1、高级社会统计学高级社会统计学闵学勤 第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第一节第一节 二项分布二项分布一、二项分布的定义一、二项分布的定义 二项分布是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布，也叫贝努里分布。 二项分布的具体定义是：设有n次试验，各次试验是彼此独立的，每次试验某事件出现的概率都是p，某事件不出现的概率都是q（等于1-P），则对于某事件出现X次（0，1，2， n）的概率分布为：xnxxnqpCxXPpnxB)(),;(第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第一节第一节 二项分布二项分布二、二项分布的讨论二、二项分布的讨论1、二项分布为离散型分布。当独立试验次数
2、为n时，二项分布共有n+1个取值。除了用分布律表示二项分布外，还可用折线图来表示。P117 第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第一节第一节 二项分布二项分布二、二项分布的讨论二、二项分布的讨论 )(xXP1 . 02 . 025. 0P5 .0P75. 0Px第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第一节第一节 二项分布二项分布二、二项分布的讨论二、二项分布的讨论2、n和p是二项分布的两个参数。q值永远等于1-p。因此二项分布三个参数：n，p，q实际只要知道n和p两个参数就够了。3、二项分布的图形当 时是对称的。当时是非对称的，而当n愈大时非对称性愈不明显。 5 . 0p5
3、. 0p第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第一节第一节 二项分布二项分布二、二项分布的讨论二、二项分布的讨论4、二项分布的数学期望 ，变异数5、二项分布的概率值，除了根据公式直接进行计算外，还可利用查表求得。(P473，附表2） npXE)(npqXD2)(第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第一节第一节 二项分布二项分布三、二项分布的概率三、二项分布的概率1、事件至多出现m次的概率为：2、事件至少出现m次的概率为： xnxmxxnqpCmXP0)0(xnxnmxxnqpCnXmP)(第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第一节第一节 二项分布二项分布三、二项分布
4、的概率三、二项分布的概率3、事件出现次数不少于a，不大于b的概率为：4、根据事件的完备性，必然有： xnxbaxxnqpCbXaP)(10 xnxnxxnqpC1)(nqp第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第一节第一节 二项分布二项分布例1，根据生命表，年龄为60岁的人，可望活到下年的概率为p=0.95。设某单位年龄为60岁的人共有十人。问：1）其中有九人活到下年的概率为多少；2）至少有九人活到下年的概率是多少？解：1）根据二项分布，其中有九人活到下年的概率为：2）至少有九人活到下年的概率为：)2(315. 0)05. 0()95. 0()9(19910可查附表CXP914. 05
5、99. 0315. 0)95. 0()05. 0()95. 0()109(10101019910CCXP第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第一节第一节 二项分布二项分布习题1： 某社区老年人口的比例为10%，设随机抽查六位居民。问：1）其中有两名为老年人的概率是多少？2）至少有两名为老年人的概率是多少？答案：1）0.098； 2)0.114第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第一节第一节 二项分布二项分布习题2： 某地区回族占全体居民人数的6%，今随机抽取十名，问其中恰有两名是回族的概率是多少答案：0.099)1()!( !nmmnmnCmn第二部分第二部分 离散型概率分
6、布离散型概率分布第二节第二节 超几何分布超几何分布 在社会抽样调查中，只有在大群体的情况下，二项分布的独立试验要求才能近似地得到满足（二项分布要求每次试验彼此独立）。 如果研究对象是小群体，那么每次试验之间独立的可能性较小，也即不满足二项分布的独立试验条件。而超几何分布就适用于小群体研究。第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第二节第二节 超几何分布超几何分布例：设小组共有成员十名，其中男性共七名，现从中任抽三名，问其中男性人数的概率分布如何？解：根据题意有：总数N=10人，男性人数M=7人， 女性人数F=3人任抽三名中含男性人数共有四种情况：X=0（0男；3女） X=1（1男；2女）
