1、9Chen ping2008.11.189 本章主要讨论弹性体的, (Lagrange变分方程), , (Castigliano变分方程), 。由位移变分方程引出, , , 。由应力变分法引出。 9 dxdxdyLba21 )(xyy )(xyII x y 面内两点距离面内两点距离),(11yxA),(22yxB(9-1)(9-2)(xfy yx 曲面的表面积曲面的表面积S),(yxzdxdyyzxzyxzSS221),()(21xzxzyzyzxyxyzzyyxxv应变能密度应变能密度弹性体单位体积的应变能弹性体单位体积的应变能(9-2a)若以广义虎克定律代入，得应力分量的应变能密度应变能密
2、度dxyyxfxyIba),()( )(1 (21)(2)(21222222xzyzxyxyzyyxzyxv 应变能密度应变能密度是应力分量的函数，而应力分量又是位是应力分量的函数，而应力分量又是位置置 x、y、z的函数，因此的函数，因此，应变能密度是一个泛函。应变能密度是一个泛函。 dxxydy)( , )()(baxxyxyy(9-4)是增量的一阶小量！ 0)( , 0)()( ,)(byayybyyayba)()()()()()()()(yyxyxyyxyxyy导数的变分导数的变分 通常通常函数函数要满足一定的边界条件要满足一定的边界条件, 函数的变分应满足齐函数的变分应满足齐次边界条件
3、次边界条件 导数的变分等于变分的导数导数的变分等于变分的导数 dxyyxfxyIba),()(),(yyxfyy ,按照泰劳级数展开法则按照泰劳级数展开法则 )(),(),(的高阶项及 yyyyfyyfyyxfyyyyxfyyfyyff bababababababadxffdxdxyyfyyfdxfIdxyyfdxyyxfdxyyyyxf)()()(),(),(的高阶项及(9-5)(9-7)也是增量也是增量的一阶小的一阶小量量！服从无穷服从无穷小量的运小量的运算法则算法则！ 泛函取极值泛函取极值0 0)()(0或xyIxyI0I必要的极值条件必要的极值条件取极值的曲线称为泛函的极值曲线。取极值
4、的曲线称为泛函的极值曲线。)(0 xyy 002 或I判别判别极大值或极小值极大值或极小值 (9-8) 0)( , 0)()( ,)(byayybyyayba曲线被指定通过曲线被指定通过 A, B 两两点，也点，也就是就是 y(x) 具有边界条件具有边界条件dxyyxfxyIba),()(由泛函的极值条件求出函数由泛函的极值条件求出函数y(x)满足的方程满足的方程0)( , 0)()()()()(yfdxdyfIydxyfdxdyfydxyfdxdyyfdxyyfdxyyfyyfIbababababa (9-10) 2122 , 0101CxCyyydxddxyLIba求求AB曲线曲线最短时的
5、函数最短时的函数0)(yfdxdyf 1.lPW21lPV21单位体积应变能单位体积应变能xxllAPAlVv2121静加载是线静加载是线性的，没有性的，没有动能与热能动能与热能的变化的变化 2.xyxy213.)(21xzxzyzyzxyxyzzyyxxv最终弹性应变能与最终弹性应变能与变形过程变形过程无关，只取决于无关，只取决于变形的最终状态变形的最终状态可采用等比例加载得到可采用等比例加载得到 可逆过程可逆过程外荷载对物体所做的功全部转化为物体的外荷载对物体所做的功全部转化为物体的动能和物体因变形引起的应动能和物体因变形引起的应变能变能( (内能内能) )。 不可逆过程不可逆过程外荷载对
6、物体所做的功外荷载对物体所做的功, , 一部分转化为一部分转化为物体的动能和应变能物体的动能和应变能, ,另一部分转化为热能、声能等被耗散。另一部分转化为热能、声能等被耗散。 弹性力学研究弹性力学研究可逆过程可逆过程！ 等温过程等温过程 （加载极其缓慢（加载极其缓慢弹性静力学）弹性静力学）绝热过程绝热过程 （加载过程很快）（加载过程很快）wV(9-11)根据热力学第一定律，外载荷所做功的增量等于弹性体的应变能增量物体在某一应变状态获得的应变能增量为微元物体在某一应变状态获得的应变能增量为微元VVdsdvVutuf(9-12) VV 表面为表面为，任一微元体任一微元体 VVdsdvunuf 利用
