1、 为了对离散型的和连续型的随机变量以为了对离散型的和连续型的随机变量以及更广泛类型的随机变量给出一种统一的及更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方法，我们引进了分布函数的概念描述方法，我们引进了分布函数的概念. .为为X的的分布函数分布函数. 也常记为也常记为FX(x) 设设X为为r.v. , x 是任意实数是任意实数, 称函数称函数( )(),F xP Xxx 一、定义一、定义)()(aFbFx)(bXaPab（)(aXP)(bXP用分布函数计算用分布函数计算X落在落在(a,b里的概率里的概率:2.3 随机变量的分布函数及其性质随机变量的分布函数及其性质 因此因此, 只要知道了随机变量只要
2、知道了随机变量X的分布函数的分布函数, 它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述.定理定理1.(分布函数的特征性质分布函数的特征性质)(1)(非降性非降性)F(x)单调不减，单调不减，即即)()(,2121xFxFxx(3)(右连续性右连续性) F(x) 右连续，即右连续，即1)(0 xF(2)(有界性有界性)00lim( )()xxF xF x lim()0;lim()1;xxF xFFXF xFFX F(x)=PXx用分布函数表示概率用分布函数表示概率()( )( )P aXbF bF a () 1() 1( )P X aP X aF a ()( )(0)P XaF
3、 aF a 注注2 任一函数任一函数F ( x ) 为分布函数的充分必要条件为分布函数的充分必要条件为：为：F ( x )满足上述三条性质。满足上述三条性质。 注注1 分布函数也可定义为分布函数也可定义为xXPxF)(这样定义的分布函数仍满足性质这样定义的分布函数仍满足性质13，但性质，但性质3应改为左连续性。应改为左连续性。例例1 设离散型随机量是设离散型随机量是X 的概率分布为的概率分布为 X 0 1 P0.2 0.5 0.3(1)求求X的分布函数的分布函数F(x), 并画出并画出F(x)的图形；的图形；(2)求求P 11 ,3XP X 二、举例二、举例,( )0XxF xP Xx解解 (
4、1)由于由于X只可能取只可能取, 0, 1, 2, 故故当当x0时时,当当0 x1时时, 0 ,( )0.2XxXF x当当1x2时时,当当2x时时, 101 0XXXxX或7 . 0)(xXPxF,( )1XxF xP Xx 归纳上述结果得归纳上述结果得0,00.2,01( )0.7,121,2xxF xP Xxxx (2)3(3)1,P XF 11111PXP XPX=0+F(1)F(1)=0.7 0.20.71F(x)单调非降右连续单调非降右连续,满足分布函数三条基本性质满足分布函数三条基本性质 不难看出不难看出,F(x)的图形是阶梯状的的图形是阶梯状的,在在x = 0,1,2 处有跳跃
5、处有跳跃,其跃度分别等于其跃度分别等于 0 ,1 ,2P XP XP X . .012X x1 x2 xk P p1 p2 pk xxiixx其中表示对满足的一切下标i求和。则其分布函数为( )iixxF xP Xxp 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为, 2 , 1,)(kpxXPkk注意注意: F(x)是是(- ,+ )上的分段阶梯函数上的分段阶梯函数,间断点就间断点就是随机变量是随机变量X的取值点的取值点, 除最左边那段是开区间外除最左边那段是开区间外, 其余各段都是左闭右开的区间其余各段都是左闭右开的区间. ()1P XC 0 ( )1 xcF xxc
6、 特别地，特别地，若随机变量以概率若随机变量以概率1取常数，即取常数，即则称这个分布为单点分布或退化分布，它的则称这个分布为单点分布或退化分布，它的分布函数为分布函数为例例2 向平面上半径为向平面上半径为1的圆的圆D内任意投掷一个质点内任意投掷一个质点, 以以X表示该质点到圆心的距离表示该质点到圆心的距离. 设这个质点落在设这个质点落在D中中任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比, 试求试求X的分布函数的分布函数. xX0)(xXPxF xXxX02( )F xP Xxkx ,( )1XxF xP Xx 解解 当当 x1时时,综上所述综上所述, X
7、的分布函数为的分布函数为20 0() 011 1xF xxxx 11用分布函数描述随机变量不如分布律直观用分布函数描述随机变量不如分布律直观,对非离散型随机变量对非离散型随机变量,是否有更直观的描述方法是否有更直观的描述方法?ab?bXap请看下节！请看下节！总结一、定义二、举例若离散型随机变量X的分布律为, 2 , 1,)(kpxXPkk则其分布函数为( )iixxF xP Xxp 作业：作业：P3310，11，12.上课 手机手机 关了吗？关了吗？2.4 连续型随机变量连续型随机变量()()()xFxP Xxf u du 定义定义 设设X是随机变量是随机变量, F(x)是它的分布函数是它的
