1、1 排队论排队论教学目的教学目的：了解排队论的经济含义；了解排队论的经济含义；排队系统的一般概念和简单的排队系排队系统的一般概念和简单的排队系统；了解排队问题的计算机仿真。统；了解排队问题的计算机仿真。 2学习内容学习内容大纲内容大纲内容知识要点知识要点基本概念基本概念排队系统排队系统泊松分布、负指数分布泊松分布、负指数分布排队系统排队系统排队系统的一般指标排队系统的一般指标排队模型的运用排队模型的运用M/M/1、M/M/C排队问题的仿真排队问题的仿真Excel 仿真仿真3引导案例引导案例-1 银行排队系统银行排队系统4引导案例引导案例-2 医院排队系统医院排队系统5形形色色的排队系统形形色色
2、的排队系统达到的顾客达到的顾客要求服务的内容要求服务的内容服务的机构服务的机构出故障的机器出故障的机器修理技工修理技工病人病人电话呼叫电话呼叫进港货船进港货船入水库河水入水库河水达到机场上空的飞机达到机场上空的飞机刑事案件刑事案件达到路口的车辆达到路口的车辆来犯敌机来犯敌机修理修理领取修配零件领取修配零件诊断（或治疗）诊断（或治疗）通话通话装（卸）货装（卸）货放水、调整水位放水、调整水位降落降落侦破侦破通过路口通过路口截击截击修理技工修理技工发放发放修配零件修配零件的管理员的管理员医生（或治疗设备）医生（或治疗设备）交换台交换台装（卸）货码头（泊位）装（卸）货码头（泊位）水闸、管理员水闸、管理
3、员跑道跑道刑侦部门刑侦部门交通信号灯交通信号灯我防空部队我防空部队6为什么会出现排队现象？为什么会出现排队现象？假定每小时平均有假定每小时平均有4位顾客到达，服务人员为每位顾客的位顾客到达，服务人员为每位顾客的平均服务时间为平均服务时间为15分钟。如果顾客到达的间隔时间正好是分钟。如果顾客到达的间隔时间正好是15分分钟，而服务人员为每位顾客的服务时间也正好是钟，而服务人员为每位顾客的服务时间也正好是15分钟，那么，分钟，那么，就只需要一名服务人员，顾客也根本用不着等待。就只需要一名服务人员，顾客也根本用不着等待。 在以下情况将出现排队现象：在以下情况将出现排队现象： 平均到达率高于平均服务率平
4、均到达率高于平均服务率 顾客到达的间隔时间不一样（随机）顾客到达的间隔时间不一样（随机） 服务时间不一样（随机）服务时间不一样（随机）顾客离开顾客离开顾客顾客顾客排队顾客排队服务设施服务设施7到达数量到达数量时时 间间普通能力普通能力排队问题并不是系统的固定状态，它与系统设计与排队问题并不是系统的固定状态，它与系统设计与管理的控制有很大关系。如快餐店只允许很短的队管理的控制有很大关系。如快餐店只允许很短的队长，也可为特定的顾客留出特定的时间段；也可以长，也可为特定的顾客留出特定的时间段；也可以通过使用更快的服务人员、机器或采用不同的设施通过使用更快的服务人员、机器或采用不同的设施布局和政策来影
5、响顾客的到达时间和服务时间。布局和政策来影响顾客的到达时间和服务时间。81 排队论的基本问题排队论的基本问题1.1 排队论的主要研究内容排队论的主要研究内容数量指标数量指标u研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统的基本运行特征。布及其数字特征，了解系统的基本运行特征。统计推断统计推断u检验系统是否达到平稳状态；检验顾客达到间隔检验系统是否达到平稳状态；检验顾客达到间隔的独立性；确定服务时间分布及参数。的独立性；确定服务时间分布及参数。系统优化系统优化u系统的最优设计和最优运营问题。系统的最优设计和最优运营问题。91.2 排队
6、论的经济含义排队论的经济含义排队问题的核心问题实际上就是对不排队问题的核心问题实际上就是对不同因素做权衡决策。管理者必须衡量同因素做权衡决策。管理者必须衡量为提供更快捷的服务（如更多的车道、为提供更快捷的服务（如更多的车道、额外的降落跑道、更多的收银台）而额外的降落跑道、更多的收银台）而增加的成本和相应的等待造成的费用增加的成本和相应的等待造成的费用之间的关系。之间的关系。10服务成本与等待成本的权衡（成本效益平衡）服务成本与等待成本的权衡（成本效益平衡）总成本总成本成本成本最佳能力最佳能力等待成本等待成本服务成本服务成本最小值最小值排队分析的目的是使顾客等待成本与服务能力成本排队分析的目的是
