1、几何非线性基础几何非线性基础第五章第五章 - 附录附录Basic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-2几何非线性基础几何非线性基础 G. 附录附录大应变理论大应变理论该附录中所包含的知识对于成功地使用该附录中所包含的知识对于成功地使用 ANSYS 中的几何非线性不中的几何非线性不是必需的是必需的, 因此因此, 通常不在课程中讲解通
2、常不在课程中讲解. 它作为附加的背景知识提供给那些希望更深入地理解它作为附加的背景知识提供给那些希望更深入地理解 ANSYS 大位大位移特征的用户移特征的用户.Basic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-3几何非线性基础几何非线性基础 附录附录将非线性应变定义推广到一般的三维情况将非线性应变定义推广到一般的三维情况 在二维和三维
3、中在二维和三维中, 当一个元件经历大应变变形时当一个元件经历大应变变形时, 不仅长度元素不仅长度元素改变改变, 厚度厚度、面积和体积也改变面积和体积也改变.AA0PBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-4几何非线性基础几何非线性基础 附录附录运动和变形运动和变形物体在外载荷的作用下会移动和变形物体在外载荷的作用下会移动和变
4、形.如果考察该物体上某一点的运动如果考察该物体上某一点的运动, 它的初始位置为它的初始位置为 X , 最终位置最终位置为为 x , 则位移量为则位移量为 u , 图中图中 XY X u x XxuBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-5几何非线性基础几何非线性基础 附录附录变形梯度变形梯度变形梯度是物体变形程度的度量变形梯
5、度是物体变形程度的度量, 定义为定义为变形梯度变形梯度 F 包含如下信息包含如下信息: 体积改变体积改变 转动转动 由于应变而引起的形状改变由于应变而引起的形状改变 XxFBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-6几何非线性基础几何非线性基础 附录附录 变形梯度变形梯度注意由定义注意由定义, 变形梯度变形梯度 F 消除了平动
6、消除了平动; 是应变定义的必要条件是应变定义的必要条件.当定义应变时当定义应变时, 还应排除转动部分还应排除转动部分 (因为它对应变没有贡献因为它对应变没有贡献), 并提并提取形状改变部分取形状改变部分. 这可以通过应用这可以通过应用极分解定理极分解定理 实现实现.Basic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-7几何非线性基础几何
7、非线性基础 附录附录极分解极分解变形梯度变形梯度 F 可以用极分解定理分解为转动部分和变形部分可以用极分解定理分解为转动部分和变形部分: F = R U R U = 转动矩阵转动矩阵, 包含物质点象刚体一样转动的量和方向包含物质点象刚体一样转动的量和方向的信息的信息.= 伸长矩阵伸长矩阵, 包含在物质点处物体的应变信息包含在物质点处物体的应变信息.Basic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctob
8、er 15, 2001Inventory # 0015655a-8几何非线性基础几何非线性基础 附录附录应变定义中应变定义中 U 的构造的构造知道了伸长矩阵知道了伸长矩阵 U , 对一维对数应变对一维对数应变 e el 和一维和一维 Green-Lagrange应变应变 e eG 进行推广进行推广, 可以构造出三维一般应变可以构造出三维一般应变. Basic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctob
9、er 15, 2001Inventory # 0015655a-9几何非线性基础几何非线性基础 附录附录Hencky应变应变对数对数 (Hencky) 应变按下式计算应变按下式计算:式中式中 e eH 是按矩阵形式表示的应变张量是按矩阵形式表示的应变张量. 在此情况下在此情况下, e eH 是一维对数或真实应变是一维对数或真实应变 e el 的三维等效的三维等效. UHlneBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Traini
10、ng ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-10几何非线性基础几何非线性基础 附录附录Green-Lagrange应变应变在三维中在三维中, 可以按下式所示直接由伸长矩阵可以按下式所示直接由伸长矩阵 U 计算计算 Green-Lagrange 应变应变:该度量从应变场估算中直接忽略转动矩阵该度量从应变场估算中直接忽略转动矩阵 R . e eG 可以用位移场可以用位移场的梯度项重写为下式的梯度项重写为下式:前两项是线性小应变项前两项是线性小应变项, 最后一项是对应变度量的非线性贡献最后一项是对应变度量的非线性贡献. IUUTG21e XuXuXuX
11、uTTGeBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-11几何非线性基础几何非线性基础 附录附录将非线性应力定义推广到一般三维情况将非线性应力定义推广到一般三维情况与一维中的情况一样与一维中的情况一样, 在二维和三维中有共轭应力度量在二维和三维中有共轭应力度量, 它可以对它可以对每一种非线性应变定义每一种非线性应变定义.Basi
12、c StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-12几何非线性基础几何非线性基础 附录附录Cauchy应力应力Cauchy 或真实应力张量或真实应力张量 t t (此处写为矩阵形式此处写为矩阵形式) 给出变形构件中给出变形构件中单位变形面积的当前力单位变形面积的当前力. 如果令如果令那么那么, 在三维中在三维中, Cauchy应力张量应力张