7、高斯公式利用高斯公式 dvdvdsdvVVVV)(uufunufdsAndvASVililliililililjkklijllkjjkiiuuuuu,)( )()()(eeeeu(9-12a)(ununililliililliilililliliililililuuuuuuu)(2121212121,应力张量应力张量的对称的对称性性 ijijv :uu:)( )(,ililliiludvdvdvVVVVuf:)(应变能密度应变能密度增量增量 (11-13)(11-14)代(11-12a) 弹性应变能与弹性应变能与变形过程变形过程无关，只取决于变形的最终状态，无关，只取决于变形的最终状态，是状态
8、函数，其增量为全微分是状态函数，其增量为全微分（能量守恒定律解释）（能量守恒定律解释）ijijijijijvvvvv)(Green公式公式, 适用适用一般材料，不局限一般材料，不局限线弹性材料线弹性材料(能量形式的物理方程能量形式的物理方程)增量为全微分增量为全微分(9-15)(9-16)与(11-14)比较 弹性体从初始应力和应变为零的状态弹性体从初始应力和应变为零的状态0，到受荷载作用发生，到受荷载作用发生变形后的状态变形后的状态1 的应变能为的应变能为10VV1010:vv)( :1010ttv积分与路径无积分与路径无关，假设按等关，假设按等比例加载比例加载应变能密度应变能密度为为对线弹
9、性力学10 0 :0 : ttt )( :1010ttvijijtt21:21:10(9-17)(21xzxzyzyzxyxyzzyyxxv应变能密度应变能密度为为 )(21ijklijijklvEvijijEEGv1)21)(1 (21 : )2(212I各向同性各向同性材料材料dvdvvVVV: )(21弹性体弹性体V V的应变能的应变能(9-17)(9-18)(9-19)根据物根据物理方程理方程 1.dv)(0dvc)(0应变能密度应变能密度应变能密度应变能密度21ccvvvv线弹性材料线弹性材料(9-20)(9-21)(9-22)(9-23)2. ijijccvvv:0线弹性材料线弹性
10、材料ijijcvv21:21dvdvvVVVcc)(:21弹性体弹性体V V的余应变的余应变能能(9-24)(9-25)和和几何方程几何方程和和拉格朗日乘子拉格朗日乘子应应变变能能密密度度余余能能密密度度应力应力应变应变关系关系应力应力应变应变关系关系0cJJ0cJ0J03J02J（为自变函数）ijiu,（为自变函数）ijijiu,uiiijjiijSxuuVxuu )(21,变形可能的位移变形可能的位移简称为简称为变形可能的应变变形可能的应变简称为简称为 iiiuu ftSuSSSS , , ,静力可能的应力静力可能的应力, , 简称为简称为 SxtnVxfijijijij 0,不一定是真实
11、的，但真实的一定在其中！性体性体V满足连续性条件满足平衡性条件可能功原理可能功原理：外力在容许位移上做的功等于静力可能的应外力在容许位移上做的功等于静力可能的应力在容许应变上做的功。力在容许应变上做的功。 VijkijsSkiiVkiidv dsutdvu f(9-29)VijkijsSikiVjikijsSikjijsVikjijsVikidv dsutdvu dsundvu dvu f,广义虚功方程广义虚功方程广义虚功原理广义虚功原理 ij满足平衡方程jiijijijuu ,u udsAndvASV利用高斯公式利用高斯公式 dsnAdvAjSijVjij, SikjijsVVjikijsi
12、kjijsdsundvu dvu ,jiijijijuu ,u ujiijijijjljlljjlijiljlijlijljiiljljilijlljjliilkljjkiillkjjkiiuuuuuueeueeuueeueeueeee ,u u可能功原理可能功原理广义虚功广义虚功方程的特性方程的特性1. 适用于任何性质的材料；适用于任何性质的材料； 2. 广义虚功方程中的位移、应变与应力是同一弹性体的两广义虚功方程中的位移、应变与应力是同一弹性体的两种不同的变形状态和受力状态种不同的变形状态和受力状态, 二者彼此独立；二者彼此独立；3. 对任意容许位移和容许应变对任意容许位移和容许应变, 使
