1、第七章第七章点的一般运动、刚体的基本运动点的一般运动、刚体的基本运动引言一、空间、时间与物质运动的关系一、空间、时间与物质运动的关系1、物体的运动速度接近光速或超越光速时， 空间、时间与物质的运动是相互关联的。2、经典力学范围内，认为空间、时间与物 质的运动无关。二、运动学的研究对象二、运动学的研究对象 经典力学中的运动学在被认为在与运动无关的空间和时间中研究物体运动的几何性质三、运动学的建立基础三、运动学的建立基础 由于经典力学中空间、时间与物体运动的无关性，因此整个运动学的理论体系可建立在欧几里德几何学公理的基础上。四、运动学中的两种力学模形：四、运动学中的两种力学模形：点： 不计尺寸大小
2、的物体。刚体：形状和大小都不变化的物体。五、运动学中与时间相关的两个五、运动学中与时间相关的两个重要概念重要概念瞬时和时间间隔瞬 时：在整个时间流逝过程中的某一时刻。 在抽象化后的时间轴上，瞬时是时间轴上的一个点。开始计算时间的瞬时称为初瞬时时间间隔：两个瞬时之间流逝的时间。六、运动学中与位置相关的六、运动学中与位置相关的重要概念重要概念参考体参考体：描述物体的运动之前所选取的作为 参照物的物体。参考系：将所选取的参考体经抽象化处理， 以坐标系的形式出现。（坐标系， 参考坐标系）1、点的运动的表示方法、点的运动的表示方法 三种：矢径表示法， 笛卡儿坐标表示法， 弧坐标表示。2、刚体的基本运动、
3、刚体的基本运动 两种：刚体的平行移动， 刚体的定轴转动。内容提要内容提要3、定轴轮系的传动比、定轴轮系的传动比 两种：齿轮传动， 带轮传动。4、刚体角速度和角加速度的矢量表示、刚体角速度和角加速度的矢量表示 角速度矢、角加速度矢5、转动刚体上点的速度和加速度的矢积表示、转动刚体上点的速度和加速度的矢积表示6、泊松公式、泊松公式OPrrP rvvS第一节：点的运动的表示方法第一节：点的运动的表示方法 一、矢径表示法：一、矢径表示法：P、P动点v、v 动点的瞬时速度r、r 动点的瞬时矢径r t时间间隔内矢径改变量 S 动点运动轨迹，矢径端图矢径端图 o 参考点第一节：点的运动的表示方法第一节：点的
4、运动的表示方法 一、矢径表示法：一、矢径表示法：1、运动方程（运动规律）：、运动方程（运动规律）： 由于矢径r的大小与方向均随时间t而变，是t的单值连续的矢量函数，故可表示如下：( )(5 1)rrtOP(t)rrP(t+ t) rvvS运动方程运动方程2、运动速度：、运动速度：0lim52rrvr （）tdtdtOP(t)rrP(t+ t) rvvS平均速度平均速度瞬时速度瞬时速度rvt速度单位速度单位)/(/sm秒米、加速度：、加速度：220lim53vvrar （）tddtd td tOP(t)rrP(t+ t) rvvS平均加速度平均加速度tva瞬时加速度瞬时加速度加速度单位加速度单位
5、)/(/22sm秒米讨论：速度矢端图讨论：速度矢端图 点的加速度是矢量，如果将各瞬时动点的速度矢量的始端画在同一点O，按照时间顺序，这些速度矢量的末端将描绘出一条连续的曲线，称为速度矢端图。vvoMMa 如图所示，速度为v 时的加速度方向为M点的切线方向。指向速度矢变化的方向。 速度矢端图的作用：确定瞬时加速度方向。速度矢端图总结总结 动点的速度等于其矢径对时间的一阶导数，方向沿动点的速度等于其矢径对时间的一阶导数，方向沿轨迹在该点的切线方向，指向与动点运动方向一致。轨迹在该点的切线方向，指向与动点运动方向一致。变矢量变矢量 A(t) 对时间对时间t的的导数导数 dA(t)dt 为一新变矢。此
6、新为一新变矢。此新变矢为变矢为变矢量变矢量 A(t) 端点的速度端点的速度u。 动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数, 等于等于位矢位矢 对时间的二阶导数。其方向对时间的二阶导数。其方向 为为 v的极限方向的极限方向二、笛卡儿坐标表示法：二、笛卡儿坐标表示法：OrMxzyyxzkjir= ix + jy + k z1、运动方程（运动规律）：、运动方程（运动规律）： 由于动点在空间的位置可用坐标唯一的确定，而坐标x、y、z又是t的单值连续的矢量函数，故可表示如下：)45()()()(321tfztfytfx运动方程运动方程2、运动速度：、运动速度： 将