7、使顾客等待成本与服务能力成本这两项成本之和最小这两项成本之和最小112 排队论概述排队论概述2.1 基本概念基本概念概念概念u在队列中，等待服务的顾客（在队列中，等待服务的顾客（customer）和服务台）和服务台（server）就构成了一个排队系统（）就构成了一个排队系统（queuing system）。）。本质本质u研究服务台与顾客之间服务与接收服务的效率问题。研究服务台与顾客之间服务与接收服务的效率问题。总体目标总体目标u以最少的服务台满足最多的客户需求。以最少的服务台满足最多的客户需求。 122.2 排队系统的一般形式排队系统的一般形式排队可以是有形的队列，也可以是无排队可以是有形的队
8、列，也可以是无形的队列。排队可以是人，也可以是形的队列。排队可以是人，也可以是物。物。 顾客源顾客源排队结构排队结构服服务务机机构构顾客到来顾客到来排队规则排队规则服务规则服务规则顾客离去顾客离去服务系统服务系统133 排队问题的特征排队问题的特征总体来源总体来源到达与服务模式到达与服务模式排队纪律（服务顺序）排队纪律（服务顺序）服务员数量（通道）服务员数量（通道）14有限顾客源有限顾客源例如：公司只有例如：公司只有三台机器时，需三台机器时，需要维修的数量要维修的数量潜在顾客数量潜在顾客数量无限顾客源无限顾客源例如：排队等候例如：排队等候公共汽车的乘客公共汽车的乘客人数人数3.1 总体来源总体
9、来源分析排队问题所用方法取决于潜在顾分析排队问题所用方法取决于潜在顾客数量是否有限。客数量是否有限。本章讨论的重点本章讨论的重点153.2 顾客到达与服务模式顾客到达与服务模式常用的模型常用的模型假定假定顾客到达速度服从顾客到达速度服从泊泊松分布松分布，服务时间服从，服务时间服从指数分布指数分布。163.2.1 泊松分布泊松分布定义：设定义：设 N（t）为时间）为时间 0，t 内达到系统的内达到系统的顾客数，如果满足下面三个条件：顾客数，如果满足下面三个条件：u平稳性：在平稳性：在 t ，t + t 内有一个顾客达到的概率与内有一个顾客达到的概率与t无关；无关；u独立性：在任意两个不相交时间区
10、间内顾客达到相互独立性：在任意两个不相交时间区间内顾客达到相互独立；独立；u普通性：在普通性：在 t ，t + t内多于一个顾客达到的概率极内多于一个顾客达到的概率极小，为小，为 ( t )，可以忽略。，可以忽略。则称则称 N（t），），t 0 为为Poisson 过程，其对过程，其对应的分布为泊松分布（应的分布为泊松分布（ Poisson 分布）。分布）。17泊松分布的形式泊松分布的形式相对相对频度频度0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.200.180.160.140.120.100.080.060.040.020.00泊松分布泊松分布（比率）（比率）每单位时间顾客数
11、每单位时间顾客数图图 泊松分布泊松分布18泊松分布的概率密度函数泊松分布的概率密度函数()( )!nTTT eP nnTn：单位时间段； :到达率：单位时间段内到达的人数如果一个系统的平均到达率是每分钟有如果一个系统的平均到达率是每分钟有3个顾个顾客到达（客到达（ =3），求），求1分钟内有分钟内有5个人到达的个人到达的概率概率(5,1)nT53 15331(3 1)3(5)2.0250.1015!120eePe 193.2.2 指数分布指数分布当顾客以完全随机的方式到达服务实当顾客以完全随机的方式到达服务实施时，相邻到达间隔时间服从指数分施时，相邻到达间隔时间服从指数分布，但布，但平均到达率
12、不变平均到达率不变；随机服务时间服从指数分布，但随机服务时间服从指数分布，但平均平均服务率不变服务率不变；20（负）指数分布的形式（负）指数分布的形式图图 负指数分布负指数分布指数分布指数分布（时间）（时间）相对频率相对频率0时间时间21（负）指数分布的概率密度函数（负）指数分布的概率密度函数tf(t)et：单位时间段内到达的顾客数量：时间间隔22（1）（2）（3）t（分钟）（分钟）下一个顾客在大于等于下一个顾客在大于等于t分钟内到达的概率分钟内到达的概率下一个顾客在小于等于下一个顾客在小于等于t分钟内到达的概率分钟内到达的概率01.0000.50.610.391.00.370.631.50.
