1、2022-6-1机械设计教研室1第三章第三章 基本体及其表面交线基本体及其表面交线 3.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注 3.2 平面与立体相交平面与立体相交 3.3 立体与立体相交立体与立体相交 2022-6-1机械设计教研室23.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注 立体是由面围成的，立体可分为平面立体和曲面立体两类。如果立体表面全部由平面所围成，则称为平面立体，最基本的平面立体有棱柱和棱锥等。如果立体表面全部由曲面或曲面和平面所围成，则称为曲面立体，最基本的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球等。工程制图中，通常将棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球等简单立体称为基本几何体，简
2、称基本体。 2022-6-1机械设计教研室33.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注3.1.1.1 棱柱棱柱 以正六棱柱为例。如图31（a）所示为一正六棱柱，由上、下两底面（正六边形）和六个棱面（长方形）组成。设将其放置成上、下底面与水平投影面平行，并有两个棱面平行于正投影面面。 3.1.1平面立体的投影及表面取点平面立体的投影及表面取点 1. 棱柱的投影棱柱的投影 admAbacmbMCb(c)mDa(d)Bdc2022-6-1机械设计教研室4 上、下两底面均为水平面，它们的水平投影重合并反映实形，正面及侧面投影积聚为两条相互平行的直线。六个棱面中的前、后两个为正平面，它们的正面
3、投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。其他四个棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。 3.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注2022-6-1机械设计教研室53.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注 作图方法与步骤如图31（b）所示：（1）作正六棱柱的对称中心线和底面基线，画出具有形状特征的投影水平投影。（即特征视图）（2）根据投影规律作出其他两个投影。从图31（b）可以看出正棱柱的投影特征：当棱柱的底面平行某一个投影面时，则棱柱在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的矩形线框所组成。202
4、2-6-1机械设计教研室63.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注3.1.1.1 棱柱棱柱 如图31（b）所示，已知棱柱表面上点M的正面投影m，求作它的其他两面投影m、m。因为m可见，所以点M必在面ABCD上。此棱面是铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，故点M的水平投影m必在此直线上，再根据m、m 可求出m。由于ABCD的侧面投影为可见，故m 也为可见。（注意：点与积聚成直线的平面重影时，不加括号）3.1.1平面立体的投影及表面取点平面立体的投影及表面取点 2. 棱柱表面上点的投影棱柱表面上点的投影 cadmabd cmma(d)b(c)b2022-6-1机械设计教研室73.1 基本
5、体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注3.1.1.2 棱锥棱锥 以正三棱锥为例。如图32（a）所示为一正三棱锥，它的表面由一个底面（正三边形）和三个侧棱面（等腰三角形）围成，设将其放置成底面与水平投影面平行，并有一个棱面垂直于侧投影面。 3.1.1平面立体的投影及表面取点平面立体的投影及表面取点 1. 棱锥的投影棱锥的投影 bkacs)(cambsSmBcbMKAmkasC2022-6-1机械设计教研室8 由于锥底面ABC为水平面，所以它的水平投影反映实形，正面投影和侧面投影分别积聚为直线段abc 和a(c )b。棱面SAC为侧 垂 面 ， 它 的 侧 面 投 影 积 聚 为 一 段 斜 线
6、sa(c)，正面投影和水平投影为类似形sac 和sac，前者为不可见，后者可见。棱面SAB和SBC均为一般位置平面，它们的三面投影均为类似形。 棱线SB为侧平线，棱线SA、SC为一般位置直线，棱线AC为侧垂线，棱线AB、BC为水平线。3.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注2022-6-1机械设计教研室93.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注作图方法与步骤如图32（b）所示：（1）作正三棱锥的对称中心线和底面基线，画出底面ABC水平投影的等边三角形。（即特征视图）（2）根据正三棱锥的高度定出锥顶S的投影位置，然后在正面投影和水平投影上用直线连接锥顶与底面四个顶点的投影
7、，即得四条棱线的投影。（3）根据投影规律，由正面投影和水平投影作出侧面投影。 从图31（b）可以看出正棱锥的投影特征：当棱锥的底面平行某一个投影面时，则棱锥在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的三角形线框所组成。cass(cc)baabs2022-6-1机械设计教研室103.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注3.1.1.2 棱锥棱锥 如图32（b）所示，因为m 可见，因此点M必定在SAB上SAB是一般位置平面，采用辅助线法，过点M及锥顶点S作一条直线SK，与底边AB交于点K。图32中即过m 作s k，再作出其水平投影sk。由于点M属于直线
8、SK，根据点在直线上的从属性质可知m必在s k上，求出水平投影m，再根据m、m 可求出m。因为点N不可见，故点N必定在棱面SAC上。棱面SAC为侧垂面，它的侧面投影积聚为直线段sa（c），因此n 必在sa（c）上，由n、n 即可求出n。2. 棱锥表面上点的投影棱锥表面上点的投影 ca)smns(n(cc)bknakbsmm2022-6-1机械设计教研室113.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注3.1.2.1 圆柱圆柱 圆柱表面由圆柱面和两底面所围成。如图33所示，圆柱面可看作一条直母线AB围绕与它平行的轴线OO1回转而成。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。 3.