7、式 r=ix+jy+kz 对时间求一阶导数，并注意到i、j、k 是常矢量，然后再将其代入公式（5-2） ，即可得到速度在笛卡儿坐标系中的表达式：()5 5xyz（）vrijk速度的笛卡儿坐标表达式速度的笛卡儿坐标表达式OrMxzyyxzkjir = i x + j y + k z速度的笛卡儿坐标轴上的投影式速度的笛卡儿坐标轴上的投影式合速度大小合速度大小)65(zdtdzvydtdyvxdtdxvzyx)75(222zyxvvvv合速度方向合速度方向c o sc o s(58 )c o s)v , iv , jv , k（）（） （xyzvvvvvv 合速度的方向由其方向余弦确定2、运动加速度
8、：、运动加速度：59vavrijkt （）dxyzd 同理，将速度对时间求一次导数，即可求得加速度的笛卡儿坐标表达式及其在笛卡儿坐标轴上的投影式：加速度的笛卡儿坐标表达式加速度的笛卡儿坐标表达式加速度在笛卡儿坐标轴上的投影式加速度在笛卡儿坐标轴上的投影式合加速度大小合加速度大小)105(222222zdtzdaydtydaxdtxdazyx )115(222zyxaaaa合加速度方向合加速度方向 合加速度的方向由其方向余弦确定c o sc o s(51 2 )c o s)a , ia , ja , k（）（） （xyzaaaaaa总结总结 笛卡儿坐标法是矢径法的代数运算。笛卡儿坐标法是矢径法的
9、代数运算。 动点的速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应坐动点的速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应坐标对时间的一阶导数。标对时间的一阶导数。动点的加速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应的动点的加速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应的速度对时间的一阶导数，亦等于其对应坐标对时间的二速度对时间的一阶导数，亦等于其对应坐标对时间的二阶导数。阶导数。举例： 人造地球卫星的运动轨迹椭园（左图） 火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点的运动轨迹 摆线（右图）01-5-1224xyz三、弧坐标表示法：三、弧坐标表示法：SOM)()( O点 参考点、弧坐标原点。 S 弧坐标、O点至动点M的弧长。是时间 的单值函数。正
10、负号 规定参考点的一侧方向为正向，相应部 位的弧长为正值；另一侧方向为负向，相 应部位的弧长为负值。概念概念自然轴系自然轴系OM)()(MsAB为切向单位矢量， P点的密切面。曲线在即空间平面趋于一极限位置，MPPMM / 由于M点附近的微小弧段可以可以近似的看成为一条在密切面内的平面曲线，因此对平面曲线而言，密切面就是该曲线所在的平面。A密切面nMb主法线B主法线切线法面为副法线为主法线法面密切面密切面法面，bbnnbnbn坐标轴。成的坐标轴即为自然互垂直矢量的轴线构向单位矢量，三个相切向、主法向和副法分别为、bn自然轴系方向规定 的正向指向弧坐标正向，n 的正向指向曲线在M点的曲率中心，b
11、 的正向则由右手规则决定，即 b= n自然轴系特征及与笛卡儿坐标系的区别 自然轴系 、n、b的方向随动点位置的变动而变动， 单位矢量 、n、b的方向不断变化。笛卡儿坐标系为固定坐标系，单位矢量i、j、k为定矢。、 运运动动方方程程：)135()(tfS运动方程运动方程 由于动点在空间的位置可用坐标唯一的确定，而坐标s又是t的单值连续的矢量函数，故可表示如下：SOM)()(2、运动速度：、运动速度：公式推导公式推导dddsdtdsdt =rrv0lim1sdrdss 而 rdds故 r dddsvdtdsdt = rrv 结论结论 动点的速度沿其运动的轨迹方向，大小等于弧坐标对时间的一阶导数。3