13、220.782.00.140.861备注：设 表表 下一个到达的顾客的时间间隔的概率下一个到达的顾客的时间间隔的概率233.2.3 泊松分布和指数分布的关系泊松分布和指数分布的关系泊松分布与指数分布可以互相推导得泊松分布与指数分布可以互相推导得到。泊松分布的期望值和方差相等，到。泊松分布的期望值和方差相等，都为都为 ；指数分布期望值为；指数分布期望值为1/ ,方差方差为为1/ 2 。相邻顾客到达相邻顾客到达时间间隔时间间隔服从指数分布，服从指数分布，单位单位时间段内时间段内到达的顾客数服从泊松到达的顾客数服从泊松分布。分布。243.3 排队纪律排队纪律/排队规则排队规则/服务顺序服务顺序排队规
14、则的排队规则的3种类型种类型 损失制损失制 等待制等待制排队规则排队规则混合制混合制25等待制的四种类型等待制的四种类型最短处理时间最短处理时间SPT随机服务随机服务RS后到先服务后到先服务LCFS先到先服务先到先服务FCFS263.4 服务员数量服务员数量排队系统中的常见变形排队系统中的常见变形Title in here多通道多通道单阶段单阶段Title in here单通道单通道多阶段多阶段Title in here单通道单通道单阶段单阶段Title in here多通道多通道多阶段多阶段排队系统排队系统27排队系统的四种变形排队系统的四种变形-1单通道单通道多阶段多阶段 服务台服务台单通
15、道，单阶段单通道，单阶段 排队排队单通道、单阶段排队系统单通道、单阶段排队系统单通道、多阶段排队系统单通道、多阶段排队系统 排队排队 服务台服务台 服务台服务台28多通道多通道单阶段单阶段多通道多通道多阶段多阶段多通道、单阶段排队系统多通道、单阶段排队系统多通道、多阶段排队系统多通道、多阶段排队系统排队系统的四种变形排队系统的四种变形-2294 排队模型排队模型4.1 排队问题的一般表达方式排队问题的一般表达方式一般形式：一般形式： X / Y / CuX 顾客相继达到顾客相继达到时间间隔时间间隔的概率分布；的概率分布；uY 服务时间的概率分布；服务时间的概率分布；uC服务台的个数；服务台的个
16、数；304.2 一些特殊排队模型一些特殊排队模型模型模型分布分布服务服务阶段阶段顾客源顾客源到达到达分布分布排队排队规则规则服务时服务时间分布间分布队列队列长度长度典型例子典型例子模型表模型表示示1单通道单通道 单一单一无限无限泊松泊松 FCFS指数指数无限无限只有一个出只有一个出口的收费桥口的收费桥M/M/12单通道单通道 单一单一无限无限泊松泊松 FCFS常数常数无限无限游乐园的游乐园的过山车过山车M/G/13多通道多通道 单一单一无限无限泊松泊松 FCFS指数指数无限无限银行柜台银行柜台服务服务M/M/C4多通道多通道 单一单一有限有限泊松泊松 FCFS指数指数无限无限工厂里故障工厂里故
17、障机器的维修机器的维修指数分布指数分布常数分布常数分布314.3 模型符号定义（无限顾客源）模型符号定义（无限顾客源）符号符号代表代表 顾客到达速度（到达率）；顾客到达速度（到达率）；1/ 代表相邻到达平均时间间隔代表相邻到达平均时间间隔,u服务速度（服务率）；服务速度（服务率）； 1/ 代表平均服务时间代表平均服务时间系统利用率，即到达率与服务率的比值系统利用率，即到达率与服务率的比值Lq等候服务的顾客平均数等候服务的顾客平均数Ls系统中的顾客平均数（正在等候的正在接受服务的）系统中的顾客平均数（正在等候的正在接受服务的）Wq顾客排队等候的平均时间顾客排队等候的平均时间Ws顾客在系统中花费的
18、平均时间（排队等候时间服务时间）顾客在系统中花费的平均时间（排队等候时间服务时间）r正在接受服务的顾客平均数正在接受服务的顾客平均数n系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数C服务台（通道）数量服务台（通道）数量P0系统系统0个个顾客概率顾客概率Pn系统有系统有n个个顾客的概率顾客的概率Lmax队列中等候的最大期望值队列中等候的最大期望值32系统利用率系统利用率 正在接受服务的顾客平均数正在接受服务的顾客平均数系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数系统中等待的平均顾客数系统中等待的平均顾客数顾客平均逗留时间顾客平均逗留时间顾客平均等待时间顾客平均等待时间rssLWuqsqsLLWLr1LqWqWsu