13、量 t t 把把 dP 与与 dA 联系起来联系起来Cauchy 应力是容易解释的物理量应力是容易解释的物理量.= 定义变形体中单元面积分量的矢量定义变形体中单元面积分量的矢量= 作用的相应单元力作用的相应单元力 dA dP dAdPtBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-13几何非线性基础几何非线性基础 附录附录第二第二
14、 Piola-Kirchhoff 应力应力令令 代表由变换形式代表由变换形式 推导出的力分量推导出的力分量还令还令第二第二 Piola-Kirchhoff 应力张量应力张量 S 把把 和和 联系起来联系起来 S 是对称应力张量是对称应力张量, 常常用于有限应变弹性公式中常常用于有限应变弹性公式中, 是是 Green-Lagrange 应变应变 e eG 的共轭应力张量的共轭应力张量. S 是个非物理的应力张量是个非物理的应力张量 (一一个伪应力张量个伪应力张量). 不能直接对不能直接对S 进行物理解释进行物理解释. Pd dPFPd1= 定义未变形体中单元面积的矢量定义未变形体中单元面积的矢量
15、, 这里这里 0dAdAdAndeformatio0 Pd0dA 0dASPdBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-14几何非线性基础几何非线性基础 附录附录t t 和和 S 的关系的关系物理的物理的 Cauchy t t 应力可以通过下式直接与非物理的第二应力可以通过下式直接与非物理的第二 Piola-Kirchhof
16、f伪应力伪应力 S 联系起来联系起来 : TFSFFdet1t tBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-15几何非线性基础几何非线性基础 附录附录完全一致非线性切向刚度矩阵完全一致非线性切向刚度矩阵众所周知众所周知, 在大多数非线性结构问题中在大多数非线性结构问题中, 应用一致非线性切向刚度应用一致非线性切向刚度矩阵可以迅
17、速提高基于矩阵可以迅速提高基于 Newton-Raphson 求解过程的收敛速度求解过程的收敛速度.一致或完全切向刚度矩阵通常在迭代求解过程中产生二次方的收敛一致或完全切向刚度矩阵通常在迭代求解过程中产生二次方的收敛速度速度.Basic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-16几何非线性基础几何非线性基础 附录附录何谓一致非线性刚度
18、矩阵何谓一致非线性刚度矩阵?一致非线性刚度矩阵一致非线性刚度矩阵 通过对离散化的有限元方程求导得到通过对离散化的有限元方程求导得到, 它是单元内力矢量它是单元内力矢量 和单元施加的载荷矢量和单元施加的载荷矢量 的函数的函数. nleK inteF aeFBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-17几何非线性基础几何非线性基础
19、 附录附录离散化的非线性静态有限元方程离散化的非线性静态有限元方程求解的离散化的非线性静态有限元方程可以在单元层次上描述为求解的离散化的非线性静态有限元方程可以在单元层次上描述为:式中式中 01eNeaeinteTnFFT= 单元总数单元总数= 单元坐标系中的单元内力矢量单元坐标系中的单元内力矢量= 转换矩阵将转换矩阵将 变换到全局坐标系变换到全局坐标系= 全局坐标系中全局坐标系中, 在单元层次上施加的载荷矢量在单元层次上施加的载荷矢量eNinteFaeFnTinteFBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities
20、 Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-18几何非线性基础几何非线性基础 附录附录单元内力矢量单元内力矢量单元内力矢量单元内力矢量 由下式给出由下式给出inteF eVTvintedVBFe式中式中= 单元应变单元应变 - 节点位移矩阵节点位移矩阵= 单元应力矢量单元应力矢量= 单元体积单元体积vB eV按照上面给出的内力定义按照上面给出的内力定义, 离散化的非线性有限元方程离散化的非线性有限元方程 (力平衡力平衡) 可以重写为可以重写为: 01e
21、eNeaeVevTnFdVBTBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-19几何非线性基础几何非线性基础 附录附录推导增量非线性刚度矩阵推导增量非线性刚度矩阵一致非线性刚度矩阵一致非线性刚度矩阵 通过对离散化的有限元方程求导获得通过对离散化的有限元方程求导获得,如下所示如下所示:nleK aeueeinceaeinteTnnl
22、eKKKKFFTuK式中式中 eNlVvNkninceincedVjullkBkiTjiKKeu ,11 eNlVvNkneedVljulkBkiTjiKKeu 11, eNlVvNknueuedVllkBjukiTjiKKeu,11 uFKaeaeComponentsStressofNumberNFreedomofDegreesElementofNumberNuuBasic StructuralBasic StructuralBasic Structural Nonlinearities Nonlinearities Nonlinearities 6.0 6.0 6.0Training ManualOctober 15, 2001Inventory # 0015655a-20几何非线性基础几何非线性基础 附录附录一致非线性刚度矩阵一致非线性刚度矩阵 aeueeincenleKKKKKinceKeKueKaeK= 主切向矩阵主切向矩阵= 初始应力矩阵初始应力矩阵, 包括包括应力刚化应力刚化 效应效应= 初始位移初始位移-转动矩阵转动矩阵, 包括刚度关系中几何形状变包括刚度关系中几何形状变化效应化效应.= 初始载荷矩阵初始载荷矩阵, 包括刚度关系中载荷方向变化效包括刚度关系中载荷方向变化效应应 (跟随力跟随力).
