1、一 杜哈姆积分的数值计算方法 当作用于体系上的荷载函数是已知的而且便于积分时，则可由杜哈姆积分直接求出。然而，当荷载函数较复杂，不便于直接积分，就需要借助数值积分方法求解。下面以无阻尼情况为例来讨论，有阻尼情况可参考。001( )( )1( )( )sinttA tpcondmB tpdm （1）则杜哈姆积分可简写为：( )( )sin( )y tA ttB t con t（2） 对（1）式可采用辛普生积分公式来计算。（参考数值计算方法）由此便可求得杜哈姆积分。2.7 单自由度体系振动计算的数值法二 加速度冲量外推法 有阻尼受迫振动的运动方程可写成：( )( )( )( )p tcy tky
2、ty tm（a）采用递推公式来求解微分方程，步骤如下：1、将时间t划分成等间距的等分点：012n1021nn-1tttt=t -=t -t =t -ttt， ，且2、确定初始条件：000t=tyy 设时，位移为 ，速度为3、推导： 2111122y(t)=2()2iiiiiiyyyyyttytt11( )2iiiyyy tt设在点 i-1，i，i+1区间，位移用二次抛物线来代替真实的位移曲线，则在此区间内的位移方程y(t)可近似取为：1122( )()iiiiyyyy tt（b）（c）于是由（c）式可得：2112()iiiiyyyyt （1）将（1）式代人（b）式得：1( )()2iiiiyy
3、ty tyt（e）i点的加速度可由（a）使求得：iiiipcykyym12 ()222(2)2iiiiic yykyypmc tmc ttmc t 1y（d）将（e）式代人（d）式整理得：（2）由（1）、（2）便可求出各个分点上的位移。4、注意，对于 由于 不存在，不能应用（1）式求得，对此可采用近似公式计算：1y21001()2yyyt此式的物理意义是把第一区间的运动视为等加速度运动。如不考虑阻尼，则（2）式可简化为( )iiipkyy tm1y1y三 线加速度法1、增量型动平衡方程：kcm( )vt( )p t( )vtIFDFSF)(tp( )( )( )( )IDSF tFtF tp
4、t 在任一瞬间，质量在任一瞬间，质量m上力的平衡方程：上力的平衡方程： 经过经过 t时间后，成为：时间后，成为：()()()()IDSF ttFttF ttp tt 运动方程的增量形式：运动方程的增量形式：( )( )( )( )IDSF tFtF tp t 初初始始斜斜率率( )f t+ tD( )f tD( )tv( )t+ tv( )vfD( )f tD( )tvc( )tv平平均均斜斜率率初初始始斜斜率率( )f t+ tS( )f tS( )tv( )t+ tv( )vfS( )f tS( )tvk( )tv平平均均斜斜率率( )p t+ t(t)ptt( )tptt( )tp( )
5、()( )( )IIIF tF ttF tm y t( )( )( )DFtc ty t( )( )( )SF tk ty t)()()(tpttptp ( )/Dc tdFdy( )/Sk tdFdy 运动增量平衡方程的最终形式：运动增量平衡方程的最终形式：( )( ) ( )( ) ( )( )m y tc t y tk t y tp t （1）tttt5 . 025 . 0t261ttt+ ttxxttx 22txxxtttx 5 . 02xxxtttxt36tx x xt xt x xt xtxtxtx x xxtt线性加速度法：线性加速度法：假定在每个时间增假定在每个时间增量内加速度
6、线性变量内加速度线性变化，而且体系的特化，而且体系的特性在这个间隔内保性在这个间隔内保持为常量。持为常量。( )( )2tyy tty t 22( )( )( )2( )6ty ty tty tty t 2663( )( )3 ( )( )( )3 ( )( )2( )( )( )tmy ty ty tc ty ty ty ttttk tv tp t 代入：代入：( )( )2tyy tty t 22( )( )( )( )26tty ty tty ty t 266( )( )( )3 ( )y ty ty ty ttt3( )( )3 ( )( )2ty ty ty ty tt 代入代入 得
