1、7. 1 机械波的形成和传播机械波的形成和传播7. 2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数7. 3 波的能量波的能量 声波声波7.4 7.4 波的叠加和干涉波的叠加和干涉7. 5 驻波驻波7.6 多普勒效应多普勒效应第第7章章 波动学基础波动学基础振动状态的传播过程称为波动，简称为波。振动状态的传播过程称为波动，简称为波。即：即：波动是振动的传播过程；振动是激发波动的波源。波动是振动的传播过程；振动是激发波动的波源。7.1 机械波的形成和传播机械波的形成和传播1. 机械波产生的条件机械波产生的条件1) 产生条件：产生条件：(1)波源；波源；(2)弹性介质弹性介质.各质点只在各自的平衡位置附近
2、振动；各质点只在各自的平衡位置附近振动；各质点振动频率相同，只是相位不同；各质点振动频率相同，只是相位不同；机械波机械波横波横波纵波纵波v横波横波：质点振动方向与波的传播方向相质点振动方向与波的传播方向相垂直垂直的的波波.（仅在固体中传播（仅在固体中传播 ）2. 横波与纵波横波与纵波 特征特征1：具有交替出现的波峰和波谷具有交替出现的波峰和波谷. 特征特征2：各质点振动方向与波的传播方向垂直。各质点振动方向与波的传播方向垂直。v纵波：纵波：质点振动方向与波的传播方向互相质点振动方向与波的传播方向互相平行平行的波的波.（可在固体、液体和气体中传播）（可在固体、液体和气体中传播） 特征特征1：具有
3、交替出现的密部和疏部具有交替出现的密部和疏部. 特征特征2： 各质点振动方向与波的传播方向平行各质点振动方向与波的传播方向平行。纵波是靠介质疏密部变化传播的，如声波，弹簧波为纵波。纵波是靠介质疏密部变化传播的，如声波，弹簧波为纵波。有些波既不是横波也不是纵波。如：水表面的波既非横波又非有些波既不是横波也不是纵波。如：水表面的波既非横波又非纵波。水波中的质元是做纵波。水波中的质元是做椭椭圆（或圆）运动的。圆（或圆）运动的。波速波速1)1) 质元并未质元并未“随波逐流随波逐流”， 波波的传播不是介质质元的传播。的传播不是介质质元的传播。2) 2) “上游上游”的质元依次带动的质元依次带动“下游下游
4、”的质元振动。某时刻某质元的的质元振动。某时刻某质元的振动状振动状态态将在较晚时刻于将在较晚时刻于“下游下游”某处出现某处出现-波是振动状态的传播。波是振动状态的传播。3) 3) 同相位点同相位点-质元的振动状态相质元的振动状态相同。同。(1) 波的传播速度波的传播速度3. 3. 波的传播速度、波长和波的周期波的传播速度、波长和波的周期波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（所传播的距离（相速相速）.Tu 在张紧的在张紧的弦弦上传播的上传播的横波横波，其波速为：，其波速为：式中式中T T是弦上的张力，是弦上的张力， 是弦的线
5、密度。是弦的线密度。在在无限大无限大均匀各向同性的均匀各向同性的固体固体介质中传播的介质中传播的横波横波,其波其波速为：速为：Gu 式中式中G G是介质的切变弹性模量，是介质的切变弹性模量， 是介质的体密度。是介质的体密度。横波的传播速度：横波的传播速度：Eu 在均匀在均匀细棒细棒中传播的中传播的纵波纵波，其波速为：，其波速为： 式中式中E E是介质的杨氏弹性模量，是介质的杨氏弹性模量， 是介质的体密度。是介质的体密度。Ku 在在固体、液体固体、液体和和气体气体中中纵波纵波的传播速度为：的传播速度为：式中式中K K是介质的体变弹性模量，是介质的体变弹性模量， 是介质的体密度。是介质的体密度。机
6、械波的传播速度与媒质有关，而与波的频率无关。机械波的传播速度与媒质有关，而与波的频率无关。纵波的传播速度：纵波的传播速度：2)2)波长波长沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的振动质点的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度。之间的距离，即一个完整波形的长度。对于横波，波长就对于横波，波长就是相邻两个波峰或波谷的距离，对于纵波就是相邻两个疏是相邻两个波峰或波谷的距离，对于纵波就是相邻两个疏部或密部的距离。部或密部的距离。2OyAA-uxT1Tuu频率频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目波的数目.