8、分布函数. 若存若存在一个非负可积函数在一个非负可积函数 f(x)( x ), 使得使得则称则称X是连续型是连续型r.v., f(x)是它的概率密度函数是它的概率密度函数(p.d.f.)一、连续型一、连续型 r.v.的概念的概念 由定义可知由定义可知, 连续型随机变量的分布函数是连续型随机变量的分布函数是连续函数连续函数, 是密度函数的变上限的定积分是密度函数的变上限的定积分.( )( )dF xf xdx 由上式可得由上式可得,在在f (x)的连续点的连续点, (2) 规范性规范性()1.fx dx Th1( 密度函数的特征性质密度函数的特征性质)(1) 非负性非负性 f (x) 0, (
9、x );注注1 改变概率密度函数改变概率密度函数f(x)在个别点的函数值不在个别点的函数值不影响公式影响公式(2)规范性规范性, 故对固定的分布函数故对固定的分布函数, 概率概率密度函数不唯一密度函数不唯一. 注注2 满足上述两条性质的函数必是某一随机变量满足上述两条性质的函数必是某一随机变量的密度函数的密度函数. 故常利用这两个性质检验一个函数故常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性能否作为连续性 r.v.的的 p.d. f. (求求f(x)中未知参数中未知参数!)Th2 设连续型设连续型r.v.X 的分布函数的分布函数(c.d.f.)为为F(x), 概率概率分布密度函数为分布密度函数为
10、f(x), 则则( )( )dF xf xdx (2) 若若x是是f(x)的连续点的连续点, 则则(1) F(x)为连续函数为连续函数;(3)对任意实数对任意实数c, 则则PX=c0. 因为因为:(4)00()lim()lim( )0cxcxxP XcP cXcxf x dx ()( )( )( )baP aXbP aXbP aXbP aXbF bF af x dx 可见可见, ,密度函数全面描述了连续型随机变量的规律密度函数全面描述了连续型随机变量的规律. .(求求F(x)中未知参数中未知参数!)注注1. 几何意义几何意义: :()()baP aXbfx dx 它是以它是以(a,b为为底底,
11、以曲线以曲线y=f(x)为顶的曲边梯为顶的曲边梯形的面积形的面积.面积为面积为1f(x)注注2. 由由P(A)=0不能推出不能推出A=;由由P(B)=1不能推出不能推出B=.注注3. .当当 x 很小时很小时,()( )P xXxxF xxF x ( )f xx( )xf xae 2 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求常数求常数a.12a 1 证明证明( )1/2xf xe 为概率分布密度函数为概率分布密度函数.( )f x dx 0122xedx 0 xe 1证证密度函数值密度函数值f(a)并不反映并不反映X取取a值的概率值的概率.但这个值但这个值越大越大,X取取a附近值的概率
12、就越大附近值的概率就越大.也可以说也可以说,在某点密在某点密度曲线的高度度曲线的高度, ,反映了概率集中在该点附近的程度反映了概率集中在该点附近的程度. .1)求求X的分布函数的分布函数F(x); 2)求求PX (0.5,1.5)01( )2120 xxf xxx 其它其它解解：例例1.已知随机变量已知随机变量X的概率密度为的概率密度为当当x 0时时,F(x)=当当0 x 1时，时，()xf xF xdx f(x)是分段函数是分段函数,求求F(x)时要分段求时要分段求. .( )xf x dx =0002012xtdxxtd 0 xdx PX (0.5,1.5)=当当1 x 2时时, ,()x
13、f xF xdx 21212xx 当当x 2时时, ,()xf xF xdx 220,01/2,01( )1/221,121,2xxxF xxxxx 必然事件必然事件!=110100(2)xtdttddtx F(1.5)-F(0.5)=3/4(32)( )0Axxp x02x其他( 11)PX ( )1p x dx20(32)1Axxdx11 2A 101110( 11)( )( )( )PXp x dxp x dxp x dx 1011(32)126xxdx例例2. 设设X的密度函数为的密度函数为试确定常数试确定常数A,并求并求解解：例例3. 设随机变量设随机变量X 的分布函数为的分布函数为