9、1.2曲面立体的投影及表面取点曲面立体的投影及表面取点 1. 圆柱的投影圆柱的投影 O1OAB2022-6-1机械设计教研室12画圆柱的投影时，为便于作图，一般常使它的轴线垂直于某个投影面。如图34（a）所示，圆柱的轴线垂直于侧面，圆柱面上所有素线都是侧垂线，因此圆柱面的侧面投影积聚成为一个圆。圆柱左、右两个底面的侧面投影反映实形并与该圆重合。两条相互垂直的点划线，表示确定圆心的对称中心线。圆柱面的正面投影是一个矩形，是圆柱面前半部与后半部的重合投影。3.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注AM1abmb11a1)(aam(b1)bA1B1(ba1)mB(b)a2022-6-1机械
10、设计教研室133.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注作图方法与步骤如图34（b）所示：（1）作侧面投影的中心线和轴线的正面投影和水平投影（细点划线）。（2）作侧面投影的圆形。（3）根据圆柱的高度，按投影规律，作出正面投影和水平投影。从图34（b）可以看出圆柱的投影特征：当圆柱的轴线垂直某一个投影面时，必有一个投影为圆形，另外两个投影为全等的矩形。 2022-6-1机械设计教研室143.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注3.1.2.1 圆柱圆柱 如图34（b）所示，已知圆柱面上点M的正面投影m，求作点M的其余两个投影。 因为圆柱面的投影具有积聚性，圆柱面上点的侧面投影
11、一定重影在圆周上。又因为m 可见，所以点M必在前半圆柱面的上边，由m 求得m，再由m 和m 求得m。 2. 圆柱表面上点的投影圆柱表面上点的投影 ab11a ()ab1)mb (1amb(b1)1am(b)a2022-6-1机械设计教研室153.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注3.1.2.2 圆锥圆锥 圆锥表面由圆锥面和底面所围成。如图35（a）所示，圆锥面可看作是一条直母线SA围绕与它平行的轴线SO回转而成。在圆锥面上通过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。 3.1.2曲面立体的投影及表面取点曲面立体的投影及表面取点 1. 圆锥的投影圆锥的投影 SOA2022-6-1机械设计教研
12、室16画圆锥面的投影时，也常使它的轴线垂直于某一投影面。如图35（b）所示圆锥的轴线是铅垂线，底面是水平面，图35（c）是它的投影图。圆锥的水平投影为一个圆，反映底面的实形，同时也表示圆锥面的投影。圆锥的正面、侧面投影均为等腰三角形，其底边均为圆锥底面的积聚投影。正面投影中三角形的两腰sa、sc 分别表示圆锥面最左、最右轮廓素线SA、SC的投影，他们是圆锥面正面投影可见与不可见的分界线。3.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注a)(c)(dbdbcassSCBcbDdAas2022-6-1机械设计教研室173.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注作图方法与步骤如图35（
13、b）所示：（1）作水平投影的中心线和轴线的正面投影和水平投影（细点划线）。（2）作水平投影的圆形。（3）根据圆锥的高度定出锥顶S的投影位置，然后根据投影规律，作出正面投影和水平投影。 从图34（b）可以看出圆锥的投影特征：当圆锥的轴线垂直某一个投影面时，则圆锥在该投影面上投影为与其底面全等的圆形，另外两个投影为全等的等腰三角形。 sscsdbad)b (d )(cbcaa2022-6-1机械设计教研室183.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注 作图方法有两种：（1）辅助线法 如图36 （a）所示，过锥顶S和M作一直线SA，与底面交于点A。点M的各个投影必在此SA的相应投影上。在图