12、、运动加速度：、运动加速度：ndd vdvdvdtdtdtdt（）vaaa 切向加速度切向加速度22dvd sdtdt（）a 法向加速度法向加速度ndvdt（5-17）a 反映速度大小的加速度反映速度方向变化的加速度讨论：法向加速度的计算讨论：法向加速度的计算97-1-13097-1-129MTMTOSvvv 计算法向加速度需首先清楚曲线曲率的概念，为此，下面对曲率进行分析。的平均曲率弧ssK*点的曲率MdsdsKs0lim000002( l i m l i m l i m l i ml i m ntttttddvavd td tvtvtsvstsvstvd sd tv (5 18)沿轨迹的法
13、线（曲率半径）指向曲率的中心。 (5-19)naaa 大大 小小2222222（520）0nnbnaaaaaaaa 方方 向向tan（ 5-21）na a全加速度全加速度Mnaaa注注：判判别别点点作作加加速速运运动动还还是是减减速速运运动动，是是用用 a ，而而不不是是用用 a,与与直直线线运运动动情情形形相相似似,当当 v 与与 a 同同号号,点点作作加加速速运运动动,反反之之作作减减速速运运动动。几种特殊情况几种特殊情况(522)ossvt匀速曲线运动匀速曲线运动2221(523)22()ooooovva tssv ta tvvass 例例 1、下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕
14、水平轴 o 转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径 R=16cm，料斗沿铅垂提升的运动方程为 y=2t2，y 以 cm 为计，t 以 s 为计。求卷筒边缘上一点 M 在 t=4s 时的速度和加速度。匀变速曲线运动匀变速曲线运动典典型型例例题题解：解： （1） 、分析运动 卷筒边缘上 M点沿半径为 R 的圆周运动。 （2） 、列运动方程，求未知量卷筒边缘上 M 点沿半径为 R 的圆周运动。22:,0,:tysMMMAtAtMoo坐标为点的弧处，点到达处，料斗在处；在瞬时料斗在，此时为弧坐标原点设AoAyRoMMMoaanaRoMMMoaana21425. 0arctan25. 0164/5 .1616
15、4/161616/4/16444222222222onnnaatgscmaaascmRvascmdtdvascmtdtdsv常量从而，例例 2列车沿曲线轨道行驶，初速度 v1=18km/h，速度均匀增加，行经 s=1km 后，速度增加到 v2=54km/h，若铁轨形状如下图所示。在 M1及 M2的曲率半径分别为：1=600m、2=800m。求列车从 M1到 M2点处所需的时间和经过 M1和 M2处的加速度。11M1a1v1na1a2na2M22a2a2v解解： （1） 、分析运动 列车作匀变速曲线运动 （2） 、列运动方程，求未知量svvasavvavvttavvdtdva2212221221
16、212故，常数由题意可知：nnnaaaaavatan222另外，上述各式中代入各已知量即可求出各未知量。例例 3、下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长为 r，自水平位置开始以匀角速度转动，即=t。滑槽 KK与导杆 BB 制成一体。曲柄端点 A 通过滑块在滑槽 KK 中滑动，因而曲柄带动导杆 BB 作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。97-1-11001-5-129xxxBBKKMor解解:分析运动分析运动:因滑槽因滑槽 K与导杆制成与导杆制成一体，且作直线运动，一体，且作直线运动，故滑槽中点的运动可故滑槽中点的运动可代表导杆的运动。代表导杆的运动。列列运运动动方方