13、广义虚功方程成立的函使广义虚功方程成立的函数必是静力可能的应数必是静力可能的应力力；4.4. 如果对任意静力可能的应力如果对任意静力可能的应力, ,满足广义虚功方程的位移满足广义虚功方程的位移函数和函数和应变应变必是变形可能的位移和应变。必是变形可能的位移和应变。 ijkiku ,VijkijsSkiiVkiidv dsutdvu f变形可能变形可能广义虚功方程成立广义虚功方程成立ijk静力可能静力可能VikjijSikjijSikiVjikijSiiSikiVijkijSikiVikidvudsundsutdvudsutdsutdvdsutdvu fu,SxtnVxfdsutn dvuf i
14、jijijijSikijijVikijij 0 0)()(,是静力可是静力可能的应力能的应力 ijkiku ,对任意对任意使广义虚功方程成立的使广义虚功方程成立的ij(9-29)高斯公式高斯公式广义虚功方程广义虚功方程 位移位移作为独立变量作为独立变量应力作为独立变量应力作为独立变量两组载荷两组载荷iit f ,VijkijsSkiiVkiidv dsutdvu f对于静力可能的应力对于静力可能的应力, ,外力在虚位移上所外力在虚位移上所做的功等于应力在与该虚位移相做的功等于应力在与该虚位移相应的虚应变上所做的功应的虚应变上所做的功外力虚功等于内力虚功外力虚功等于内力虚功。 VijijSiiV
15、iidv dsutdvu fijijkijiikiuuu ,(9-32)其中ijiu ,ijkiku ,广义虚功方程广义虚功方程 (11-29) 应用应用于两组变形可能状态于两组变形可能状态，相减，相减 虚虚位移位移方程方程从广义虚功方程广义虚功方程中，中，静力可能的应力静力可能的应力sij和可能变形和可能变形可能的位移可能的位移uki 及其对应的应变及其对应的应变kij可可以是彼此独立而以是彼此独立而无任何关系的受力状态和变形状态。无任何关系的受力状态和变形状态。如果取真实的应力为如果取真实的应力为静力可能的应力静力可能的应力，则可导出弹性，则可导出弹性体的虚位移原理。体的虚位移原理。设几何
16、可能的位移为设几何可能的位移为ui为真实位移，为真实位移， ui 表示真实位移邻近的位移的微小表示真实位移邻近的位移的微小改变量，称为虚位移改变量，称为虚位移(a) iiikuuu 因为真实位移因为真实位移ui 满足位移边界条件，所以，要求满足位移边界条件，所以，要求uki满满足位移边界条件，必须有足位移边界条件，必须有 ui=0 （在（在Su上）上） （b b）将（将（a a）代入几何方程，有）代入几何方程，有(c) )(21)(21 )(21 ,ijijijkijjiijjiijkjikijkuuuuuu 将（将（a a）（）（c c）代入）代入广义虚功方程广义虚功方程 VijijijSi
17、iiViiidv dsuutdvuu f)()()(由于由于 ui=0 （在（在Su上）上） VijijSiiViidv dsutdvu f虚虚位移位移方程方程(9-32) 虚位移原理等价于虚位移原理等价于和和。 VijijSijijVijijSijijVjiijVijjiijVijijdvu dsun dvu dsundvudvuu dv ,21(9-32)右端项代回(9-32) 虚位移原理等价于虚位移原理等价于平衡微分方程平衡微分方程和和应力边界条件应力边界条件。 SxtnVxfdsutn dvuf ijijijijSiijijViijij 00,平衡微分方程平衡微分方程应力边界条件应力边
18、界条件 VijijSiiViidv dsutdvu f虚虚位移位移方程方程Vdvv V SiiViidsutdvu fV(9-37)(9-32)弹性体应变能的变分等于外力虚功弹性体应变能的变分等于外力虚功。 SiiViiPdsutdvu fV设：设：VP 为外力势能为外力势能 SiiViiPdsutdvu fV(a)(9-38)(9-39)为已知外力函数，在虚位移过程中为不变量为已知外力函数，在虚位移过程中为不变量0)( PVV0)( JVVuJPi弹性体的总势能等于应变能与外力势能之和弹性体的总势能等于应变能与外力势能之和 SiiViiVijijidsutdvu fdvuJ21)( 在所有变
19、形可能的位移中在所有变形可能的位移中, , 实际存在的位移使总实际存在的位移使总势能取极小值。势能取极小值。 (9-40)J(ui) 是是ui的泛函的泛函极小极小势能原理等价于势能原理等价于和和。 SiijijViijijSiiijSijViijijSiiViiVjiijSiiViiVijijdsutndvufdsutdsundvufdsutdvu fdvudsutdvu fdvJ)()()(,SxtnVxfijijijij 0,(9-41)SiiViiVklijijkliSiiViiVijijidsutdvu fdvEuJdsutdvu fdvuJ21)(21)(上述变分问题是极小值，可证明