19、1LsWsu4.4 模型参数计算模型参数计算-1（ M/M/1）01P(1)(1)nnPn 33三种重要的关系三种重要的关系“管道原理管道原理”: u稳定系统中平均输出稳定系统中平均输出= 平均输入（率）平均输入（率）= 时间的可加性时间的可加性u在系统中逗留的时间等于服务时间加排队在系统中逗留的时间等于服务时间加排队利特尔法则利特尔法则1WsWqussLWqqLWLW344.4 模型参数计算模型参数计算-2（ M/G/1 ）系统利用率系统利用率 正在接受服务的顾客平均数正在接受服务的顾客平均数系统中等待的平均顾客数系统中等待的平均顾客数系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数顾客平均逗留时间顾客
20、平均逗留时间顾客平均等待时间顾客平均等待时间1CC，L sL qr22 ()qLu uLqWqLsWsru常数服务时间能将系统的平均顾客数砍掉一半常数服务时间能将系统的平均顾客数砍掉一半354.4 模型参数计算模型参数计算-3（ M/M/C）-1系统利用率系统利用率 正在接受服务的顾客平均数正在接受服务的顾客平均数系统中等待的平均顾客数系统中等待的平均顾客数系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数顾客平均逗留时间顾客平均逗留时间顾客平均等待时间顾客平均等待时间CL sL qr02!(1)cqrLpcLqWqLsWsr364.4 模型参数计算模型参数计算-3（ M/M/C）-21100!(1)ncc
21、nrrPncnP 0!nrpn(0)nc01!nncr pccg()nc37例例1一个码头，设待卸货船到达时间间隔服从一个码头，设待卸货船到达时间间隔服从负指数分布，平均到达负指数分布，平均到达 2 艘艘/小时；服务台小时；服务台是是1台吊车，卸货时间服从负指数分布，台吊车，卸货时间服从负指数分布，平均每平均每 20 分钟可卸一艘货船，当被占用分钟可卸一艘货船，当被占用时，新到货船只能停在码头等待。求在平时，新到货船只能停在码头等待。求在平稳状态下码头上货船的平均数；等待卸货稳状态下码头上货船的平均数；等待卸货船只的平均数；每艘货船在码头的平均停船只的平均数；每艘货船在码头的平均停留时间；货船
22、平均需等待多长时间可以开留时间；货船平均需等待多长时间可以开始卸货。始卸货。38解：解：这是一个典型的这是一个典型的M/M/1排队排队问题问题213r260320u 22()3 2sLu艘24233qsLLr(艘)423()23LqWq小时21()2LsWs小时39例例2某医院手术室根据病人就诊和完成手某医院手术室根据病人就诊和完成手术时间的记录，任意抽查术时间的记录，任意抽查100个工作个工作小时，每小时来就诊的病人数小时，每小时来就诊的病人数n的出的出现次数如表现次数如表6所示。又任意抽查了所示。又任意抽查了100个完成手术的病例，所用时间个完成手术的病例，所用时间t出现出现的次数如下表所
23、示。试分别用公式、的次数如下表所示。试分别用公式、excel和仿真求解：和仿真求解：40 到达病人数到达病人数 n出现次出现次数数 f n0101282293164105661合计合计100到达病人数到达病人数为病人完成手术为病人完成手术时间时间t/小时小时出现次数出现次数 ft 0.00.2380.20.4250.40.6170.6 1.890.81.061.01.251.20合计合计100手术时间手术时间41解：解：这也是一个这也是一个M/M/1排队排队问题问题（1）计算平均到达率）计算平均到达率2.1(/)100nnf人 时 平均手术时间平均手术时间0.4()100ttfT 时/人 平均
24、服务率平均服务率12.5()0.4u 人/时42（2）取）取=2.1，=2.5，通过统计检验方法认为，通过统计检验方法认为病人到达数服从参数为病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手的泊松分布，手术时间服从参数为术时间服从参数为2.5的指数分布。的指数分布。（3）服务设备利用率服务设备利用率2.10.842.5这说明服务机构（手术室）有这说明服务机构（手术室）有84%的时间的时间是繁忙是繁忙的的（被利用），有（被利用），有16%的时间是空的时间是空闲的。闲的。430.84ru2.12.5u 2.15.25()2.5 2.1sLu人5.250.844.41qsLLr(人)4.412.1()2.1
