1、 模型一：同一三角形中，相应面积与底模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：的正比关系： 即：两个三角形高相等，面积之比即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。等于对应底边之比。 S S1 1S2 2 =a =ab 模型一的拓展：模型一的拓展： 等分点结论（等分点结论（“鸟头定理鸟头定理”）6:14312）：（积阴影面积：大三角形面1 1、两个三角形中有一个角、两个三角形中有一个角相等或互补相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形这两个三角形叫做共角三角形2 2、共角三角形的面积比等于对应角、共角三角形的面积比等于对应角( (相等角或互补角相等角或互补角) )两夹边的乘积之比两夹边
2、的乘积之比2cm1404331-3221-4121-1480）（练习练习1 1、如图、如图BE=EF=FCBE=EF=FC，BD=2ADBD=2AD，AC=3CGAC=3CG，三角形三角形ABCABC的面积为的面积为3636，求阴影部分的面，求阴影部分的面积。积。16)3131313232311 (36特殊点法特殊点法根据鸟头定理根据鸟头定理 练习练习3 3在边长为在边长为6 6厘米的正方形内任取一点厘米的正方形内任取一点p p，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与等分，分别与p p点连接点连接, ,求阴影部分面积求阴影部分面积特殊点法特殊点
3、法模型二： 任意四边形中的比例关系 （“十字定理”）?S?4?S?3?s?2?s?1?O?D?C?B?A4312BOSSSSDO4231SSSS 设设AOOC=?S1S4=?S2S3=a:b ?S1=ax,?S4=bx,S2=ay,?S3=by 则（则（S1+S2）（S4+S3） =（ax+ay）：）：（bx+by） =a（x+y）：）：b（x+y） =a:b =?AOOC?S?4?S?3?s?2?s?1?O?D?C?B?A蝴蝶定理：蝴蝶定理：（S1+S2）（S4+S3）=AOOC 练习4.如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米，BOC面积
4、为2平方千米，COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？258.092.6321231km 模型三：梯形中比例关系?S?4?S?3?s?2?s?1?b?aS S2 2= =S S4 4 S S1 1S S2 2= =S S1 1S S4 4=a:b=a:bS S1 1S S3 3=a=a2 2b b2 2S S1 1S S3 3S S2 2S S4 4= a= a2 2b b2 2ababab ; ab ; S S的对应份数为（的对应份数为（a+ba+b）2 2梯形的下底是上底的梯形的下底是上底的1.5倍，三角形倍，三角形AOD的面的面积是积是9
5、平方厘米，问三角形平方厘米，问三角形AOB的面积是多少的面积是多少 ?A?B?C?D?O?O?D?C?B?A 如图，长方形中，若三角形如图，长方形中，若三角形1的面积与三角的面积与三角形形3的面积比为的面积比为4：5，四边形，四边形2的面积为的面积为36，则三角形则三角形1的面积为的面积为_ 3 2 1模型四：相似三角形性质?h?h?H?c?b?a?C?B?A?a?c?b?H?C?B?AabchABCHS S1 1S2 2=a=a2 2A2 2 与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，相似三角形的一切对应线段的长度
6、成比例，并且这个比例等于它们的相似比；并且这个比例等于它们的相似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半所对应的底边长的一半 ?O?D?E?C?B?A?O?D?E?C?B?A解：根据解：根据“A A”字形相似字形相似：14EDBC 根据“8”字形相似：211416:1:16DEOBOCBOCEODBOCsssss根据根据“十十”字形定理字形定理：21 164BOE
7、DOCss 4BOEDOCBOEDOCssss44 1 1625BCDEs 梯根据根据“A A”字形相似字形相似，116AEDABCss225516 13AEDscm模型五：燕尾定理 SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB?F?E?D?C?B?AG?F?E?D?C?B?A?3?3?3?2?1?F?E?D?C?B?A?S56S2BEFcmABC8 88 85=12.85=12.8？ ：已知：已知 ABD，AC、DF交于交于E点点 求证：求证：1FBAF AECEDCBD证明证明梅涅劳斯定理梅涅
8、劳斯定理1FBAF AECEDCBDABFDEEAABFDBDEADESSSSSBDDS证：1证毕梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理 已知已知 ABD，AC、DF交于交于E点点 则有：则有：1FBAF AECEDCBD当三角形的顶点向对边连线并交于一点时，从三角形当三角形的顶点向对边连线并交于一点时，从三角形任一顶点出发，沿顺（或逆）时针，按任一顶点出发，沿顺（或逆）时针，按“部、部、全、部、部、全、部、部、部部、部、部”的顺序，一笔画并回到起点。的顺序，一笔画并回到起点。 如图：G、H是AC的三等分点，D是BC的四等分点，求AF：FE：ED=（ ）：（ ）：（ ）思考：塞瓦定理 设M是三角形ABC内的
9、任意一点，直线AM、BM、CM分别交对边于点D、E、F，则 BDDCCEEAAFFB1当三角形的顶点向对边连线并交于一点时，从三角形当三角形的顶点向对边连线并交于一点时，从三角形任一顶点出发，沿顺（或逆）时针围着三角形的外周，任一顶点出发，沿顺（或逆）时针围着三角形的外周，按按“部、部、部、部、部、部部、部、部、部、部、部”的顺序，一笔画并回的顺序，一笔画并回到起点。到起点。练习、图形阴影面积计算FE、求阴影面积（长方形长5厘米，宽4厘米），分别为所在边中点。（08中高原题） 如图BD2DC，AF2FD，EC12，求AE。（09中高原题）格点与面积 【例例】下图由下图由16个面积是个面积是1平
10、方厘米的小正平方厘米的小正方形组成，求阴影部分的面积。方形组成，求阴影部分的面积。皮克公式：若每个小方格面积均为若每个小方格面积均为1 1，则：则：格点多边形面积格点多边形面积= =外周格点数外周格点数2+2+内部格点数内部格点数-1-1S=S=3 32+2-12+2-1 = =2.52.5(C(C) )练习：图中每个小正方形的面积都是1平方厘米,求图中阴影部分的面积.(每个小正方形的面积为2平方厘米呢？) 4 4、右图中每个小正方形的面积为、右图中每个小正方形的面积为1 1平平方分米，那么阴影部分的面积是多少方分米，那么阴影部分的面积是多少平方分米？平方分米？ 圆的半径是6厘米，圆与圆内正12边形的面积差是多少？