20、如下：上述变分问题是极小值，可证明如下：对线对线弹性弹性材料材料VklijijklSlklkiiVlklkiiVklijklijidvEdsuuuuut dvuuuuu fdvvuJ2222)(0)(2iuJ是极小值，解的唯一性，是最小值是极小值，解的唯一性，是最小值最小势能原理最小势能原理为正为正 总之总之，以位移作为基本未知函数求解弹性力学问题以位移作为基本未知函数求解弹性力学问题时，按时，按是要求解以位移表示的平衡方程，是要求解以位移表示的平衡方程，使所求的位移分量，在使所求的位移分量，在S Su u上满足位移边界条件，在上满足位移边界条件，在S S 上满足以位移表示的静力边界条件。上满
21、足以位移表示的静力边界条件。 而现在可归结为而现在可归结为求解位移变分方程求解位移变分方程，或者去，或者去求总势求总势能的极值能的极值。 求解方法：求解方法：最初所设的位移毋需事先满足静力边界最初所设的位移毋需事先满足静力边界条件，而只要满足位移边界条件就可以，因静力边界条件，而只要满足位移边界条件就可以，因静力边界条件会自动满足的。条件会自动满足的。悬臂梁原长悬臂梁原长l，承受集中载荷，承受集中载荷P，图示，已知梁的，图示，已知梁的抗弯刚度为抗弯刚度为EI，设曲线为，设曲线为 试用最小势能原理求梁自由端处的挠度。试用最小势能原理求梁自由端处的挠度。解：解：342321xaxaxaav3443
22、22212,3 0,0, 00, 0; 0, 0lalaadxvdvlxaadxdvxvxBB得Pxy由梁的边界条件解得又由即即BPBlBllllhhlxhhxBPVlEIdxxllEIVdxdxvdEIdxEIdxvdEIdxEIxMdydxEIxyMIyxMdydxVxlxlv 320223022202220202202232323)()3(2)(2212)()()(2121)3(2而弯而弯曲应曲应变能变能yEIM 1221dxvd v是梁的挠度，1/表示梁轴线挠曲后的曲率，则梁的应变能为：dxxMVl 0)(21lldxdxvdEIdxEIdxvdEIV02220222)(221由于22
23、1dxvdEIM 1在小变形情况下2222221),(dxvddxddxvdEyEdxvdyxudxdvyuxvvxxx小变形情况下，EIPlPlEIJPlEIVVJBBBBP303233332故故由最小势由最小势能原理能原理故故与精确解相同！与精确解相同！对于变形可能的应变对于变形可能的应变，虚应力的外余虚功等于内余虚虚应力的外余虚功等于内余虚功。功。 VijijSiidvdsutu(9-33)SxnVxjijjij 0 0,应力应力变分应满足的条件：变分应满足的条件：（9-31）929ijij（）和，将将广广义义虚虚功功方方程程应应用于用于两两组组静静力力可可能的能的应应力力然后相然后相减
24、减，并，并注注意意条条件件（931），得（931），得到到VijkijsSkiiVkiidv dsutdvu f虚应力原理等价于虚应力原理等价于几何方程几何方程和和位移边界条件位移边界条件。 由虚应由虚应力条件力条件 SxnVxjijjij 0 0,uuSijjiVijiiSVjiijijijVijijdvuudsutdvudsundvu,210(9-34)jiijijijuu ,u udsAndvASVVSiiiijjiijijSijjiVijiiuudsuutdvuudvuudsut0)(2121,(11-34)- (11-33)即：即：的任意性，可得和由变分iijt33)-(11 Vij
25、ijSiidvdsutuuiiijjiijSxuuVxuu 21,SiiViiSiiViidsutdvufdvutdvuf)1()2()1()2()2()1()2()1(第一组外力在第二组位移上所做的功第一组外力在第二组位移上所做的功, , 等于第二组外等于第二组外力在第一组位移上所做的功。这便是功的互等定理。力在第一组位移上所做的功。这便是功的互等定理。 仅适用于线弹性问题！ (9-36)VijijSiiViidv dsutdvu f广义虚广义虚功方程功方程)2()2()2()2()2()1()1()1()1()1( , , , , , ,ijijiiiijijiiiutfutf交叉代入，然