25、LqWq小时5.252.5()2.1LsWs小时（4）依次带入公式，算出各指标得：依次带入公式，算出各指标得：44单通道仿真视频单通道仿真视频45排队系统仿真软件排队系统仿真软件Flexsim-1Flexsim是建立在系统理论、控制理是建立在系统理论、控制理论、数理统计、信息技术和计算机技论、数理统计、信息技术和计算机技术等理论基础之上的仿真软件，它是术等理论基础之上的仿真软件，它是系统模型规范化和数字化相结合的过系统模型规范化和数字化相结合的过程。程。46排队系统仿真软件排队系统仿真软件Flexsim-2Flexsim在排队系统中的应用主要是利用仿真在排队系统中的应用主要是利用仿真模型来研究
26、排队系统，首先通过仿真模型的模型来研究排队系统，首先通过仿真模型的运行，便于更好的观测排队系统过程中出现运行，便于更好的观测排队系统过程中出现的一系列复杂变化和动态过程；其次通过仿的一系列复杂变化和动态过程；其次通过仿真模型稳定后的相关值与排队系统理论值的真模型稳定后的相关值与排队系统理论值的比较，得出他们的值正好相等。比较，得出他们的值正好相等。Flexsim在排队系统中的应用有助于我们进一在排队系统中的应用有助于我们进一步理解排队系统的相关概念和加深对排队系步理解排队系统的相关概念和加深对排队系统的全面认识，从而对改进排队系统做出正统的全面认识，从而对改进排队系统做出正确的举措。确的举措。
27、47单通道单通道Excel求解求解48例例3-1Robot公司在全美经营把加油和汽车冲洗合并在公司在全美经营把加油和汽车冲洗合并在一起的业务。一起的业务。Robot公司对加满油的车辆提供免公司对加满油的车辆提供免费冲洗，对于不加油只冲洗的车收费费冲洗，对于不加油只冲洗的车收费0.5美元。美元。以往的经验表明：加油并且洗车的顾客数和单独以往的经验表明：加油并且洗车的顾客数和单独洗车的顾客数大致相等。平均加一次油可盈利洗车的顾客数大致相等。平均加一次油可盈利0.7美元，洗一次车的成本是美元，洗一次车的成本是0.1美元，公司每天美元，公司每天营业营业14小时。小时。Robot有三档功率和清洗组合不同
28、的设备。选择有三档功率和清洗组合不同的设备。选择I档功率时，可以每档功率时，可以每5分钟洗分钟洗1辆车，每天的成本是辆车，每天的成本是12美元。美元。II档功率高于档功率高于I档，每档，每4分钟洗分钟洗1辆车，但辆车，但每天的成本是每天的成本是16美元；选择美元；选择III档功率时，每洗档功率时，每洗1辆车需辆车需3分钟，但每天的成本是分钟，但每天的成本是22美元。美元。49例例3-2Robot公司估计，每个顾客洗公司估计，每个顾客洗1辆车不辆车不愿等待的时间不超过愿等待的时间不超过5分钟，若等待分钟，若等待的时间过长，公司将失去顾客。的时间过长，公司将失去顾客。若估计每小时有若估计每小时有1
29、0名顾客前来洗车，名顾客前来洗车，那么该选择哪档功率的设备？那么该选择哪档功率的设备？50解：解：这是一个典型的这是一个典型的M/G/1排队排队问题问题（1）选择功率）选择功率I时时22102.08333(2 ()2 12 (12 10)qLu u小时)10112r1012u 顾客平均等待时间顾客平均等待时间2.083330.208()10LqWq小时 ，即12.5(分钟)51（2）选择功率）选择功率II时时22100.667(2 ()2 12 (15 10)qLu u小时)10115r1015u 顾客平均等待时间顾客平均等待时间0.6670.0667()10LqWq小时 ，即4(分钟)如果等