17、程程由由图图中中的的几几何何关关系系，可可知知点点的的坐坐标标为为：)(sinsinsinatrrOAOMxavt及即可得分别求一阶和二阶导数将上式对trdtdxvcostrdtdvasin201-5-121701-5-1210 xvatttrxmaxrxminminvmaxvminamaxa)(31b图结结 果果 分分 析析 ：见见 右右 图图 。 例例4. 曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构(下图）当曲柄OA绕0轴转动时，由于连杆AB带动，滑块B沿直线作往复运动。曲柄连杆机构在工程上有广泛的应用。在蒸汽机、内燃机中，用它将往复直线运动转换为回转运动；在往复式水泵、曲柄冲压机中，应用
18、它将回转运动转换为往复直线运动。设曲柄OA长为r，以匀角速绕0轴转动，即=t，连杆AB长为L。试求滑块B的运动方程、速度和加速度。解解：运运动动分分析析：滑块 B 沿直线作往复运动 列列运运动动方方程程： 如图所示，取滑块 B 的直线轨迹为 x 轴，o 为坐标原点。由几何关系可知，B 点的运动方程应为：)(coscosaLrCBOCOBx)()(sin1sin1cos:sinsin:222bLrLr即又因。以后的项目均可略去故则因一般的连杆机构中得展开为级数将)sin81,0016. 0,04. 0, 2 . 0(sin211sin81sin211sin1,sin14442224422222
19、)()sin211 (cos:22dtLtrx从而运动方程简化为avt及即可得分别求一阶和二阶导数将上式对)()2cos4(cos)41 (:)()2cos1 (21sin:22ettrLxdtt式并整理得代入可得利用倍角三角函数公式)()2cos(cos2gttrdtdva)()2sin2)(sinfttrdtdxv01-5-1210 xvatttrxmaxrxminminvmaxvminamaxa)( 31b图例例 6、下图是矿井提升机。主要数据如下：提升高度为876m，开始提升时罐笼的加速度是 0.7m/s2,速度达到7.84m/s 后,即以此速度匀速提升,最后再以减速度 0.7m/s2
20、减速提升,直到最后停止。试求提升一所需的时间 T。tv1t2t3tTabocsm/84. 7o 列运动方程：列运动方程：1).t1的计算由匀加速直线运动公式:解解：运运动动分分析析：罐笼沿铅垂线运动，第一阶段为匀加速直线运动，第二阶段为匀速直线运动，第三阶段为减速直线运动，图 17 为该罐笼的速度图。111tavvo代入上式即可求得时时将;/7 . 0,/84. 7,;/7 . 0, 0,0211121smasmvttsmavtost2 .111 2).t3的计算由匀减速直线运动公式:3323tavv代入上式即可求得时将. 0,;/7 . 0,/84. 7332312vttsmasmvvst2
21、 .113 3).t2的计算最后计算 t2。必须考虑起动和制动阶段所走过的路程。在 t1时间内提升罐笼的高度 h1，可由匀变速运动的路程公式求得：mh44)2 .11(7 . 021:21代入数据得2111121tatvhomh44:3同理可求出mhhhh788442876:312于是可求出sttttSt8 .1222 .114 .1002 .11:4 .10084. 7788:,3212时间为从而可得提升一次所须故该阶段所须时间为运动阶段由于该阶段为匀速直线第二节第二节 刚体的基本运动刚体的基本运动一一、刚刚体体的的平平动动定定义义ABMOO运动时刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。 刚体
22、平动时，其上所有各点的运动轨迹相同；在每一瞬时，各点的速 度相同、加速度也相同。AvBvAaBaArABrBrAB1B2B1A2AoABr常矢量刚刚体体平平动动的的特特点点(524)ABBAABABBBABAAddddtdtdtdddtdtrrrrrvvaarrr 刚体上任一点的运动可以代表整个刚体运动，即刚体的平动可以归结为点的运动来研究。结结论论二、二、刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动刚体转动时，刚体内始终有一条直线固定不动，而这条直线以外的各点则绕此直线作园周运动。定定义义IIIo)(I 通过 z 轴的 固定平面。II通过 z 轴随 刚体一同转 动的平面。某一瞬时 t 时 I、II 两 平面