14、36（b）中过m 作sa，然后求出其水平投影sa。由于点M属于直线SA，根据点在直线上的从属性质可知m必在sa上，求出水平投影m，再根据m、m 可求出m。2. 圆锥表面上点的投影圆锥表面上点的投影 smsmSMsmaaAsma2022-6-1机械设计教研室193.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注 作图方法有两种：（2）辅助圆法 如图37（a）所示，过圆锥面上点M作一垂直于圆锥轴线的辅助圆，点M的各个投影必在此辅助圆的相应投影上。在图37（b）中过m 作水平线a b，此为辅助圆的正面投影积聚线。辅助圆的水平投影为一直径等于a b 的圆，圆心为s，由m 向下引垂线与此圆相交，且根据
15、点M的可见性，即可求出 m 。然后再由m 和m可求出m。2. 圆锥表面上点的投影圆锥表面上点的投影 )sbms(maBSAMbsmmsaba2022-6-1机械设计教研室203.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注3.1.2.3 圆球圆球 圆球的表面是球面，如图38(a)所示，圆球面可看作是一条圆母线绕通过其圆心的轴线回转而成。 3.1.2 曲面立体的投影及表面取点曲面立体的投影及表面取点 1. 圆球的投影圆球的投影 OO2022-6-1机械设计教研室21如图38（b）所示为圆球的立体图、如图38（c）所示为圆球的投影。圆球在三个投影面上的投影都是直径相等的圆，但这三个圆分别表示三
16、个不同方向的圆球面轮廓素线的投影。正面投影的圆是平行于V面的圆素线A（它是前面可见半球与后面不可见半球的分界线）的投影。与此类似，侧面投影的圆是平行于W面的圆素线C的投影；水平投影的圆是平行于H面的圆素线B的投影。这三条圆素线的其他两面投影，都与相应圆的中心线重合，不应画出。3.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注acacCabcacBbAbb2022-6-1机械设计教研室223.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注 采用辅助圆法，即过该点在球面上作一个平行于任一投影面的辅助圆。过点M作一平行于正面的辅助圆，它的水平投影为过m的直线ab，正面投影为直径等于ab长度的圆。
17、自m向上引垂线，在正面投影上与辅助圆相交于两点。又由于m可见，故点M必在上半个圆周上，据此可确定位置偏上的点即为m，再由m、m 可求出m。如图39（b）所示2. 圆球表面上点的投影圆球表面上点的投影 (a bm)bambamm2022-6-1机械设计教研室233.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注3.1.3.1 平面立体的尺寸标注平面立体的尺寸标注 平面立体一般标注长、宽、高三个方向的尺寸，如图310所示。其中正方形的尺寸可采用如图310（f）所示的形式注出，即在边长尺寸数字前加注“”符号。图310（d）、（g）中加“（）”的尺寸称为参考尺寸。 3.1.3 基本体的尺寸标注基本体
18、的尺寸标注 151518181816(13.9)2010121120112022-6-1机械设计教研室2420182016(18.5)101518612102022-6-1机械设计教研室253.1 基本体的投影及尺寸标注基本体的投影及尺寸标注3.1.3.2 曲面立体的尺寸标注曲面立体的尺寸标注 圆柱和圆锥应注出底圆直径和高度尺寸，圆锥台还应加注顶圆的直径。直径尺寸应在其数字前加注符号“”，一般注在非圆视图上。这种标注形式用一个视图就能确定其形状和大小，其他视图就可省略，如图311（a）、（b）、（c）所示。标注圆球的直径和半径时，应分别在“、R”前加注符号“S”，如图311（d）、（e）所示。
19、 3.1.3 基本体的尺寸标注基本体的尺寸标注 SR8S 16101616162020202022-6-1机械设计教研室263.2 平面与立体相交平面与立体相交 平面与立体表面相交，可以认为是立体被平面截切，此平面通常称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。 3.2.1 截交线的性质截交线的性质 2022-6-1机械设计教研室27为了正确分析和表达机件的结构形状，我们需要了解截交线的性质和画法。由于立体的形状和截平面与立体的相对位置不同，截交线的形状也各不相同，但任何截交线都具有下列两个基本性质：（1）截交线一定是一个封闭的平面图形。（2）截交线既在截平面上，又在立体表面上，截交线是截平