7、到：得到：( )( )( )( )( )( )m y tc ty tk ty tp t （3）（2） 得到：得到：2663( )( )3 ( )( )( )3 ( )( )2( )( )( )tmy ty ty tc ty ty ty ttttk ty tp t )(36)(2tctmttkk 6( )( )( )3 ( )( ) 3 ( )( )2tp tp tmy ty tc ty ty tt ( )( )( )k ty tp t 3( )( )3 ( )( )2ty ty ty ty tt266( )( )( )3 ( )y ty ty ty ttt（5）（6）（7）（4）( )( )(
8、 )k ty tp t 3( )( )3 ( )( )2ty ty ty ty tt266( )( )( )3 ( )y ty ty ty ttt()( )( )y tty ty t()( )( )y tty ty t()( )( )y tty ty t1( )( )( )( )DSy tp tFtF tm 为了避免累计误差，利用总的平衡条件：为了避免累计误差，利用总的平衡条件： 逐步积分法的步骤（略）。逐步积分法的步骤（略）。（8）（9）逐步积分法的步骤逐步积分法的步骤：1）确定任一区间的初始速度和初始位移；2）根据（8）式求出区间的初始加速度；3）根据（5）（6）式计算等效刚度和等效增量荷
9、载；4）根据（7）式计算位移增量；5）根据（3）式计算速度增量；6）由（9）式计算区间末端的位移和速度；7）重复2）-6）步骤，计算下一区间，直到体系的动力响应过程完全被确定。Wilson-q q法法Wilson-q q法：法：假定在每个时假定在每个时间段间段(t,t+qqt)内加速度线性内加速度线性变化，而且体系的特性在变化，而且体系的特性在(t,t+ t)内保持为常量。内保持为常量。qttt+t+ ttx x ttx tx t xxxxxxxttt 615 . 05 . 022 PxM tttxkxkxcpPkcmM 225 . 0615 . 0 xx 1q qx x ttt+ t t真实
10、t+ tx x tNewmark- 法法 2)5 . 0()1( tttttttttttxxxxxxxxx 5 . 0 5 . 0 无条件稳定要求：无条件稳定要求： 无人工阻尼要求：无人工阻尼要求： 无条件稳定要求：无条件稳定要求：25. 0 2)5 . 0(25. 0 tt加速度（常数）速度（线性）位移（二次）tt+ txt 2)(0.25txtxt xtxtxtx5 . 0)(txtx )(5 . 0txtxxtxtxtxt225. 0)(txtxxtxtxt0.5x真实tttt xNewmark- 法法（ =1/4） 2)(25. 0)(5 . 0txxtxxxtxxxxtttttttt
11、ttttt tttxtkx tkx tcpPkttcmM 225 . 025. 05 . 0Newmark- 法法（ =1/4）)(5 . 05 . 0)(tttxxxttt PxM 平衡方程：平衡方程：2.8 用用Rayleigh法进行振动分析法进行振动分析tvtv sin)(0 自由振动位移：自由振动位移：tvtv cos)(0 自由振动速度：自由振动速度：221kvV 弹簧变形能：弹簧变形能：221vmT 质量块动能：质量块动能：自振频率：自振频率：*mk kcm( )yttkv 220sin21 20max21kvV 220max21 mvT tmv 2220cos21 maxmaxV
12、T Rayleigh法的理论基础为法的理论基础为能量守恒定律能量守恒定律。即认为如果没有阻尼力消耗能量。即认为如果没有阻尼力消耗能量的话，在自由振动体系中，能量应该保持常量。的话，在自由振动体系中，能量应该保持常量。最大动能最大动能等于等于最大位能：最大位能：20max21kvV 220202121 mvkv 220max21 mvT mk 2 这个表达式和以前所述的一样，但现在它是从最大变形能应等于最大动能这个表达式和以前所述的一样，但现在它是从最大变形能应等于最大动能的的Rayleigh法概念而得。法概念而得。 例子：简支梁，认为是无限自由度例子：简支梁，认为是无限自由度2.8.1一般体系