7、 .周期、频率与介质无关，与波源的相同。周期、频率与介质无关，与波源的相同。. .波长与介质及振源有关。波长与介质及振源有关。. .不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。注意注意3) 周期周期 波传播一个波长的距离所需要的时间波传播一个波长的距离所需要的时间.TTu波的传播方向为波线。波的传播方向为波线。是波是波的能量传播方向的能量传播方向.振动相位相同的各点组成振动相位相同的各点组成的曲面。的曲面。波线垂直于波阵波线垂直于波阵面。面。某一时刻波动所达到最前某一时刻波动所达到最前方的各点所连成的曲面。方的各点所连成的曲面。平面波平面波球面波球面波4.
8、波的几何描述波的几何描述平面波是最理想的波（一维问题平面波是最理想的波（一维问题 能量不发散）能量不发散） 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包迹就是的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面。新的波阵面。这就是惠更斯原理。这就是惠更斯原理。 5. 5. 惠更斯原理惠更斯原理(1) (1) 行进中的波面上任意一点都可看作是新的子波源；行进中的波面上任意一点都可看作是新的子波源；(3) (3) 各个子波所形成的包络面，就是原各个子波所形成的包络面，就是原波面在波面在一定时间一定时间内所传播到的新
9、波内所传播到的新波面。面。(2) (2) 所有子波源各自向外发出许多子波；所有子波源各自向外发出许多子波；球球 面面 波波平平 面面 波波O1R2Rtu1)1)用惠更斯原理求波阵面用惠更斯原理求波阵面知某一时刻波前，可用几何方法决定下一时刻波前。知某一时刻波前，可用几何方法决定下一时刻波前。 波的衍射波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播在障碍物的阴影区内继续传播.用惠更斯原理解释用惠更斯原理解释说明说明 经过衍射的波，各经过衍射的波，各方向的强度不一样。惠方向的强度不一样。惠更斯原理不能解释强度更斯
10、原理不能解释强度分布。要用惠更斯分布。要用惠更斯- -菲菲涅尔原理。涅尔原理。N界面界面RN界面界面IiirL1） 反射线、入射线和界面的法线在同一平面内；反射线、入射线和界面的法线在同一平面内；v反射定律反射定律用惠更斯原理解释用惠更斯原理解释2） ii 反射角等于入射角反射角等于入射角i i i A1A2A3B2B3B1NNAId时刻时刻 t用惠更斯原理解释波的反射用惠更斯原理解释波的反射时刻时刻t t：波阵面与图面的交线波阵面与图面的交线AAAA3 3到达图示的位置到达图示的位置，A A点和界面相遇。点和界面相遇。此后此后AAAA3 3上各点将依次到达界面。上各点将依次到达界面。设经过相
11、等的时间此波阵设经过相等的时间此波阵面与图面的交线依次与分面与图面的交线依次与分界面在界面在B B1 1、B B2 2、B B3 3相遇；相遇；而在而在 ，A A3 3点到达点到达B B3 3点。点。 tt这些子波的包迹面也是与图面垂直的平面。它与图面的交线为这些子波的包迹面也是与图面垂直的平面。它与图面的交线为B B3 3D D，而且，而且，DBDB3 3=AA=AA3 3。做垂直于此波阵面的直线，即得反射线。做垂直于此波阵面的直线，即得反射线。与入射波阵面与入射波阵面AAAA3 3垂直的线称为入射线。垂直的线称为入射线。B2B3B1NNAI32dd3dLiii时刻时刻 t+tA3D做出此时
12、刻界面上各做出此时刻界面上各点发出的子波的包迹。点发出的子波的包迹。因为波在同一介质中因为波在同一介质中传播，速度不变，所传播，速度不变，所以在以在 时刻，从时刻，从A A、B B1 1、B B2 2、发出的、发出的子波的半径分别是子波的半径分别是d d，2d/32d/3，d/3d/3。其中。其中 tttudv折射定律折射定律1）折射线、入射线和界面的法线在同一平面内；折射线、入射线和界面的法线在同一平面内；21sinsinuuri2） N界面界面RN界面界面IiirL时刻时刻 t+tB2B3B1NNAIrrBRr由惠更斯原理，由惠更斯原理，A、A A3 3为同为同一波面上的两点，一波面上的两