20、面和立体表面的共有线。截交线上的点都是截平面与立体表面上的共有点。因为截交线是截平面与立体表面的共有线，所以求作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面的共有点。3.2 平面与立体相交平面与立体相交 2022-6-1机械设计教研室283.2 平面与立体相交平面与立体相交 平面立体的表面是平面图形，因此平面与平面立体的截交线为封闭的平面多边形。多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线或底边的交点，多边形的各条边是截平面与平面立体表面的交线 3.2.2 平面与平面立体相交平面与平面立体相交 2022-6-1机械设计教研室293.2 平面与立体相交平面与立体相交 分析：截平面与棱锥的四条棱线相交，可判定截
21、交线是四边形，其四个顶点分别是四条棱线与截平面的交点。因此，只要求出截交线的四个顶点在各投影面上的投影，然后依次连接顶点的同名投影，即得截交线得投影。例31 如图313（a）所示，求作正垂面P斜切正四棱锥的截交线。bc)db(ccdbaBPDCAa)(da2022-6-1机械设计教研室30作图方法与步骤如图313（b）所示：1因为截平面P是正垂面，它的正面投影积聚成一条直线，可直接求出截交线各顶点的正面投影（a）、b、c、（d）。2根据直线上点的投影规律，求出各顶点的水平投影a、b、c、d和侧面投影a、b、c、d。 3依次连接abcd和a b c d ，即得截交线的水平投影和侧面投影。当用两个
22、以上平面截切平面立体时，在立体上会出现切口、凹槽或穿孔等。作图时，只要作出各个截平面与平面立体的截交线，并画出各截平面之间得交线，就可作出这些平面立体的投影。3.2 平面与立体相交平面与立体相交 2022-6-1机械设计教研室313.2 平面与立体相交平面与立体相交 分析：该正三棱锥的切口是由两个相交的截平面切割而形成。两个截平面一个是水平面，一个是正垂面，它们都垂直于正面，因此切口的正面投影具有积聚性。水平截面与三棱锥的底面平行，因此它与棱面SAB和SAC的交线DE、DF必分别平行与底边AB和AC，水平截面的侧面投影积聚成一条直线。正垂截面分别与棱面SAB和SAC交于直线GE、GF。由于两个
23、截平面都垂直于正面，所以两截平面的交线一定是正垂线，作出以上交线的投影即可得出所求投影。 例例32 如图314（a）所示，一带切口得正三棱锥，已知它的正面投影，求其另两面投影。 GSBEFAD2022-6-1机械设计教研室32作图方法与步骤如图314（b）、（c）、（d）所示：1由d 在as上作出d，由d分别作ab、ac的平行线，再由e（f）在两条平行线上分别作出e和f ，连接de 、df即为DE、DF的水平投影。根据投影规律可在侧面上求出 de、df，如图314b所示。2由g 分别在sa、sa 上求出g、g，然后分别连接ge、gf、ge、gf，如图314（c）所示。3.2 平面与立体相交平面
24、与立体相交 besac)b(ccsfef( )fdgaadbeds2022-6-1机械设计教研室333连接ef，由于ef被三个棱面的水平投影遮住而不可见，应画成虚线。注意棱线SA中间DG段被截去，故它的水平投影中只剩sg、ad，侧面投影中只剩sg、ad，如图314（d）所示。3.2 平面与立体相交平面与立体相交 sgbbescfc(bcfe )f()gdasbedaga2022-6-1机械设计教研室343.2 平面与立体相交平面与立体相交 平面与曲面立体相交产生的截交线一般是封闭的平面曲线，也可能是由曲线与直线围成的平面图形，其形状取决于截平面与曲面立体的相对位置。曲面立体的截交线，就是求截平
25、面与曲面立体表面的共有点的投影，然后把各点的同名投影依次光滑连接起来。当截平面或曲面立体的表面垂直于某一投影面时，则截交线在该投影面上的投影具有积聚性，可直接利用面上取点的方法作图。 3.2.3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 2022-6-1机械设计教研室353.2 平面与立体相交平面与立体相交 3.2.3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 3.2.3.1 圆柱圆柱的截交线的截交线 截交线有三种不同的形状。如表31所示。 2022-6-1机械设计教研室363.2 平面与立体相交平面与立体相交 分析：截平面与圆柱的轴线倾斜，故截交线为椭圆。此椭圆的正面投影积聚为一直线。由于圆柱面的水