23、之间的 夹角。转动方程转动方程IIIo)(I 通过 z 轴的 固定平面。II通过 z 轴随 刚体一同转 动的平面。某一瞬时 t 时 I、II 两 平面之间的 夹角。=(t) (5-25) 刚体绕定轴转动的转动方程的性质代数量。的方向从转轴 z 的正端向负端看，逆时针转动为 正，顺时针转动为负。( )dtdt（-）向一致。的正向一致，反之与负与的值为正，则若某一瞬时dtd的性质代数量。的的方向：转动方程转动方程角速度角速度2( )527ddtdtdt（） 的 性质代数量。的的方向：反之与负向一致。的正向一致，与的值为正，则若某一瞬时dtd与的关系：与同号时，刚体作加速运动，反之 作减速运动。角加
24、速度角加速度两两种种特特殊殊的的情情况况（） 、匀匀速速转转动动 为为常常量量（2） 、匀变速转动） 、匀变速转动 为常量为常量2221(529)22()ooooottt dtd(528)oott由于为常量，故由上式可得：其中o刚体在 t=0 时的转角加速度。时，转轴的角速度与角求当的单位为的单位为。动方程为、已知电动机转轴的转例ststradt2);,(212sradtdtd/84 常量 22/4sraddtddtd解解： 由于与同号且为正，并且=常量，故知转轴按逆时针方向作匀加速转动。举举例例。动，求主轴的角加速度过程是匀变速转以便很快反转。设停车轴在两转后立即停止，要求主床主轴的转速、车
25、细螺纹时，如果车例min/3002rno解解：)(422, 0),/(103030030:radSradnoo已知(1) 分析运动：分析运动：主轴是匀变速转动(2) 列出匀变速转动公式，求未知量列出匀变速转动公式，求未知量(3)、分析讨论：、分析讨论：负号表示的方向与主轴转动方向相反，故为减速运动。222/25.39:)0()(2sradooo将已知数据代入即可得yxrooMMvs瞬时点的位置。弧坐标的原点。转动半径。如图所示tMMro:三三、定定轴轴转转动动时时刚刚体体内内各各点点的的速速度度和和加加速速度度速速度度:2(531)26060dndnvr或物理意义：转动刚体上任意点的速度等于该
26、点转 动半径与刚体角速度的乘积，方向垂 直于转动半径，指向与的转向一致。()(530)dsddvrrrdtdtdt则 M 点的速度为： 根据平面曲线运动规律可知：此处点的加速度包括切向加速度和法向加速度，它们分别为：222()(532)()ndvddarrrdtdtdtvrarr物理意义：转动刚体上任意点的切向加速度等于该点转 动半径与刚体角加速度的乘积，方向垂直于 转动半径，指向与的转向一致。法向加速度加速度加速度等于该点转动半径与刚体角速度平方的乘积，方向指向园心 O。2222 22222()()5 33tannnaaarrrarar（）.之间的夹角全加速度与该点半径其中全全加加速速度度x
27、yxyanaaMooMa由于在每一瞬时，刚体的和对于其上所有各点来说具有相同的数值，所以由式（5-32）和式（5-33）可知：在每一瞬时，转动刚体内所有各点的切向加结结论论速度、法向加速度以及全加速度都与各点的转动半径成正比。在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度与转动半径的夹角都相同，即角与转动半径的大小无关。Mv钢坯辊子例 3、下图是辊道工作原理简图，已知辊子直径d=200mm，转速 n=50r/min，求辊道上钢坯运动速度。举举例例解解：（1） 分析运动：分析运动：钢坯平动，辊子的运动是定轴转动（2） 求未知量：求未知量：辊子同钢坯接触点的速度即为钢坯的 运动速度。smsmmdnvM/