13、的近似分析一般体系的近似分析 体系变形能：体系变形能： dxxvxEIVL2022/)(21 dxxxxEIZVL202220max/ )()(21 最大值：最大值：m(x)EI(x)Lx)()(),(tZxtxvtZxtxvsin)(),(0 体系动能：体系动能： dxtvxmTL2022/)(21 dxxxmZTL20220max)()(21 由由Rayleigh法：法：dxxxmdxxxEILL20202)()()()( 最大值：最大值： k* m*mkm(x)EI(x)Lx)()(),(tZxtxv例子：简支梁，认为是无限自由度例子：简支梁，认为是无限自由度2.8.2振动形状的选取振动
14、形状的选取假定振型为抛物线：假定振型为抛物线： LxLxx1)( 22)(Lx LdxxxEIZV0220max)()(21 m(x)EI(x)Lx)()(),(tZxtxv320421LEIZ LdxxxmZT022020max)()(21 30212020LmZ 能量守恒：能量守恒：3021)()(212020022020maxLmZdxxxmZTL maxmaxTV 假定振型为正弦曲线：假定振型为正弦曲线：Lxx sin)( LxLx sin)(22 34200220max221)()(21LEIZdxxxEIZVL 221)()(212020022020maxLmZdxxxmZTL 能
15、量守恒：能量守恒：maxmaxTV 3200220max421)()(21LEIZdxxxEIZVL 42120LmEI 444241.97LmEILmEI 假定振型为抛物线：假定振型为抛物线：42120LmEI 假定振型为正弦曲线：假定振型为正弦曲线：444241.97LmEILmEI 原则上，只要满足梁的几何边界条件，形状函数可任意选取，亦即形状函原则上，只要满足梁的几何边界条件，形状函数可任意选取，亦即形状函数仅需和具体的支承条件一致。数仅需和具体的支承条件一致。但是，对但是，对不是真实振型的不是真实振型的任意形状函数，为了保持平衡就必须有附加的外任意形状函数，为了保持平衡就必须有附加的
16、外部约束作用，这些附加约束将会使体系变得刚硬，从而使计算频率增大。部约束作用，这些附加约束将会使体系变得刚硬，从而使计算频率增大。Rayleigh法计算的频率中，最低的一个，总是最好的近似值！法计算的频率中，最低的一个，总是最好的近似值！Question: 如何确定合理的挠曲形状？如何确定合理的挠曲形状？Solution: m(x)EI(x)Lx)()(),(tZxtxv自由振动的位移是由自由振动的位移是由惯性力惯性力作用引起的；作用引起的；惯性力惯性力正比于正比于质量质量加速度加速度（质量分布及位移幅值）（质量分布及位移幅值）因此：正确的振动形式因此：正确的振动形式 c x 为正比于为正比于
17、m(x) c(x)的荷载所引起的挠曲线。的荷载所引起的挠曲线。)()()(xxmxp 近似做法：采用荷载近似做法：采用荷载 作用时的挠曲线作为作用时的挠曲线作为 c(x)具有很具有很高的精度。高的精度。最大动能：最大动能：dxxxmZTL20220max)()(21 dxxxmgZdxxvxpVLLd 000max)()(21)()(21 最大变形能：最大变形能：maxmaxVT LdLdLLdxxvxmdxxvxmgdxxxmdxxxmZg0200202)()()()()()()()( 能量守恒：能量守恒：注意：注意：0/ )()(Zxvxd gxmxp)()( 再近似：再近似： 假定惯性荷
18、载为梁的重量，即假定惯性荷载为梁的重量，即频率计算将根据静止重量荷载所引起的挠曲线频率计算将根据静止重量荷载所引起的挠曲线vd(t)进行。进行。此时，体系的变形能必然等于重量荷载所做的功。此时，体系的变形能必然等于重量荷载所做的功。EIWL/2L/2mPx例例E9-2假定变形曲线假定变形曲线3323233)(LxLxEIPLxv )(0 xZ 0Z332023LxLxZ 最大位能最大位能2030max321ZLEIpZV 最大动能最大动能dxxvxmTL20max)()(21 dxxZmL20220 )(2 220214033 ZLm 22max)2/(2LvgWTW 202225625ZgW