26、平投影积聚为圆，而椭圆位于圆柱面上，故椭圆的水平投影与圆柱面水平投影重合。椭圆的侧面投影是它的类似形，仍为椭圆。可根据投影规律由正面投影和水平投影求出侧面投影。 例例3 33 3 如图315（a）所示，求圆柱被正垂面截切后的截交线。 2022-6-1机械设计教研室37作图方法与步骤如图315（b）、（c）、（d）所示：1先找出截交线上的特殊点。特殊点一般是指截交线上最高、最低、最左、最右、最前、最后等点。作出这些点的投影，就能大致确定截交线投影的范围。如图315（a）所示，I、V两点是位于圆柱正面左、右两条转向轮廓素线上的点，且分别是截交线上的最低点和最高点。III、VII两点位于圆柱最前、最
27、后两条素线上，分别是截交线上的最前点和最后点。在图上标出它们的水平投影1、5、3、7和正面投影1、5、3、7 ，然后根据投影规律求出侧面投影1、5、3、7，如图315（b）所示。 3.2 平面与立体相交平面与立体相交 13571357531(7 )2022-6-1机械设计教研室383.2 平面与立体相交平面与立体相交 2再作出适当数量的截交线上的一般点。在截交线上的特殊点之间取若干点，如图315（a）中的II、IV、VI、VIII等点称为一般点。作图时，可先在水平投影上取2、4、6、8等点，再向上作投影连线，得2、4、6、8 点，然后由投影关系求出2、4、6、8点，如图315（c）所示。一般位
28、置点越多，作出的截交线越准确。12345678123(6576543218(8 )(7 )42022-6-1机械设计教研室393.2 平面与立体相交平面与立体相交 分析：该圆柱左端的开槽是由两个平行于圆柱轴线的对称的正平面和一个垂直于轴线的侧平面切割而成。圆柱右端的切口是由两个平行于圆柱轴线的水平面和两个侧平面切割而成。 例例3 34 4 如图316（a）所示，完成被截切圆柱的正面投影和水平投影。 2022-6-1机械设计教研室40作图方法与步骤如图316（b）、（c）、（d）所示：1画左端开槽部分。三个截平面的水平投影和侧面投影均已知，只需补出正面投影。两个正平面与圆柱面的交线是四条平行的侧
29、垂线，它们的侧面投影分别积聚成点 a、b、c、d，它们的水平投影重合成两条直线。侧平面与圆柱面的交线是两段平行于侧面的圆弧，它们的侧面投影反映实形，水平投影积聚为一直线。根据点的投影规律，可求出上述截交线的正面投影，如图316（b）、（c）所示。 3.2 平面与立体相交平面与立体相交 d(c)a(b)b )(ca )(dcbda2022-6-1机械设计教研室413.2 平面与立体相交平面与立体相交 2画右端切口部分。各截平面的正面投影和侧面投影已知，只需补出水平投影。具体作法与前面类似，如图316（c）所示。 。efghe )hf )(g he (fg )()(2022-6-1机械设计教研室4
30、23整理轮廓，完成全图，如图316（d）所示。其间应注意两点：（1）圆柱的最上、最下两条素线均被开槽切去一段，故开槽部 分 的 外 形 轮 廓 线 向 内“收缩”。（2）左端开槽底面的正面投影的中间段（ab）是不可见的，应画成虚线。 3.2 平面与立体相交平面与立体相交 2022-6-1机械设计教研室433.2 平面与立体相交平面与立体相交 3.2.3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 3.2.3.2 圆锥的圆锥的截交线截交线 平面截切圆锥时，根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，其截交线有五种不同的情况。如表32所示。 2022-6-1机械设计教研室443.2 平面与立体相交平面与立体相交