7、X=2（2男；1女） X=3（3男；0女）第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第二节第二节 超几何分布超几何分布（续）由古典法可求得08.01201)0(3103307CCCXP175.012021)1(3102317CCCXP525.012063)2(3101327CCCXP292.012035)3(3100337CCCXP第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第二节第二节 超几何分布超几何分布（续）合并起来，任抽三人男性人数的概率分布为：)3,2, 1 ,0()(310337xCCCxXPxx第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第二节第二节 超几何分布超几何分布
8、一、超几何分布的定义 对小群体而言，总体性共分两类：A类与非A类。总体总数为N，A类共有M个。设从中任抽n个 ，则n中含有A类个数X的概率分布为：)(MNn),min(,),2, 1 ,0()(nMllxCCCxXPnNxnMNxM其中第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第二节第二节 超几何分布超几何分布一、超几何分布的定义例：某班共有学员三十名，其中音乐爱好者有十三名，问任抽五名，其中音乐爱好者人数的概率分布。解：设X=“抽样中音乐爱好者的人数”，根据题意，代入超几何分布公式：)5,4,3,2,1 ,0()(5305133013xCCCxXPxx第二部分第二部分 离散型概率分布离散
9、型概率分布第二节第二节 超几何分布超几何分布二、超几何分布的数学期望与方差如果 ，则)1()()()(20NNMMNnNnXDNnMCCCxXElxnNxnMNxMpqNMp1,1)(,)(NnNnpqXDnpXE第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第二节第二节 超几何分布超几何分布三、超几何分布与二项分布的关系 超几何分布适合小群体研究，但如果群体规模逐渐增大，以致抽样个体间的概率改变可以忽略不计，这时也可采用二项分布来讨论。且两种分布计算的结果应该是逐渐接近。即：)()1 (NppCCCCxnxxnnNxnMNxM第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第二节第二节 超几何
10、分布超几何分布三、超几何分布与二项分布的关系例：某班共有学员三十名，其中音乐爱好者有十三名，问任抽五名，其中音乐爱好者有两人的概率。（分别用二项分布和超几何分布计算）解：3722.0)2(530251330213CCCXP3717. 0)30131 ()3013()2(3225CXP第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第二节第二节 超几何分布超几何分布习题： 某公司共有四十名员工，其中女性十名。今任抽五名进行访问，问被访中至少有四名女性的概率是多少？解：01.0540510030540410130CCCCCC第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第三节第三节 泊松分布泊松分布
11、（Poisson distribution) 在二项分布 中，如果n值很大，且p又很小，那么运算就相当麻烦，因此有必要研究当n很大时，二项分布的极限分布是什么。 当n很大，且p又极小，设xnxxnqpCxXP )()0(的常数为大于np!)1 (limxeppCxxnxxnn第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第三节第三节 泊松分布泊松分布（Poisson distribution)一、泊松分布的公式 泊松分布是二项分布的极限分布，但它只有一个参数 ，只要知道了 值，泊松分布就被确定了。,2, 1 ,0,!)(xxePx第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第三节第三节 泊松
12、分布泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质1、泊松分布为离散型随机变量的概率分布。它的取值x为零和一切正整数值。2、泊松分布的数学期望和方差都为 ，特别是参数 就是数学期望这一点，常作为经验性的确定泊松分布参数 的方法。 第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第三节第三节 泊松分布泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质例：设在填写居民证1000张卡片中共发现错字300个。问每张居民证出现错字数的概率分布如何？解：设X=“每张居民证出现错字数”，将参数 近似地认为是每张平均的错字数，即代入泊松公布公式就可算出X=0，1，2，
13、的概率分布3.01000300!)(xePx第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第三节第三节 泊松分布泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质（续）也可查泊松分布表（P477，附表3）P（X=0）=0.7408P（X=1）=0.2222P（X=2）=0.0333P（X=3）=0.0033P（X=4）=0.0002P（X=5）=0.0000第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第三节第三节 泊松分布泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质3、泊松分布图形是非对称的，但随着 的增加，图形将变得接近对称。(详见P134，图