26、后相减(9-29)SiiViiSiiViiVijijVijijijijklijklijklklijijijklijklijijVijijVijijSiiSiiViiViidsutdvufdvutdvufdvdvEEEdvdvdsutdvutdvufdvuf)1()2()1()2()2()1()2()1()1()2()2()1()1()2()2()1()2()1()2()1()2()1()1()2()2()1()1()2()2()1()1()2()2()1( ijijijijijijcijijijijijcijijijcijijvvvvvv)()(证明：证明：(9-43)9-2已证已证 dsut
27、VJJdstuVvvvvvuuSiicccSiicijijijijccijcijijijijijijijc , 00)()(移项移项得证得证代虚应力方程代虚应力方程任意性，可得由ij 0212dvBJdsutdvBJklVijijklcSiiklVijijklcuijklBijklE柔度系数柔度系数是是 的逆张量的逆张量最小余能最小余能原理等价于原理等价于几何方程几何方程和和位移边界条件位移边界条件。 uiiijjiijcSxuuVxuuJ 210,dsnuudvuudstudsnudvudstudvuudstudvuJuuuuSjijiiVijijjiijSiiSjijiVijjiijSii
28、ijjijjijiVijijSiijijiVijijijc)()(21)()()()(, 证明：证明：增加一零项uiiijjiijcSxuuVxuuJ 210, 有：有：(945)cijJ ( )因因此此，泛泛函函的的极极值值条条件件与与几几何何方方程程和和位位移移边边界界条条件件等等价价。 根据最小势能原理, 弹性体中产生的真实位移应该是所有变形可能位移中能使总势能最小值者。 所谓变形可能位移, 是指那些在物体内部连续、在边界上满足给定的几何边界条件的位移。 显然, 能够满足这两个要求的位移可能有无限多组。要利用极值条件中选出使总势能取极小值的那一组, 实际上又回到拉梅方程的边值问题, 在数
29、学上将遇到很大的困难。为了实用的目的, 我们退而求它的近似解。具体方法是缩小极值函数的寻找范围，在较小范围的变形可能位移中, 选出一组使总势能取极小值的位移。当然一般地说, 该组位移并不是真正的, 但却是在所有参加挑选的那些位移中最接近真实位移的一组, 因此可以作为问题的近似解。 mmmmmmmmmwCwwvBvvuAuu000假设假设变形变形可可能位移能位移的形的形式式表示为表示为： (9-57)mmmwvu,mmmCBA,000,wvu1. 瑞利瑞利李兹法李兹法 Am，Bm，Cm为相互独立的为相互独立的3m个系数个系数，u0，v0，w0为设定的函数，它们的边界值等于给定的位移，设定的函数，
30、它们的边界值等于给定的位移， um，vm，wm为在边界上其值等于边界上其值为零的设定为在边界上其值等于边界上其值为零的设定函数。函数。 不论系数如何取值，总能满足位移边界条件。不论系数如何取值，总能满足位移边界条件。是变形可能的位移族是变形可能的位移族。mmmmmmmmmCwwBvvAuu(a)mmmmmmmCCVBBVAAVV0),(dsCwtBvtAutdvCwfBvfAufCCVBBVAAVdvutdvufVCBAJmSmmzmmymmxmVmmzmmymmxmmmmmmmSiiViimmm应变能应变能变分变分总势能总势能变分变分(b)SmzVmzmSmyVmymSmxVmxmdsvtd
31、xdydzufCVdsvtdxdydzufBVdsutdxdydzufAV(9-58)m=1,2,3应变能是系数的应变能是系数的 Am，Bm，Cm 二次函数二次函数上述方程是各个系数的线性代数方程组上述方程是各个系数的线性代数方程组!1.伽辽金伽辽金法法基本思想基本思想对于选择的位移，不仅满足位移边界条件，而对于选择的位移，不仅满足位移边界条件，而且还满足应力边界条件且还满足应力边界条件 SiiViidsutdvu fV(9-37)VijijiSjijVjiijVijijdvudsundvudvV,位移变分位移变分方程方程代回VSijijiiijijdvuntdsuf0)()(,满足应力边界条