31、 分析：因截平面为正平面，与轴线平行，故截交线为双曲线。截交线的水平投影和侧面投影都积聚为直线，只需求出正面投影。 例例3 35 5 如图317（a）所示，求作被正平面截切的圆锥的截交线。 IIIIIIVIV2022-6-1机械设计教研室45作图方法与步骤如图316（b）所示：1先求特殊点。点III为最高点，是截平面与圆锥最前素线的交点，可由其侧面投影3直接作出正面投影3。点I、II为最低点且位于圆锥底圆上，可由平投影1、2直接作出正面投影1、2。2再求一般点。用辅助圆法，在点III与点I、II间作一辅助圆，该圆与截平面的两个交点IV、V必是截交线上的点。易作出这两点的水平投影4、5与侧面投影
32、4、5，据此可求出它们的正面投影4、5。3依次光滑连接1、4、3、5、2 即得截交线得正面投影，如图317（b）所示。 3.2 平面与立体相交平面与立体相交 145231245333 (2 )(542022-6-1机械设计教研室463.2 平面与立体相交平面与立体相交 3.2.3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 3.2.3.3 圆球的截交线圆球的截交线 平面在任何位置截切圆球的截交线都是圆。当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆的实形，在其他两面上的投影都积聚为直线。 2022-6-1机械设计教研室473.2 平面与立体相交平面与立体相交 分析：球表面的凹槽由两个侧平面
33、和一个水平面切割而成，两个侧平面和球的交线为两段平行于侧面的圆弧，水平面与球的交线为前后两段水平圆弧，截平面之间得交线为正垂线。 例例3 36 6 如图319（a）所示，完成开槽半圆球的截交线。 2022-6-1机械设计教研室48作图方法与步骤如图319（b）所示：3.2 平面与立体相交平面与立体相交 1先画出完整半圆球的投影，再根据槽宽和槽深尺寸作出槽的正面投影，如图319a所示。 2用辅助圆法作出槽的水平投影。如图319（b）所示。 2022-6-1机械设计教研室493根据正面投影和水平投影作出侧面投影，如图319（c）所示。其间应注意两点：（1）由于平行于侧面的圆球素线被切去一部分，所以
34、开槽部分的轮廓线在侧面的投影会向内“收缩”。（2）槽底的侧面投影此时不可见，应画成虚线。 3.2 平面与立体相交平面与立体相交 2022-6-1机械设计教研室503.2 平面与立体相交平面与立体相交 分析分析：顶尖头部是由同轴的圆锥与圆柱组合而成。它的上部被两个相互垂直的截平面P和Q切去一部分，在它的表面上共出现三组截交线和一条P与Q的交线。截平面P平行于轴线，所以它与圆锥面的交线为双曲线，与圆柱面的交线为两条平行直线。截平面Q与圆柱斜交，它截切圆柱的截交线是一段椭圆弧。三组截交线的侧面投影分别积聚在截平面P和圆柱面的投影上，正面投影分别积聚在P、Q两面的投影（直线）上，因此只需求作三组截交线
35、的水平投影。 例例3 37 7 如图320（a）所示，求作顶尖头的截交线。 综合题例综合题例PQ2022-6-1机械设计教研室51作图方法与步骤如图316（b）、（c）、（d）所示：1作特殊点。根据正面投影和侧面投影可作出特殊点的水平投影1、3、5、6、8、10，如图319（b）所示。 3.2 平面与立体相交平面与立体相交 135610838)83)(51)(6105 (610(1)2022-6-1机械设计教研室523.2 平面与立体相交平面与立体相交 2求一般点。利用辅助圆法求出双曲线上一般点的水平投影2、4，以及椭圆弧上的一般点7、9，如图319（c）所示。 427927492(4 )(7
36、92022-6-1机械设计教研室533将各点的水平投影依次连接起来，即为所求截交线的水平投影，如图319（d）所示。 3.2 平面与立体相交平面与立体相交 2022-6-1机械设计教研室543.3 立体与立体相交立体与立体相交 两个基本体相交（或称相贯），表面产生的交线称为相贯线。由于基本体有平面立体和曲面立体之分，所以相交时有平面立体与平面立体相交、平面立体与曲面立体相交和曲面立体与曲面立体相交三种情况。前两种情况的相贯线，可看作是平面与平面相交或平面与曲面相交所产生的交线，可用上节求平面与立体截交线的方法来作出。本节只讨论最为常见的两个曲面立体相交的问题。 。 3.3.1 相贯线的性质相贯
