1、2.10 达朗伯佯谬儒可夫斯基定理完全流体中的圆柱不受升力和阻力的作用。通过对圆柱表面的压力进行积分来证明。考虑作用于维物体单位长度上的力。如图。圆柱断面上点上的微小中心角形成的面积元为（为圆柱的半径）。作用于这上的力为，指向圆柱中心。PdaddA apad将这个力分解成方向的成分，方向的成分对它们从到进行积分，得到对单位长度圆柱在和方向的作用力分别为xdXydYcos paddXsinpaddY02xy20cos dpaX20sin dpaY从伯努利定理得代入下列公式得积分的结果为（达朗伯佯谬）22022sin2)sin41 (21VpVpp2222230000cos0,sincos0,si
2、n0,sin0dddd 0X0Y但是，真实气体中存在粘性，任何物体都受到阻力。除了摩擦应力以外，压力分布也同完全流体不同。两者的不同在物体的后端较大，像圆柱那样梯度很大的情况下更加明显。用这时的压力分布进行积分，则。0X圆柱绕流的流动重合 完全流体的均匀来流(a) 围绕圆柱形成的循环流(b) 有循环的流动(c)(a)和(b)两种情况下都不存在力而(c)的情况下则产生向上的力原因：圆柱的上侧流动被加速，下侧流动被减速。从伯努利定理得知，从同一状态出发的流体，速度大时压力小，速度小时压力大。圆柱的上侧压力小，下侧压力大，因此产生向上的压力差。例：乒乓球、网球、棒球等球类运动中。使球旋转，由于粘性而
3、产生循环，从而形成与前进方向垂直的力。这种力使球行进方向偏转。这种现象是由德国的物理学家马格纳斯发现，称为马格纳斯效果(Magnus effect)。库塔儒可夫斯基定理：在速度为的均匀来流中垂直放入维物体，物体周围的环量为，流体的密度为时，在与均匀来流和物体轴垂直方向，物体单位长度产生的力。VV圆柱情况下的证明圆柱表面上的流速分为两部分均匀来流所形成的流速循环流所形成的流速两者的和为sin2Vv av2aVv2sin2圆柱表面的压力系数为由此可得圆柱单位长度的表面压强为22222sin21121aVVvVppCp2212sin22ppVaV222220sin2sin8VaVap将此式代入求力的
4、公式，得0XVY图为真实气体中的旋转圆柱周围的流线图，产生伴流，并有阻力。无论物体的形状如何，只要是周围有环量，就会产生垂直于流动方向的力。机翼的升力也是由此产生的。机翼是最有效地产生环量的物体。将机翼放在静止的流体中，从静止状态渐渐加速，最终形成定常的，均匀来流，流过机翼。(a)是流体为完全流体时的流线图。流体在机翼后缘向上卷起。一般地，后缘薄而尖，流速很大。因此压强十分低。流体为空气等真实流体时，由于粘性作用，流体不能绕过后缘，逆压而上。于是如(b)所示，向下游放出涡这样，就形成了如(c)所示的在后缘平滑合流的流动。(c) 流动可以分解成完全流体无环量流 (a)和有环量流(d)。机翼通过从
5、后缘放出涡，而在机翼周围形成环量，产生有库塔儒可夫斯基定理所表示的升力。2.11 静的升力效果气球、汽艇等轻航空机是利用静的升力而浮升。飞机等重航空机也受到静的升力。静的升力是由阿基米德定律给出的浮力，其大小等于物体排开流体的重量。气体的情况下，比起动的升力来，静的浮力小得可以忽略不计。而且，飞机机体内部空气的密度或是等于外部的，不能产生实质性升力。必须像轻航空机那样，在气囊中充满比空气密度小的气体，才能产生有效的浮力。静的浮力和动的升力两者产生的原因不同，但是都以压强的形式起作用。如同伯努利定理那样，由流体的运动产生的动的升力和由重力而产生的浮力可以分开来考虑。如图所示。均匀来流方向取轴，重
6、力方向取轴，与两轴垂直方向取轴。流体密度为一定的完全流体。xzy作用于物体表面上各轴方向的力的成分分别为AdApXcosAdApYsinsinAAdpZsinsin将伯努利定理代入，得Cgzvp221AAdAzgdAvXcoscos212AAdAzgdAvYsinsinsinsin212AAdAzgdAvZcossincossin212各式的第项积分，得这里，为物体的体积。浮力作用于方向AdAz0cosAdAz0sinsinAQdAzcossinQzgQBB各轴向的力分别为AdAvXcos212AdAvYsinsin212ABdAvZcossin212作业速度为的均匀来流中的机翼表面某点的速度为。如果流体为不可压流。问这点的压力系数为多少。空气(1.225kg/m)在断面积减少的圆管内流动。断面1的管的直径为50cm，平均流速为30m/s，压力为200kPa，断面的直径为30cm。求断面的平均流速及压力。VkV