14、20,0( ), 011,1xF xAxxx (1)求常数求常数A的值的值; (2)求求X取值在区间取值在区间(0.3,0.7)的概的概率率; (3)求求X的概率密度的概率密度.解解: 22(2)0.30.70.70.30.70.30.4PXFF 2 , 0(3)( ),10 xxF x 其其它它定义定义p(1)2, 则则2 , 0( )0,1xxp x 其其它它1lim ( )1xF xA (1)F (x)为连续函数为连续函数二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布则称则称X在在(a, b)内服从均匀分布。记作内服从均匀分布。记作 XU(a, b) 1. 均匀分布均匀分布 U(a,
15、b)若若r.v.X的的p.d.f.为为1,()0axbfxba ， 其其 它它。f(x)abx01注注2 均匀分布的特征性质：均匀分布的特征性质：X服从均匀分布服从均匀分布U(a, b)的充分必要条件是的充分必要条件是(1) X 落在落在(a, b)概率为概率为1, 落在区间外的概率为落在区间外的概率为0;(2) X 落在落在(a, b)子区间上概率与子区间长度成正比子区间上概率与子区间长度成正比.1( )ddccdcP cXdf x dxdxb ab a = = = =注注1 对任意实数对任意实数c, d (acd b时时, ,()xf xF xdx 必然事件必然事件!=1F(x)abx01
16、0 xdx 60554525(1510)(XPXPXPAP15154545解：设解：设A乘客候车时间超过乘客候车时间超过10分钟分钟X乘客于某时乘客于某时X分钟到达，则分钟到达，则X U(0,60)21605205例例4.公共汽车起点站于每时的公共汽车起点站于每时的10分、分、25分、分、55分分发车发车,设乘客不知发车时间设乘客不知发车时间,于每小时的任意时刻随于每小时的任意时刻随机地到达车站机地到达车站,求乘客候车时间超过求乘客候车时间超过10分钟的概率分钟的概率.2. 指数分布指数分布 则称则称X服从参数为服从参数为 0的指数分布的指数分布. x)x(f0()PFXxx ()Exp ,0
17、()0,0 xexfxx 若若r.v.X的的p.d.f.为为00,0,0 xxedxxx = =0,0()1,0 xxF xex = =0 xxe 0:( )0,( )1f xf x dxedx 易易验验证证其分布函数其分布函数:例例5.电子元件的寿命电子元件的寿命X(年年)服从参数为服从参数为3的指数分布的指数分布.(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2年的概率年的概率;(2)已知该电已知该电子元件已使用了子元件已使用了1.5年年,求它还能使用两年的概率求它还能使用两年的概率.解解330( )00 xexf xx 362(1) 23xp Xedxe (2) 3.5|1.5p XX3
18、0,0()1,0 xxF xex = =1F(2)3.5,1.51.5p XXX 33.531.533xxedxedx 1F(3.5)1F(1.5)3(3.5 1.5)e e6非负的连续型非负的连续型r.v.X服服从指数分布的充分必从指数分布的充分必要条件是要条件是:无记忆性无记忆性例例6.某公路桥每天某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为第一辆汽车过桥时刻为T，设，设0，t时段内过桥的汽车数时段内过桥的汽车数Xt服从参数为服从参数为 t的泊的泊松分布松分布，求，求T的概率密度。的概率密度。解解当当t 0时，时，当当t 0时，时，=1- 在在t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥te 1于是于是 0
19、00)( )(ttetFtft ()()!ttkP Xketk F(t) =PTtF(t) = 0F(t) =PTt=1- PT t =1-PXt =03. Gamma分布分布1()(0)()(,)xfxxexX (,) 10()xxedx (1)()( )(1)!(1/ 2)nn 说明说明(,1)()Exp 其中其中=1的的分布即为参数为分布即为参数为的指数分布的指数分布E() 正态分布是应用最广正态分布是应用最广泛的一种连续型分布泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由高正态分布在十九世纪前叶由高斯斯(Gauss)加以推广加以推广, 所以通常称所以通常称为高斯分布为高斯分布.德莫佛德
20、莫佛 德莫佛（德莫佛（De Moivre)最早发现最早发现了二项分布的一个近似公式了二项分布的一个近似公式, 这这一公式被认为是正态分布的首一公式被认为是正态分布的首次露面次露面.4.正态分布正态分布(I) 正态分布的定义正态分布的定义若若X 的的 p.d.f. 为为22()21( )2xf xex 则称则称 X 服从参数为服从参数为 , 2 的的正态分布正态分布 记作记作 X N ( , 2 ) ,为常数为常数,0 亦称高斯亦称高斯(Gauss)分布分布22()2?112xedx (II)正态分布正态分布 密度函数图形特点密度函数图形特点2(,)N 22()21( )2xf xe f ( +