32、件，该项为零Viijijdsuf0)(,得伽辽金伽辽金变分方程变分方程(9-59)假设位移函数的形式同瑞利瑞利李兹法李兹法(9-57)代入上式得另一种近似方法伽辽金伽辽金法法0dvCwfzyxdvBvfzyxdvAufzyxmmmVzzzyzxmmmVyyzyyxmmmVxxzxyx伽辽金伽辽金法法等于零，于是得它们的系数项应当分别彼此独立性，的任意性和根据mmmmmmCBACBA,上述方程是各个系数上述方程是各个系数 的线性代数方程组。的线性代数方程组。 mmmCBA,000dxdydzwfzyxdxdydzvfzyxdxdydzufzyxmVzzzyzxmVyyzyyxmVxxzxyx(9
33、-60)例例题：题： 平面矩形薄板平面矩形薄板, 如图所示如图所示, 不计不计体力体力, 试求薄板的位移。试求薄板的位移。设该问题为平面应力问题设该问题为平面应力问题, , 这时这时, , 弹性弹性体的应变能为体的应变能为 dxdyyuxvyvxuyvxuEdxdyVxyxyyyxx)(212)()()1 (2)(212222采用瑞利瑞利李兹法李兹法)()(321321 yBxBByvyAxAAxu(f)(e)例例题解题解(f)式满足位移边界条件0 , 000yxvu11111111, 0, 0,ByvxvyuAxuyBvBvxAuAu0, 000vu取(f)式取第一项)2()1 (2)2()
34、1 (21121212001121212BABAEabdxdyBABAEVab 代(e)式(h)(g)例例题解题解abqdxbqdyydsvtBVabqdxxdyaqdsutAVbbSybbSx202011100111)()0()0()(1 ; 0 , 0mffyx代（9-58）式(i)(h)代入(i)abqABEababqBAEab21121112)22()1 (2)22()1 (2mzxmmzxzxmyzmmyzyzmxymmxyxymmzmzzmmymyymmxmxxCBACBA000000假设应力分量的形式表示为： (9-61)定函数。奇次应力边界条件的设程和是满足奇次平衡微分方数，应
35、力边界条件的设定函是满足平衡微分方程和个独立的待定系数，mijijmmmmCBA03,帕普考维奇建议：帕普考维奇建议：00 1,2,3(962)(962)uuuumijijmmmccciijjmijijmmmmSScmcmijijmmmmSmmcijijmSmAVJVun dsAu nA dsAJVAu nA dsAAVu ndsmAAm 总余能变分为根据最小余能原理即由于是任意的，得到：式是的线性代数方程组。共 个方程222220960 1,2,3(963), uiScmxxyyxyuVmAf xf yyxx y 如果位移边界上位移全为零，即，或者全部边界为应力边界条件。则（）简化为在平面问
36、题中，如果体力是常量，存在，00 1,2,3(964)mmmmmAmAm在应用应力变分法时，可以设定应力函数为是互不依赖的 个系数。现在，只须使给出的应力分量满足实际的应力边界条件，并使给出的应力分量满足无面力时的应力边界条件。222222222222222122(1) (965)21(1)()22 (966)2012 21()()2cxyxyxycxyxyxycxyxycxyVdxdyEVdxdyEVdxdyEVf xf yEyx 平面应力平面应变单连体，可取，上两式简化为将应力分量代入，222() (967)dxdyx y 2222222222(967)(963)()()2()0 1,2,
37、3(968)xymmmmf xf yyAyxAxdxdymx yAx ymmA 将代入得个线性代数方程，可以用来决定 个系数。0)( , 0)(0)( ,1)(22bxxybxyaxxyaxxbyqq条件是边界，如图所示。在这里，度为分布的拉力，其最大集有按抛物线体力不计，在边界上受设有矩形薄板或长柱，例题例题022022200222200002964126 ()1()0, ()0 xyxyqyybyqybxx y 取表达式（）中的 为则可以满足边界条件。(b) 11612,11,)()(44622225444223222122222222220222222222222 byAbyaxAaxA