37、线的性质 2022-6-1机械设计教研室55由于相交的两个曲面立体的几何形状不同或它们的相对位置不同，相贯线的形式也各不相同，但他们都具有以下两个共同的性质：（1）相贯线是两个曲面立体表面的共有线，也是两个曲面立体表面的分界线。相贯线上的点是两个曲面立体表面的共有点。（2）两个曲面立体的相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊情况下可能是平面曲线或直线。求两个曲面立体相贯线的实质就是求它们表面的共有点。作图时，依次求出特殊点和一般点，判别其可见性，然后将各点光滑连接起来，即得相贯线。 3.3 立体与立体相交立体与立体相交 2022-6-1机械设计教研室56两个相交的曲面立体中，如果其中一个是柱面立体（
38、常见的是圆柱面），且其轴线垂直于某投影面时，相贯线在该投影面上的投影一定积聚在柱面投影上，相贯线的其余投影可用表面取点法求出。 3.3.2 相贯线的画法相贯线的画法 3.3 立体与立体相交立体与立体相交 2022-6-1机械设计教研室57分析：两圆柱体的轴线正交，且分别垂直于水平面和侧面。相贯线在水平面上的投影积聚在小圆柱水平投影的圆周上，在侧面上的投影积聚在大圆柱侧面投影的圆周上,故只需求作相贯线的正面投影。 例例38 如图321（a）所示，求正交两圆柱体的相贯线。 3.3 立体与立体相交立体与立体相交 IIIIIIIV2022-6-1机械设计教研室58作图方法与步骤如图316（b）所示：3
39、.3 立体与立体相交立体与立体相交 123456781234(651 (52387)(4(6 )(8)(72022-6-1机械设计教研室591求特殊点。与作截交线的投影一样，首先应求出相贯线上的特殊点，特殊点决定了相贯线的投影范围。由图321（a）可知，相贯线上I、V两点是相贯线上的最高点，同时也分别是相贯线上的最左点和最右点。III、VII两点是相贯线上的最低点，同时也分别是相贯线上的最前点和最后点。定出它们的水平投影1、5、3、7和侧面投影1、（5）、3、（7），然后根据点的投影规律可作出正面投影1、5、3、（7）。2求一般点。在相贯线的水平投影圆上的特殊点之间适当地定出若干一般点的水平投
40、影，如图中2、4、6、8等点，再按投影关系作出它们的侧面投影2、（4）、（6）、8。然后根据水平投影和侧面投影可求出正面投影2、4、（6）、（8）。3.3 立体与立体相交立体与立体相交 2022-6-1机械设计教研室603判断可见性。只有当两曲面立体表面在某投影面上的投影均为可见时，相贯线的投影才可见，可见与不可见的分界点一定在轮廓转向线上。在图321中，两圆柱的前半部分均为可见，可判定相贯线由1、5两点分界，前半部分1 2 3 4 5 可见，后半部分5（6）（7）（8）1 不可见且与前半部分重合。4依次将1、2、3、4、5 光滑连接起来，即得正面投影。 3.3 立体与立体相交立体与立体相交
41、2022-6-1机械设计教研室61相贯线的作图步骤较多，如对相贯线的准确性无特殊要求，当两圆柱垂直正交且直径有相差时，可采用圆弧代替相贯线的近似画法。如图322所示，垂直正交两圆柱的相贯线可用大圆柱的D/2为半径作圆弧来代替。 3.3 立体与立体相交立体与立体相交 D/2D/2DD1DD12022-6-1机械设计教研室62两圆柱正交有三种情况：3.3 立体与立体相交立体与立体相交 （1）两外圆柱面相交 （2）外圆柱面与内圆柱面相交 2022-6-1机械设计教研室63两圆柱正交有三种情况：3.3 立体与立体相交立体与立体相交 （3）两内圆柱面相交 2022-6-1机械设计教研室64 1两个曲面立体具有公共轴线时，相贯线为与轴线垂直的圆，如图324所示。 。 3.3.3 相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况 3.3 立体与立体相交立体与立体相交 2022-6-1机械设计教研室65 2当正交的两圆柱直径相等时，相贯线为大小相等的两个椭圆（投影为通过两轴线交点的直线），如图325所示。 3.3.3 相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况 3.3 立体与立体相交立体与立体相交 3当相交的两圆柱轴线平行时，相贯线为两条平行于轴线的直线，如图326所示。 2022-6-1机械设计教研室66本章完本章完本章完本章完本章完本章完