13、点， A、A A3 3点点达到界面发射子波，经达到界面发射子波，经t后，后，A A3 3点发射的子波到达界点发射的子波到达界面处面处B B3 3点，点，A点的到达点的到达B点。点。用惠更斯原理解释波的折射用惠更斯原理解释波的折射i i i A1A2A3B2B3B1NNAId时刻时刻 tiABtuBAsin3133rABtuABsin322133sinsinuuABBAri所以所以u1/u2为第二种介质相对第一种介质的折射率。为第二种介质相对第一种介质的折射率。21sinsinuuri2121n2133sinsinuuABBAri由于由于惠更斯原理不足之处（未涉及振幅，相位等惠更斯原理不足之处（
14、未涉及振幅，相位等的分布规律）。的分布规律）。平面简谐波：平面简谐波：若在平面波的传播过程中，若在平面波的传播过程中，振源作简谐振动振源作简谐振动，而且波所经历的所有质元都做简谐振动，则此平面波称为平而且波所经历的所有质元都做简谐振动，则此平面波称为平面简谐波。面简谐波。 离振源很远的球面波或柱面波可视为平面波。它是最简离振源很远的球面波或柱面波可视为平面波。它是最简单最基本的波动形式。单最基本的波动形式。 在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐振动时，在在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐振动时，在介质中所形成的波就是简谐波。简谐波可以是纵波，也可以介质中所形成的波就是简谐波。简谐波可以是纵波
15、，也可以是横波。是横波。1. 平面简谐波的波动表达式平面简谐波的波动表达式以简谐以简谐横波横波为例说明简谐波的形成过程。为例说明简谐波的形成过程。以速度以速度u 沿沿 x 轴正向传播的简谐波轴正向传播的简谐波 . 令原点令原点O 的初相为零，的初相为零，其振动方程其振动方程 ：tAyOcos位于原点的质元的振动方程位于原点的质元的振动方程由于波由于波 沿沿 x 轴正向传播，所以在轴正向传播，所以在x0的个质点将依次较晚的个质点将依次较晚开始振动。开始振动。以以u 表示沿表示沿 x 轴正向传播的简谐波的速度。轴正向传播的简谐波的速度。在时刻在时刻t位于位于x处的质元处的质元P的振动方程的振动方程
16、点点O 的振动表达式的振动表达式tAyOcos点点 Puxt t时刻点时刻点O 的振动状态经的振动状态经t 时间传到时间传到p点，即点，即p点点的振动比的振动比O点落后相位点落后相位)(cosuxtAyP-点点P 振动方程振动方程Px*yxuAA-Oux 如果原点的振动初相位如果原点的振动初相位不不为零为零:)(cos-uxtAyp因为因为p点任意点任意, 所以此所以此式即为波动表达式式即为波动表达式)(cosuxtAy 沿沿 轴轴负负向向 ux 沿沿 轴轴正正向向 ux)(cos-uxtAy波动表达式：波动表达式： 波动表达式的其它形式波动表达式的其它形式)(2cos)(xTtAx,ty)(
17、2cos),(xtAtxy 质点的振动速度，加速度质点的振动速度，加速度)(sin-uxtAtyv)(cos222-uxtAtya注意区分质点的振动速度和波速。注意区分质点的振动速度和波速。2. 波动表达式的物理意义波动表达式的物理意义)(2cos)(cos-xTtAuxtAy(1) 当当 x 固定时，固定时， 波函数表示该点的简谐振动方程，波函数表示该点的简谐振动方程，并给出该点与点并给出该点与点 O （x=0）振动的相位差振动的相位差.xux2-（波具有时间的周期性）（波具有时间的周期性）),(),(Ttxytxy波线上各点的简谐运动图波线上各点的简谐运动图 （波具有空间的周期性）（波具有
18、空间的周期性）),(),(txytxy(2) 当当t一定一定时，波函数表示该时刻波线上时，波函数表示该时刻波线上各点各点相对其相对其平衡位置的平衡位置的位移位移，即此刻的波形，即此刻的波形.)(2cos)(cos-xTtAuxtAy2112211222xxx-波程差：波程差：1221xxx-x2波动表达式突出地反映出波动的波动表达式突出地反映出波动的时空周期性时空周期性。yxOyxuOyxuO(3)若若 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）动情况（行波）.tx,t时刻时刻tt时刻时刻x判断质点振动方向判断质点振动方向传播方向传播方向3. 波动微