38、byAaxAAbyaxqbbyyqAyxbyxaxybyaxbyaxmmmmmmmm上成为零。取的二阶导数在所有四边及对的两对边上成为零，的二阶导数在对的两对边上成为零，的二阶导数在对以使或具有因子取面力时的边界条件，所对应的应力能满足无为了使得(c) 11612)(1122222221222122221byaxqbAbyyqAbbaqbAAyxyx，即式中一个系数首先，取，等等。，子因次的，所以布置了因等系数成为无，的偶次幂。为了使得和只取轴，所以在级数中轴及于因为应力分布应当对称222222221122124124196842()0 (c)64256641749710.0425xyyAyx
39、Axdxdyx yAx ybbAaabAa 注意 是 及 的偶函数，公式（）成为将是代入，进行积分，简化以后，得命，得 (d) 11612830. 0011681. 0311170. 0311170. 0122322212222222122232122222222222222222222222byAaxAAbyaxqbAbyyqAAAbqyxaxyayaxqyxaxayqxayaxqayqyabcxxyyx，）三个系数数值，取（为了求得较精确的应力。处，再求应力分量，得），命代入式（）（得进行与上相同的运算，eAababAabAabAabAababAabAabAabAabab 11431927
40、725671927764776411641164177647764771927725614319276411641776449644964776476449256764344222441443442442214434422214422 862. 0830. 0000. 1)(862. 0015121024. 031162. 01)(0011716. 0040405. 0442222220321左右。及，分别为个和三个系数，在中心中不取待定系数、取一当式。处，在中心为的截面上的由此得，），得，求联立方程（命qqqbqyayayqayayqxAAAeabxxxxx 32675. 00 . 1 64
41、9. 0653. 08 . 06 . 0 669. 0684. 00.42 . 0 690. 0000183. 01250. 00798. 05 . 00321，验证圣原理。均应力的各个数值都很接近平可见，如下：的截面上，正应力分布在，）得程（，则由联立方命逐渐趋于均匀。例如，的截面上的正应力逐渐减小时，当比值qqbqbbqqbbqyxAAAeabxabxx前面介绍的是前面介绍的是单变量变分原理，如果为了使变分原理单变量变分原理，如果为了使变分原理包含更多的等价条件包含更多的等价条件, , 引进两种变量引进两种变量, , 如应力和应如应力和应变变, , 或引进三种变量或引进三种变量, , 如位
42、移、应力、应变如位移、应力、应变, , 作为作为独立的自变函数独立的自变函数, , 那么那么, , 称这样的变分原理为广义变称这样的变分原理为广义变分原理。分原理。“广义变分原理在实质上就是把有条件的变分泛函用广义变分原理在实质上就是把有条件的变分泛函用拉格朗日乘子转化为无条件的泛函的变分原理拉格朗日乘子转化为无条件的泛函的变分原理” 钱伟长钱伟长“所谓广义是指变分原理所反映的客观规律比较多所谓广义是指变分原理所反映的客观规律比较多, ,某某变分原理所反映的客观规律越多变分原理所反映的客观规律越多, ,它就越广义它就越广义”胡胡海昌海昌 一、赖斯纳赖斯纳 (Reissner)原理 赖斯纳变分原
43、理是把有条件的最小余能原理推广为无条件赖斯纳变分原理是把有条件的最小余能原理推广为无条件的的, , 并以位移和应力向为自变函数的二变量广义变分原理。并以位移和应力向为自变函数的二变量广义变分原理。它的泛函定义为它的泛函定义为 SiiiViijijSiiVcijidsuttdvufdstudvvuJu)()( ),(,2(9-48)独立变量uiiijijijijijjiijcSxuuSxtnVxfVxuuvJ 0 )(210,2一、赖斯纳 (Reissner)原理 等价条件等价条件(9-50)(9-49)二、胡-鹫 原理 (Hu-Wshizu原理)ijijiu,三变量uSiiiVijijjiijSiiViidsuutdvuudsutdvufvJ)()(21)(,3二、胡-鹫 原理 (Hu-Wshizu原理)uiiijijijijijjiijijijSxuuSxtnVxfVxuuVxvJ 0 )(21 0,3(9-51)