30、待时间是唯一标准，则应选择功率如果等待时间是唯一标准，则应选择功率II的设备，但在我们做出最后结论之前，还必的设备，但在我们做出最后结论之前，还必须看一下二者的利润差异。须看一下二者的利润差异。52 (3)对于功率对于功率I，由于等待时间为，由于等待时间为12.5分钟，部分钟，部分顾客会放弃接受服务。尽管这将使数学分顾客会放弃接受服务。尽管这将使数学分析复杂化，我们仍可以估计出选择功率分析复杂化，我们仍可以估计出选择功率I时营业额的减少量。我们可以通过假设时营业额的减少量。我们可以通过假设Wq=5分钟（分钟（1/12小时），并从中解得小时），并从中解得 ，这将是最有效的顾客到达率。这将是最有效
31、的顾客到达率。2/2 ()2 ()Lqu uWqu u2212()(12)2128(/)11212()(12)12qqW uW u人 小时53因此，既然因此，既然 的最初估计是的最初估计是10人人/小时，则每小时，则每小时将失去小时将失去2名顾客。名顾客。每天的损失每天的损失(S)：12 14(0.70.4)15.4(/)2S 美元 天而选择功率而选择功率II，成本只增加了，成本只增加了4美元美元/天，显天，显然，相比较于损失的然，相比较于损失的15.4美元，我们都会选美元，我们都会选择功率择功率II设备。设备。功率功率II能满足最初设定的能满足最初设定的5分钟等待最大限分钟等待最大限度，因而
32、功率度，因而功率III可不予考虑，除非可不予考虑，除非 变大。变大。54例例4 Disneyland乐园中的排队乐园中的排队在游乐园中的频频排队会极为扫兴，在游乐园中的频频排队会极为扫兴，Disneyland中的中的FastPass (QuickPass)系统就系统就是想解决这个问题的。其工作原理如下：是想解决这个问题的。其工作原理如下： 到达的顾客将自己的票插入到达的顾客将自己的票插入FastPass的的slot中；中； FastPass计算出建议顾客返回的时间间隔或时间计算出建议顾客返回的时间间隔或时间点或时间窗；点或时间窗； 顾客无需排队，在指定的时间返回就可持票进入。顾客无需排队，在指
33、定的时间返回就可持票进入。55思考思考1. QuickPass对排队系统的那些特征参对排队系统的那些特征参数做了改变？数做了改变？2. 改变顾客到达模式，是如何影响系改变顾客到达模式，是如何影响系统绩效？统绩效？56解：解：泊松分布到达泊松分布到达常数分布到达常数分布到达平均达到率平均达到率11人人/分钟分钟11人人/分钟分钟平均服务率平均服务率12人人/分钟分钟12人人/分钟分钟排队长度排队长度5.040系统队长系统队长5.960平均排队时间平均排队时间0.460系统利用率系统利用率91.70%91.70%57Disneyland问题解决了吗？问题解决了吗？如果游客不按时间返回？如果游客不按
34、时间返回？是否让游客等待时间太久了？是否让游客等待时间太久了？过山车是按时间开还是人数一够就开？过山车是按时间开还是人数一够就开？http:/www.stanford.edu/yaoxie/Pubs_2.htm58例例5某售票所有三个窗口，顾客的到达服从泊某售票所有三个窗口，顾客的到达服从泊松分布，平均到达速率松分布，平均到达速率 = 0.9人人/min；售；售票时间服从负指数分布，平均服务速率票时间服从负指数分布，平均服务速率= 0.4人人/min 。现设顾客到达后排成一队，。现设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗口购票，如图所示。试分依次向空闲的窗口购票，如图所示。试分别用公式、别用公式、
35、excel和仿真求解：和仿真求解：u(1) 整个售票所空闲概率整个售票所空闲概率u(2) 平均队列长和平均队长平均队列长和平均队长u(3)平均等待时间和逗留时间平均等待时间和逗留时间u(4)顾客到达后必须等待的概率（顾客到达后必须等待的概率（n3)59顾客到达和服务图顾客到达和服务图 顾客离去 排队 = 0.9 顾客到达 窗口1 = 0.4 窗口2 = 0.4 窗口3 = 0.460解：解：这是一个典型的这是一个典型的M/M/C 排队排队问题问题0.90.7513 0.4C0.90.4u (1) 整个售票所空闲概率整个售票所空闲概率0.92.250.4r1100!(1)nccnrrPnc012
