产量的产量Q0,即即Q(t)=f(t), Q0=Q(t0) .则产品在则产品在t时刻的总产量
14、函数可表示为时刻的总产量函数可表示为000( )()( )(0)ttQ tQ tf t dtt 000( )()( )(0)ttQ tQ tf t dtt 注：通常假设注：通常假设t0=0时，时，Q0=0即即Q(t0)=0。l 例：某产品总产量变化率为例：某产品总产量变化率为f(t)=100+10t-0.45t2 (吨吨/小时小时),求求总产量函数总产量函数Q(t);从从t0=4到到t1=8这这段时间内的总产量段时间内的总产量 Q。l 解：解： tdssftQ0)()()(15. 0510032吨ttt)4()8(QQQ )815. 0858100(32)415. 0454100(32 tds
15、ss02)45. 010100(经济应用举例之二已知边际函数求总量函数已知边际函数求总量函数( )160.002().200,200.001 ,(1)( );(2)( )(3)(4)xC xxpxpxxC xxL x 例例：某某厂厂生生产产某某产产品品 单单位位的的边边际际成成本本是是元元/ /单单位位 固固定定成成本本为为元元 此此种种产产品品的的价价格格 是是产产量量 的的函函数数：求求：生生产产 单单位位产产品品的的总总成成本本生生产产 单单位位产产品品的的总总利利润润；生生产产多多少少单单位位产产品品才才能能获获得得最最大大利利润润；最最大大利利润润是是多多少少? ?0(1)( )(0
16、)( )xC xCC t dt 解解：0200(160.002 )xt dt 2160.001200 xx(2)( )( )( )L xR xC x( )pxC x2(200.001 )(160.001200)x xxx20.0024200 xx (3)( )L x 0.0044x ( )0L x 1000 x ( )Lx 0.004 (1000)0.0040L 1000 x是是极极大大值值点点, ,也也是是最最大大值值点点. .(4)(1000)1800.L 小结1. 求在直角坐标系下平面图形的面积。求在直角坐标系下平面图形的面积。 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周*作业：pp211，12(3)(5)，13(8),16