19、分方程波动微分方程这是一个二阶偏微分方程。对于任一平面波，可以认为是这是一个二阶偏微分方程。对于任一平面波，可以认为是许多不同频率的平面简谐波的合成，也可得到此结果。它许多不同频率的平面简谐波的合成，也可得到此结果。它反映了平面波的共同特征，所以称为反映了平面波的共同特征，所以称为平面波的波动方程平面波的波动方程。将波动表达式分别对将波动表达式分别对t和和x求二阶偏导数，得到：求二阶偏导数，得到：)(cos222uxtAty-)(cos2222uxtuAxy-比较上列两式可得：比较上列两式可得：222221tyuxy 例例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速已知波动方程如下，求波长、周期和
20、波速.01. 02.50cos5xty-解解：（比较系数法）：（比较系数法）. )(2cosxTtAy-201. 022.502cos5xty-把题中波动方程改写成把题中波动方程改写成s8 . 0s5 . 22Tm20001. 021sm250-Tu比较得比较得1. .已知波函数求各物理量已知波函数求各物理量2. .已知各物理量求波函数已知各物理量求波函数 例例2 一平面简谐波以速度一平面简谐波以速度 沿直线传播沿直线传播,波波线上点线上点 A 的简谐运动方程的简谐运动方程 .s/m20utyA4cos1032-1）以以 A 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程m10 uTm103
21、2-As5 . 0T0)105 . 0(2cos1032xty-)(2cos-xTtAyuABCD5m9mxo8mAB210524cos)m103(2-tyB)105 . 0(2cos)m103(2-xty2）以以 B 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程uABCD5m9mxo8mtyA4cos1032-B B点振动比点振动比A A点振动超前点振动超前3）写出传播方向上点写出传播方向上点C、点点D 的简谐运动方程的简谐运动方程点点 C 的相位比点的相位比点 A 超前超前24cos)m103(2ACtyC-5134cos)m103(2-t点点 D 的相位落后于点的相位落后于点 A 5
22、94cos)m103(2-tuABCD5m9mxo8mtyA4cos1032-m1024cos)m103(2ADtyD-Pu0.2/mx/myO0.04ba例例7-3 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播，速度轴正方向传播，速度 u =0.08 m/s，t = 0时刻的波形如图所示时刻的波形如图所示。求：。求： （1）原点处质元的振动表达式；）原点处质元的振动表达式； （2）波函数；）波函数； （3） P 点的振动表达式；点的振动表达式； （4） a、b 两点的振动方向。两点的振动方向。0.04 mA 0.4 m2222/0.4/0.085Tu由图可以看出，由图可以看出，而而 )
23、cos(tAy解解 （1）设原点处质点的振动表达式为）设原点处质点的振动表达式为下面来确定初相位220.04cos()52yt20.04cos()50.082xyt-20.220.04cos()0.04cos()50.08252ytt-(4) 作出作出 后的波形图如图后的波形图如图7-10(c)中虚线所示，可以看出此中虚线所示，可以看出此时刻时刻a向平衡位置运动，向平衡位置运动，b远离平衡位置运动，图中箭头表示它远离平衡位置运动，图中箭头表示它们的振动方向。们的振动方向。t图图7-107-10（b b）图图7-107-10（c c）PyOu0.2/mx/myO0.04ba 由图可知：由图可知：t = 0 时，时，O点处质点过平衡位置且向点处质点过平衡位置且向 y 轴负向轴负向运动。运动。（2）波函数为）波函数为（3）将）将x = 0.2 m带入波函数，得带入波函数，得P 点的振动表达式点的振动表达式作作业：业：1, 2,12计算题18，19