36、312.252.252.252.2510!1!2!3!10.750.074861(2) 平均排队长度和平均队列长平均排队长度和平均队列长02!(1)cqrLpc322.250.750.07481.703!(10.75)1.702.253.95sqLLr(3)平均等待时间和逗留时间平均等待时间和逗留时间1.701.890.9qqLW111.894.390.4sqWWu62(4)顾客到达后必须等待的概率（顾客到达后必须等待的概率（n3)331nnPP nP 0!nrpn(0)nc01!nncr pccg()nc00.0748P 230(1)(12.252.531) 0.07480.4322nrPr
37、P31 0.4320.568nP 63M/M/3仿真视频仿真视频64M/M/3 Excel求解求解65例例6 银行取号系统有用吗？银行取号系统有用吗？就例就例5，如果其他条件不变，顾客到达后，如果其他条件不变，顾客到达后在每个窗口前各排一队，且进入队列后坚在每个窗口前各排一队，且进入队列后坚持不换，就形成持不换，就形成3个队列，如下图所示。个队列，如下图所示。试分别用公式、试分别用公式、excel求解：求解：u(1) 整个售票所空闲概率整个售票所空闲概率u(2) 平均队列长度和平均队长平均队列长度和平均队长u(3) 平均等待时间和逗留时间平均等待时间和逗留时间u(4)顾客到达后必须等待的概率（
38、顾客到达后必须等待的概率（n3)66顾客到达和服务图顾客到达和服务图 顾客离去= 0.3顾客到达 = 0.9窗口1= 0.4窗口2= 0.4窗口3= 0.4= 0.3= 0.367解：解：这是这是3个个M/M/1同时服务的同时服务的排队排队问题问题0.30.7510.4r0.30.4u (1) 整个售票所空闲概率整个售票所空闲概率(每个窗口空闲每个窗口空闲)011 0.750.25p (4)顾客到达必须等待的概率（每个窗口顾客到达必须等待的概率（每个窗口n1)1011 0.250.75npP 68(2) 平均排队长度和平均队列长平均排队长度和平均队列长0.30.752.250.40.3qLu2
39、.250.753sqLLr(3)平均等待时间和逗留时间平均等待时间和逗留时间2.257.50.3qqLW3100.3ssLW3 3 9 系统（3个窗口）队长693个个M/M/1 Excel求解求解70结论：银行取号系统是有效的结论：银行取号系统是有效的指标指标数值数值排队长度排队长度1.70系统队长系统队长3.95平均排队时间平均排队时间1.89服务台空闲概率服务台空闲概率0.075顾客必须等待的概率顾客必须等待的概率0.57指标指标数值数值排队长度排队长度2.25系统队长系统队长9平均排队时间平均排队时间7.5服务台空闲概率服务台空闲概率0.25顾客必须等待的概率顾客必须等待的概率0.757
40、1结论：银行取号系统是有效的结论：银行取号系统是有效的从这两个系统的主要指标比较可以看从这两个系统的主要指标比较可以看出出混合排队比独立排队具有显著的优混合排队比独立排队具有显著的优越性越性，这一点是在排队系统的排队方，这一点是在排队系统的排队方式的设计时应该注意的。式的设计时应该注意的。72普遍结论：集中使用优于分散使用普遍结论：集中使用优于分散使用将资源组合在一起为所有的顾客提供服务，将资源组合在一起为所有的顾客提供服务，可以在等待时间不变的条件下，减少所需要可以在等待时间不变的条件下，减少所需要的资源总量。如果是两列独立排队，那么客的资源总量。如果是两列独立排队，那么客户可能要等那位指定
41、的服务人员提供服务，户可能要等那位指定的服务人员提供服务，这位服务人员可能当时正忙得抽不开身，而这位服务人员可能当时正忙得抽不开身，而另一位服务人员却闲着没事干。在集中使用另一位服务人员却闲着没事干。在集中使用的系统中就不会出现这种现象。的系统中就不会出现这种现象。大规模制造或服务设施的规模经济学大规模制造或服务设施的规模经济学u在保持同样利用率的情况下减少平均等待时间在保持同样利用率的情况下减少平均等待时间 u在保持同样平均等待时间的情况下提高利用率在保持同样平均等待时间的情况下提高利用率735 排队系统最优设计排队系统最优设计成本分析成本分析5.1 概述概述排队系统的最优设计和最优控制，即