21、 x) = f ( - x) 在在 x = 时时, f (x) 取得取得最大值最大值12 曲线曲线 y = f (x)在在x = 对应点处有对应点处有拐点拐点曲线曲线 y = f (x) 以以 x 轴为轴为渐近线渐近线曲线曲线 y = f (x) 的图形呈的图形呈单峰状单峰状(钟形曲线钟形曲线)关于直线关于直线 x = 对称对称,即即中间大中间大两头小两头小2) 决定随机变量取值的分散决定随机变量取值的分散程度程度,固定固定 ,图形由图形由 确定确定:1) 决定图形的中心位置，决定图形的中心位置，固固定定 , 图形形状不变图形形状不变, 改变改变, 图图形平移形平移. 越大越大,图形越扁平图形
22、越扁平,X落在落在 附附近概率越小近概率越小,即取值越分散即取值越分散; 越小越小,图形越尖峭图形越尖峭,X落在落在 附附近概率越大近概率越大,即取值越集中即取值越集中.实例实例 年降雨量问题，我们用上海年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。年年降雨量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。雨量近似服从正态分布。下面是我们用某大学大学生的身高的下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。数据画出的频率直方图。红线是拟红线是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学大学生的身高应服从正态分
23、布可见，某大学大学生的身高应服从正态分布.人的身高高低不等，但中等身材的占大多人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。了服从正态分布的随机变量的特点。 除了我们在前面遇到过的年降雨量和身除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外高外, ,在正常条件下各种产品的质量指标，在正常条件下各种产品的质量指标，如如零件的尺寸零件的尺寸；纤维的强度和张力纤维的强度和张力；农作物农作物的产量的产量，小麦的穗长、株高小麦的穗长、株高；测量误差测
24、量误差，射射击目标的水平或垂直偏差击目标的水平或垂直偏差；信号噪声信号噪声等等，等等，都都服从或近似服从正态分布服从或近似服从正态分布. .xdtexFxt,)()(22221 (III) 、设、设X ,),(2NX的分布函数是的分布函数是一种重要的正态分布一种重要的正态分布 xexx2221)(是偶函数，是偶函数，分布函数分布函数记为记为xtexxtd21)(22其值有专门的表供查（其值有专门的表供查（P.222P.222） 标准正态分布标准正态分布N (0,1)密度函数密度函数1?2122 dtet x-3-2-11230.10.20.30.4)(x )(x 面积为面积为15 . 0)0(
25、 -3-2-11230.10.20.30.4-xx)(1)(xx (?)1)(2)|(| aaXP-3-2-11230.10.20.30.4P-aXa =(a)(-a) =(a)1(a)解解 1.4 ,2 ,11P XP XPX 1.4(1.4)0.9192,P X 2P X 11PX 例例7. 设设XN(0, 1), 查表计算查表计算P222 附表附表1 20P XX 或或 20P XP X 1(2)(0)0.5228 1( 2) 1 1(2) =0.9772对一般的正态分布对一般的正态分布 ：X N ( , 2) 其分布函数其分布函数22()21( )d2txF xet 作变量代换作变量代
26、换ts ( )xF x ()( )( )P aXbF bF a()1( )P XaF aba1a 即即 ： N (0 ,1) XY 例例8.8. 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解解 210216 . 1)6 . 10(XP 5 . 03 . 0 0.310.5 P222 附表1=0.6179-(1-0.6915)=0.3094例例9.9.已知), 2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X x) x) 0.1,即即0.0150.1,xe 0.015ln0.1xln0.1ln10153.50.0150.015x 0.0151000.015xedx 1.50.223e
