1、 20222022 年高考数学真题试卷（新高考全国卷）年高考数学真题试卷（新高考全国卷） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1已知集合 ，则 （ ） A B C D 2 （ ） A B C D 3中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现如图是某古建筑物的剖面图， 是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ，若 是公差为 0.1 的等差数列，且直线 的斜率为 0.725，则 （ ） A0.75 B0.8
2、 C0.85 D0.9 4已知 ，若 ，则 （ ） A-6 B-5 C5 D6 5有甲乙丙丁戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ） A12 种 B24 种 C36 种 D48 种 6若 ，则（ ） A B C D 7正三棱台高为 1，上下底边长分别为 和 ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ） A100 B128 C144 D192 8若函数 的定义域为 R，且 ，则 （ ） A-3 B-2 C0 D1 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。在每小题给出的选项中，有多
3、项符合题分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分。分。 9函数 的图象以 中心对称，则（ ） A 在 单调递减 B 在 有 2 个极值点 C直线 是一条对称轴 D直线 是一条切线 10已知 O 为坐标原点，过抛物线 的焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，点A 在第一象限，点 ，若 ，则（ ） A直线 的斜率为 B C D 11如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，则（ ） A B C D 12对任意 x，y， ，则（ ） A B
4、 C D 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13已知随机变量 X 服从正态分布 ，且 ，则 14写出曲线 过坐标原点的切线方程： ， 15已知点 ，若直线 关于 的对称直线与圆 存在公共点，则实数 a 的取值范围为 16已知椭圆 ，直线 l 与椭圆在第一象限交于 A，B 两点，与 x 轴，y 轴分别交于 M，N 两点，且 ，则直线 l 的方程为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知 为等差
5、数列， 是公比为 2 的等比数列，且 （1）证明： ； （2）求集合 中元素个数 18记 的三个内角分别为 A，B，C，其对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 （1）求 的面积； （2）若 ，求 b 19在某地区进行流行病调查，随机调查了 100 名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图 （1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间 的概率； （3）已知该地区这种疾病的患病率为 0.1%，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 16%，从该地区任选
6、一人，若此人年龄位于区间 ，求此人患该种疾病的概率 （样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001） 20如图， 是三棱锥 的高， ， ，E 是 的中点 （1）求证： 平面 ； （2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值 21设双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 （1）求 C 的方程； （2）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点 在 C 上，且 过 P 且斜率为 的直线与过 Q 且斜率为 的直线交于点 M，请从下面中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立： M 在 上； ； 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 22已
7、知函数 （1）当 时，讨论 的单调性； （2）当 时， ，求 a 的取值范围； （3）设 ，证明： 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 2 【答案】D 3 【答案】D 4 【答案】C 5 【答案】B 6 【答案】C 7 【答案】A 8 【答案】A 9 【答案】A,D 10 【答案】A,C,D 11 【答案】C,D 12 【答案】B,C 13 【答案】0.14 14 【答案】； 15 【答案】 16 【答案】 17 【答案】（1）证明：设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命题得证 （2）解：由（1）知 ， 由 知： 即 ，即 ， 因为 ，故 ，解得 故集合 中元素的个数为 9
8、 个. 18 【答案】（1）解：边长为 a 的正三角形的面积为 ， ，即 ， 由 得： ， 故 . （2）解：由正弦定理得： ，故 . 19 【答案】（1）解：平均年龄 （岁） （2）解：设 A=一人患这种疾病的年龄在区间20，70），则 （3）设 B=任选一人年龄位于区间 ，C=任选一人患这种族病， 则由条件概率公式，得 20 【答案】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ， 因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ， 所以 、 ， 又 ，所以 ，即 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ， ， 所以 所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以
9、 平面 （2）解：过点 作 ，以 AB 为 轴，AC 为 轴，AF 为 z 轴建立如图所示的空问直角坐标系. 因为 ，由(1) ， 义 ，所以， ，所以 ， ， ，设 ，则 ， 平面 AEB 的法向量设为 ，所以 ，所以 ，设 ，则 ，所以 ： 平面 AEC 的法向量设为 ，所以 ，所以 ，设 ，则 ，阦以 ： 所以 二面角 的平面角为 ，则 ，所以二面角 的正弦值为 。 21 【答案】（1）解：由题意可得 ， 故 . 因此 C 的方程为 . （2）解：由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零， 若选由推或选由推：由成立可知直线 的斜率存在且不为零； 若选推，则 为线段 的中点，假
10、若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ，此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符； 总之，直线 的斜率存在且不为零. 设直线 的斜率为 ，直线 方程为 ， 则条件 在 上，等价于 ； 两渐近线的方程合并为 ， 联立消去 y 并化简整理得： 设 ，线段中点为 ，则 ， 设 ， 则条件 等价于 ， 移项并利用平方差公式整理得： ， ，即 ， 即 ； 由题意知直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ， 由 ， ， 所以直线 的斜率 ， 直线 ，即 ， 代入双曲线的方程 ，即 中， 得： ， 解得 的横坐标： ， 同理： ， ， 条件 等价于 ， 综上所述： 条件 在 上，等价于 ； 条件 等价于 ； 条件 等价于 ； 选推： 由解得： ，成立； 选推： 由解得： ， ， ，成立； 选推： 由解得： ， ， ， ，成立. 22 【答案】（1）解：解： 当 时， 单调递减； 当 吋， 单调递增. （2）令 对 恒成立 又 令 则 若 ，即 所以 ，使得当 时，有 单调递增 ，矛盾 若 ，即 时， 在 上单调递减， ，符合题意. 综上所述，实数 a 的取值范围足 . （3）证明：取 ，则 ，总有 成立， 令 ，则 ， 故 即 对任意的 恒成立. 所以对任意的 ，有 ， 整理得到： ， 故 ， 故不等式成立.