19、 BFinish?202220max225625214033ZgWZLmT 20222562514033ZLmLgmW 2030max321ZLEIpZV 计算频率计算频率:4225625140333LmEILgmW R00法法2.8.3改进的改进的Rayleigh法法dxxxmZTL20220max)()(21 dxxxEIZVL20)0(2)0(0max)()(21 tZxtxv sin)(),()0(0)0()0( dxxxmZTL20)0(22)0(0max)()(21 dxxxxEIZVL202220max)()(21 dxxxmdxxxEILL20)0(20)0(2)()()()(
20、 假设分布惯性力假设分布惯性力)0(20)0(2)0()()()( xmZvxmxp dxxxmZTL20)0(22)0(0max)()(21 dxxmZZdxvpVLL 0)1()0(4)1(0)0(00)1()0(max)(221 dxxmdxxmZZLL 0)1()0(02)0()1(0)0(02)()( 荷载作用下挠度荷载作用下挠度)1(0)1(22)1(0)1(2)1()(ZZxv R01法法优点优点? 考虑新的动能表达式，用考虑新的动能表达式，用v(1)代替代替v(0)： dxvxmTL20)1(max)(21 dxxmdxxmZZLL20)1(0)1()0()1(0)0(02)(
21、)( dxxmZTL20)1(2)1(06max)(21 R11法法由于由于)1(0)1(2)1()(Zxv )1(0)1(3)1(Zv dxxmZZVL 0)1()0(4)1(0)0(0max)(2 123m=1.01.52.0k=60012001800123=1.0v(0)2=1.0v(0)1=1.0v(0)3例例E9-3 假定一个变形曲线假定一个变形曲线,设设:)0()0(0iZ 0 . 1)0()0(0 iZ )0(maxT 2)0(21iivm 2)0(2)0(0221iimZ )5 . 4(212 0 . 1)0(3)0(2)0(1 vvv 计算动能和势能计算动能和势能: )0(m
22、axV 2)0(21iivk 2)0(2)0(021iikZ )1800(21 R00法法 令令Tmax=Vmax计算频率计算频率:4005 . 4/18002 rad/s20 123123 按照与初始挠度有关的惯性力做改进的计算按照与初始挠度有关的惯性力做改进的计算.R00法法)0(2iivm 惯惯性性荷荷载载20 . 1 25 . 1 20 . 2 20 . 1 剪剪力力25 . 2 剪剪力力25 . 4 剪剪力力 计算最大位能计算最大位能. )1(maxV )1()0(21iivp)1()0()1(042iiimZ )90. 2(2)1(04Z 2)1(318005 . 4 v222)1
23、(2180025. 812005 . 218005 . 4 v2222)1(1180025.116000 . 112005 . 218005 . 4 v2)1(036005 .22 Z)5 . 4(212)0(max T24890. 250. 41)1(02 Z rad/s75.15 2)1(0)0 . 1( Z2)1(0)733. 0( Z2)1(0)4 . 0( ZR00法法 按照改进的形状计算动能按照改进的形状计算动能 )1(maxT 2)1(22iivm 2)1(2)1(0221iimZ )124. 2()36005 .22(2126 )90. 2(2)1(04)1(maxZV 218124. 290. 21)1(02 Z rad/s76.14 比较精确解比较精确解: =14.5rad/s. 如果给定更合理的初始形状如果给定更合理的初始形状,将得到好得多的结果将得到好得多的结果.2.9 几点结论与讨论几点结论与讨论2.9 几点结论与讨论几点结论与讨论