42、排队系统的最优设计和最优控制，即排队系统的最优化问题，其目的在于排队系统的最优化问题，其目的在于使排队系统达到使排队系统达到最大效益最大效益或者说在一或者说在一定指标下使排队系统定指标下使排队系统最为经济最为经济。74服务成本与等待成本的权衡（成本效益平衡）服务成本与等待成本的权衡（成本效益平衡）总成本总成本成本成本最佳能力最佳能力等待成本等待成本服务成本服务成本最小值最小值排队分析的目的是使顾客等待成本与服务能力成本排队分析的目的是使顾客等待成本与服务能力成本这两项成本之和最小这两项成本之和最小755.2 M/M/1模型中的最优服务率模型中的最优服务率u -1最佳服务能力是使总成本最小化：最
43、佳服务能力是使总成本最小化：总成本总成本=顾客等候成本顾客等候成本+服务能力成本服务能力成本1wswssCuC uC LCz为时服务机构单位时间的费用为每个顾客在系统中逗即：留时间的费用/1SM MLu模型中 swzC uCu所以：765.2 M/M/1模型中的最优服务率模型中的最优服务率u -2swzC uCu0dzdu令20()swCCu即：所以所以M/M/1模型的最优服务率为：模型的最优服务率为：wsCuC77例例7设某服务机构，单服务台，顾客到达设某服务机构，单服务台，顾客到达率为每小时率为每小时12位顾客。假定每位接受位顾客。假定每位接受顾客的顾客其等待费用为每小时顾客的顾客其等待费
44、用为每小时5元，元，服务成本为每位顾客服务成本为每位顾客2元，欲使总平元，欲使总平均费用最小，服务率应为多少？均费用最小，服务率应为多少？78解：解：这是一个标准的这是一个标准的M/M/1排队排队问题问题2sC 元12/h人5wC 元因而swSzC uC L最小总费用5 121217.5(/h)2wsCuC最优服务率 人122.1817.5 12sLu*2 17.55 2.1846Z 120.68617.5u最优系统利用率795.3、Lq 、Ls三者的关系三者的关系-1当系统利用率增加时，队列平均等候当系统利用率增加时，队列平均等候数与顾客排队等候的平均时间呈指数数与顾客排队等候的平均时间呈指
45、数增长。增长。80队列队列中平中平均等均等 侯数侯数100% 系统利用率系统利用率 05.3、Lq 、Ls三者的关系三者的关系-2qqLWqW./1exMM 815.3、Lq 、Ls三者的关系三者的关系-3平均队长（和平均等待时间）与服务平均队长（和平均等待时间）与服务台利用率之间的关系不是线性的关系。台利用率之间的关系不是线性的关系。资产利用率太高会造成服务质量急速资产利用率太高会造成服务质量急速下降，因而要权衡利弊。下降，因而要权衡利弊。要保证服务要保证服务质量，就必须保持质量，就必须保持“过剩的过剩的”生产或生产或服务能力。服务能力。826 解决排队问题的方法解决排队问题的方法6.1 理
46、论方法理论方法减少平均服务时间减少平均服务时间减少服务时间的可变性减少服务时间的可变性增加服务人员增加服务人员减少平均到达人数减少平均到达人数通过顾客预约等办法来减少到达的可变性通过顾客预约等办法来减少到达的可变性集中使用服务资源集中使用服务资源更好地计划和调度更好地计划和调度836 解决排队问题的方法解决排队问题的方法6.2 其他方法其他方法服务场所提供娱乐设施服务场所提供娱乐设施医生等候室放报纸杂志医生等候室放报纸杂志自动维修间用收音机或电视自动维修间用收音机或电视航空公司提供空中电影航空公司提供空中电影等候电梯处放镜子等候电梯处放镜子超级市场把冲动性商品摆放在收款台附近超级市场把冲动性商
47、品摆放在收款台附近846 解决排队问题的方法解决排队问题的方法6.3 掌握客户的感受掌握客户的感受:等待心理学等待心理学客户所感受到的等待可能与实际的等待有很大的客户所感受到的等待可能与实际的等待有很大的差别。研究结果表明：差别。研究结果表明：u服务越有价值，人们就越愿意多等一会儿。服务越有价值，人们就越愿意多等一会儿。u服务开始之前的等待感觉要比服务过程中的等待要长。服务开始之前的等待感觉要比服务过程中的等待要长。u心急会让人觉得等待的时间很长。心急会让人觉得等待的时间很长。u不公平的等待比公平的等待要长。不公平的等待比公平的等待要长。u不确定的等待比已知的等待要长。不确定的等待比已知的等待要长。u不明情况的等待要比知情的等待要长。不明情况的等待要比知情的等待要长。u没事干的时候会让人觉得比有事干的时候要长。没事干的时候会让人觉得比有事干的时候要长。u独自等待会让人觉得比大家一起等待要长。独自等待会让人觉得比大家一起等待要长。85结结 束束