28、524. 0/524605020060yRM加速度。速度及角是常数，求卷筒的的角，其中直线规律上升，匀变速、矿井提升机的罐笼按例ooatay2214解解：（1） 分析运动：分析运动：罐笼平动，卷筒定轴转动（2） 求未知量：求未知量：tatadtddtdyvtayooo)21(:,2122得由常数又RaaRataRRvadtdvaoooo1 第三节、第三节、定轴轮系的传动比定轴轮系的传动比 主动轮与从动轮转速的比值主动轮与从动轮转速的比值一、胶带传动97-1-119ABBvAv1r2r12III121221121221(534)rirorndindABBvAv1r2r12III二、齿轮传动122
29、1221112212211(535)rZirZorndZindZ式中:r齿轮节园半径d齿轮节园直径Z齿轮的齿数举举例例31134321min/3000)()(7012601016252nrnbiaZZZZ，求如果；减速箱的总传动比。求：，组成，其齿数分别为齿轮是一减速箱，它由四个、图例解解：（1） 分分析析运运动动：各各轮轮都都作作转转动动,它它是是定定轴轴轮轮系系传传动动问问题题（2） 求求未未知知量量：12341n2n3nIIIIIImin/868 .3430008 .348 . 568 . 512706106013133113231232213113133432232312211212r
30、innnniiinnnnnniiIIIIZZnniiIIIIIZZnniiIII由轴的传动比轴与轴的传动比轴与轴的传动比轴与。，求堆料机推头的速度，动机构简图。已知是加热炉前堆料机的传、图例mmdmmdmmdmmdmmdrn2006001001000100min/30007262543211（1） 分析运动：齿条和推头作平动分析运动：齿条和推头作平动,各齿轮均作转动各齿轮均作转动（2） 求未知量：求未知量：解解：:，故得推头的速度速度，即推料机齿轮和齿条相啮合点的如图所示cv)(35arvc601001006001000:3412231213ddddiii首先 IIIIII1n1d2d3d4d
31、5d齿条推头ABC3nCcv齿条齿轮 smmrvasradnrinnc/3 .526100:,)(/630530:min/560300:353331313即得推料机的速度为式代入将从而即第四节：刚体的角速度与角加速度的矢量表示第四节：刚体的角速度与角加速度的矢量表示 点的速度与加速度的矢积表示点的速度与加速度的矢积表示表示转轴位置、角速度 大小及方向的矢量。(5-36)ddtk 方向按右手法则确定zoK一、刚体的角速度与角加速度的一、刚体的角速度与角加速度的矢量表示矢量表示角速度矢角速度矢设OZ的正向单位矢为k k，则：22dddtdtK （5-37）角加速度矢角加速度矢总结总结因角速度矢 、
32、角加速度矢 可以从转轴上的任意点画 起，故其为滑动矢量。刚体转动时， 与 同向则加速，反向则减速。pp vr (5-38)二、点的速度与加速度的矢积表示二、点的速度与加速度的矢积表示npazpa r pvP速度速度 上式之所以成立，原因有两个：按照右手螺旋法则，等号两边矢量的方向一致。 等号两边矢量的模相等。sinppRrrv加速度加速度ppPppPppnppddddtdtdt（） vrarrvrraa (5-39) 上式之所以成立，原因同样有两个：按照右手螺旋法则，等号两边矢量的方向一致。 等号两边矢量的模相等。（证明略）ppnpp arar (5-40) 其中三、泊松公式三、泊松公式ijKyxzo zo1P3P2P 设一动坐标系O1xyz绕定轴oz以角速度转动，其上单位矢（i，j，k）求：,ddddtdtdtijk 由变矢量对时间导数的的几何解释可知其分别为单位矢i，j，k的端点P1、P2、P3沿其端（三个同轴圆）的速度。123()()()(5 - 4 1 )PPPdvd tdvd tdvd t iijj kk 泊松公式泊松公式jyxzo zo2P2Pror22222PoPoPoPoPodddd td td tvrrrr （） jrrrrj = vj证明证明同理，另外两式可以得到论证。