14、4.5)4、虽然泊松分布是二项分布的极限分布，但当 ， 时，泊松分布与二项分布的近似程度就很好，即，1 .0p10nexqpCxxnxxn!第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第三节第三节 泊松分布泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质例，某地区，每年平均每2000所房子有1所毁于火灾，如果在这个地区有3600所房子，在一年时间内恰好有5所房子毁于火灾的概率是多少？解：026.0)8.1 ;5(,8.12000136001.00005.02000/1,103600Pnppn得查泊松分布表概率按泊松分布近似计算其第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率
15、分布第三节第三节 泊松分布泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质5、在下列情况下，泊松分布也可近似替代超几何分布： 即：泊松分布有现成的附表可查，故比较方便。,101.0，nNMexCCCxnNxnMNxM!第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第三节第三节 泊松分布泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质例，设某校有1000名大学生，其中有外国留学生10名，现从该校大学生中任抽20人，求刚好抽到1名外国留学生的概率。解：)(164.0! 1)2 .0()2 .0 ; 1 (2 .001.020,10201 .001.002
16、.01查表代入公式得故可用泊松分布来替代ePnp，nNM第二部分第二部分 离散型概率分布离散型概率分布第三节第三节 泊松分布泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质6、泊松分布适合稀少事件的研究，也就是适合p值都是很小的情况。在社会研究中，包括像交通事故流、自杀流等都属于稀少事件。经典案例：P136，例16第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布（一、正态分布（Normal distribution） 如果说二项分布是离散型随机变量最具典型意义的概率分布，那么连续型随机变量最具典型意义的概率分布就是正态分布了。18世纪，正态分布（又称常态分布或高
17、斯分布）由德国数学家高斯在研究误差理论时发现。第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布 在现实生活中，如人的身高、体重、一片森林的高度、学生成绩、人的智商、测量的误差、甚至公共入口门槛的磨损、海浪的高度等等随机变量，都服从正态分布。正态分布除了在现实生活中大量存在外，还由于任何变量，不管其原有分布如何，如果把它们n个加在一起，当n大于一定数之后，例如大于30，那么其和的分布必然接近正态分布。这就是有名的中心极限定理。第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布 可以说，在各种分布中，正态分布居于首要的地位。这是因为：1，许多自然现象与社会
18、现象，都可用正态分布加以叙述；2，不少离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布都以正态分布为其极限分布（即当样本相当大时，可用正态分布近似）；3，许多统计量的抽样分布呈正态分布，故参数估计与假设检验经常都以正态分布为理论基础。 第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布例，以下是一百人初婚年龄的统计： 区间（岁）频次频率（相对频次）18.520.550.0520.522.5100.1022.524.5200.2024.526.5300.3026.528.5200.2028.530.5100.1030.532.550.05第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布
19、一、正态分布一、正态分布 )(xx5 .185 .205 .225 .245 .265 .285 .305 .32)(x如果组越分越细，并且纵轴采用频率密度（频率/组距），直方图就转化为概率密度曲线第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布(一)正态分布的特征1，一个高峰： 曲线是单峰，有一个最高点；2，一个对称轴：曲线在高峰处有一个对称轴，在轴的左右两边是对称的。对称轴是3，一个渐近线。曲线无论向左或向右延伸，都愈来愈接近横轴，但不会与横轴相交，以横轴为渐近线。4，由于正态曲线是单峰对称的，因此它的众值、中位值和均值三者必然是重叠的。 x第三部分第三部分 连续型概
20、率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布(二)正态分布的概率密度表达式 从正态分布的数学表达式可看出， 和 是正态分布曲线的两个参数。 222)(21)(xex第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布(二)正态分布的概率密度表达式两个参数对正态分布曲线的影响：1， 在 处达到峰值，在处有拐点，且以直线 为对称。在 一定情况下，若 增大，图形右移， 减小，则图形左移。2，当 不变的情况下， 越小，则对应的图形越尖瘦。事实上， 即为正态分布曲线的数学期望或总体均值，而 是其标准差。 )(xxxx第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布
21、(三)正态曲线下的面积 为了形象的理解正态曲线下面积所代表的涵义。我们可以把正态曲线看做是一种极限的直方图，而正态曲线下的面积实际就是无数个小直方形拼接而成的，即：dxxxxPxx)()(2121第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布(三)正态曲线下的面积(P144,图5.9)1，变量取值在区间 之间的概率：2，变量取值在区间 之间的概率：3，变量取值在区间 之间的概率：2,23,3,6827.0)()(dxxP9545.0)()22(22dxxP9973.0)()33(33dxxP第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布(三)正态
22、曲线下的面积 %13.34%13.34%6 .13%6 .13%16. 2%16. 2%11. 0%11. 02233第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布(四)标准正态分布 在已知正态分布的两个参数的前提下，可通过积分计算两点间的概率（面积），太麻烦，为此须计算出现成的表供使用者查找。但由于正态分布随两个参数的变化而变化，故先将变量值标准化： Z称作x的标准分 xZ第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布(四)标准正态分布 根据Z值所得的分布称为标准正态分布，它的概率密度为：而如果用 代入 2221)(zez1,022)(2222
23、121)(xxeex第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布(四)标准正态分布 所以标准正态分布 可看作一般正态分布的一个特例，即 的正态分布，记作 ，而一般正态分布记作 标准正态分布（附表4）的对应式： )(z1, 0) 1 , 0(N),(2Ndtedzzzztz2221)()(第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布(四)标准正态分布例，如果 服从标准正态分布N（0，1），求答：?)3 . 1(P9032. 0)3 . 1(P?)3 . 1(P0968. 09032. 01) 3 . 1(P5.0)()()(00dzzz：？z，
24、Z，答如果例第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布(四)标准正态分布例,已知 ,1)求 答:2)求 答:3)求 答:4)求 答:)1 ,0(- N)3 . 1(P0968. 0)3 . 1 (1)3 . 1(P)3 . 23 . 1 (P0861. 09032. 09893. 0)3 . 23 . 1 (P)3 . 23 . 1(P8925. 0)9032. 01 (9893. 0)3 . 23 . 1(P)3 . 13 . 2(P0861. 00107. 00968. 0)9893. 01 ()9032. 01 ()3 . 13 . 2(P第三部分第三部分 连
25、续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布(四)标准正态分布例，如果 ，求满足解： )1 ,0(- N。P值中之05.0)(96.1,975.0)(05.0)(22)()()(查表可得PPP第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布(四)标准正态分布例，设随机变量服从正态分布 ，试求解：)12,168(2N)143(XP0179.09821.01)08.2(1)08.2()143(08.212168143,12,168ZZXPxZ已知第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布一、正态分布一、正态分布(四)标准正态分布例，根据统计，北京市初婚年龄服从正态分
26、布。其均值为25岁，标准差为5岁，问25岁到30岁之间结婚的人，其百分数是多少？解：%13.343025:3413. 0)0() 1 (8413. 0) 1 (5 . 0)0(4152530052525:,21数为岁之间结婚的人其百分岁到答查附表分首先将年龄换算为标准为了使用正态分布表，ZZ第三部分第三部分 连续型概率分布连续型概率分布习题：1、答案：0.0139，0.72622、答案：1.65；1.96；2.58)5544(),61(),5 ,50(2PPN求满足正态分布已知随机变量01. 0)3( ;05. 0)2( ; 1 . 0) 1 (.)(,),1 , 0(当当当值中值情况下求以下各满足标准正态分布已知ZPNZ
