1、工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础第第2 2讲讲 点、直线和平面的投影点、直线和平面的投影 6学时学时2.1 2.1 投影法概述投影法概述 2.2 2.2 点的投影点的投影2.3 2.3 直线的投影直线的投影2.4 2.4 平面的投影平面的投影下一页下一页返回目录返回目录2工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2.1 2.1 投影法概述投影法概述上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 2.1.1 2.1.1 中心投影法中心投影法 2.1.2 2.1.2 平行投影法平行投影法 2.1.3 2.1.3 正
2、投影法的主要投影特性正投影法的主要投影特性 2.1.4 2.1.4 工程上常用的投影图工程上常用的投影图3工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础投影法的概念投影法的概念投影面投影面Pa 投影投影投射线投射线bS 投射中心投射中心A 空间点空间点A AB 投射线通过物体，向选定的平面投射，在该平面上得投射线通过物体，向选定的平面投射，在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。到物体影子的方法称为投影法。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录4工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础投影法的分类投影法的分类 1.
3、 1. 中心投影法中心投影法 投射线汇交于一点。投射线汇交于一点。 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。对投影的大小有影响。 2. 2. 平行投影法平行投影法 投射线互相平行。投射线互相平行。 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 （1 1）斜投影斜投影 投射线与投影面倾斜的平行投影投射线与投影面倾斜的平行投影。 （2 2）正投影正投影 投射线与投影面垂直的平行投影。投射线与投影面垂直的平行投影。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录5工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学
4、 基基基基基基 础础础础础础2.1.1 2.1.1 中心投影法中心投影法中心投影法中心投影法 : : 投射线汇交一点的投影法投射线汇交一点的投影法投射中心投射中心投射线投射线平面图形平面图形投影面投影面投影投影上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录6工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础 2.1.2 2.1.2 平行投影法平行投影法平行投影法平行投影法 : : 投射线相互平行的投影法投射线相互平行的投影法 （投射中心（投射中心位于无限远处）位于无限远处）平行投影法平行投影法斜投影法斜投影法正投影法正投影法 工程图样工程图样（零件图和装配图）（零件图
5、和装配图）多面投影图多面投影图 单面投影图单面投影图 单面投影图单面投影图 辅助图样辅助图样（正等轴测图）（正等轴测图） 辅助图样辅助图样 （斜二轴测图）（斜二轴测图）上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录7工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础正投影法与斜投影法正投影法与斜投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法正投影法：正投影法：投射线与投影面相垂直的平行投影法。投射线与投影面相垂直的平行投影法。斜投影法：斜投影法：投射线与投影面相倾斜的平行投影法。投射线与投影面相倾斜的平行投影法。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录8工工工工工工 程程程程
6、程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2.1.3 2.1.3 正投影法的主要投影特性正投影法的主要投影特性 1.1. 实形性实形性 当线段或平面平行于投影面时，当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。其投影反映实长或实形。 2.2. 积聚性积聚性 当线段或平面垂直于投影面时，当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。其投影积聚为点或线段。 3.3. 类似性类似性 当线段或平面倾斜于投影面时，当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。其投影变短或变小。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录9工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基
7、基基基基 础础础础础础1. 1. 实形性实形性CDEBAPabedc当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录10工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2. 2. 积聚性积聚性edca（b）CDEBAP当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录11工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础3. 3. 类似性类似性CDE
8、edcBAabP当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录12工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2.1.4 2.1.4 工程上常用的投影图工程上常用的投影图1.1.正投影图（多面）正投影图（多面） 2.2.轴测图（单面）轴测图（单面） 3.3.透视图（单面）透视图（单面） 4.4.标高投影图（单面）标高投影图（单面） 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录13工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础图样名称图样名称
9、 特特 点点应应 用用正投影图正投影图（多（多 面）面） 优点：优点： 能准确表达物体形状和大小，能准确表达物体形状和大小，且作图方便。且作图方便。 缺点：缺点：缺乏立体感，直观性较差，缺乏立体感，直观性较差，要运用正投影法对照几个投影才能想象要运用正投影法对照几个投影才能想象出物体的形状。出物体的形状。 在工程上，正投影图是最常用的在工程上，正投影图是最常用的图样。如：图样。如： （1）零件图）零件图 （2）装配图）装配图轴轴 测测 图图 （单（单 面）面） 优点：优点： 一个图形能同时反映物体的一个图形能同时反映物体的正面、水平面和侧面的形状，而富有立正面、水平面和侧面的形状，而富有立体感
10、。体感。 缺点：缺点：不能反映物体各表面的实形，不能反映物体各表面的实形，且作图较复杂。且作图较复杂。 在工程上，常把轴测图用作辅助在工程上，常把轴测图用作辅助图样，说明产品的结构和使用方法；图样，说明产品的结构和使用方法；在设计和测绘中，帮助进行空间构在设计和测绘中，帮助进行空间构思和想象物体形状；空间机构和管思和想象物体形状；空间机构和管路布局。如：路布局。如： （1）正等测）正等测 （2）斜二测）斜二测透透 视视 图图（单（单 面）面） 优点：优点： 透视投影符合人的视觉映象，透视投影符合人的视觉映象，看起来自然、逼真。看起来自然、逼真。 缺点：缺点：作图复杂，度量性差。作图复杂，度量性
11、差。 主要用于建筑工业设计等工程中，主要用于建筑工业设计等工程中，如绘制效果图或建筑物的外形。如绘制效果图或建筑物的外形。 标高投影图标高投影图（单（单 面）面） 优点：优点：能解决物体高度方向的度量能解决物体高度方向的度量问题。问题。 主要用于地图以及土建工程图中主要用于地图以及土建工程图中表示土木结构或地形。表示土木结构或地形。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录14工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2.2 2.2 点的投影点的投影 2.2.1 2.2.1 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影 2.2.22.2.2 两点之间的
12、相对位置关系两点之间的相对位置关系 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录15工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2.2.1 2.2.1 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 1. 1. 三投影面体系的建立三投影面体系的建立 2. 2. 点的投影点的投影 3. 3. 点的投影规律点的投影规律 4. 4. 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系 5. 5. 特殊位置点的投影特殊位置点的投影 6. 6. 点在其他分角中的投影点在其他分角中的投影 16工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图
13、 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础1. 1. 三投影面体系的建立三投影面体系的建立上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录17工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础1. 1. 三投影面体系的建立三投影面体系的建立HVXOZYW 三投影面体系由三投影面体系由V V、H H、W W三个投影面构成。三个投影面构成。 H H、V V、W W面面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。 上一页上一页下一
14、页下一页返回目录返回目录18工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2. 2. 点的投影点的投影HVXZYWOA 点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V V面面不动，不动，H H面向下旋转面向下旋转9090 ，W W面向右旋转面向右旋转9090 。aaaHa a VWXOZYWYHaa a XOZYWYHa上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录19工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学
15、学学 基基基基基基 础础础础础础3. 3. 点的投影规律点的投影规律HVXZYWOayaxazxyzaaaHa aa VWXOZYWYHaxayazay点的点的V V面投影与面投影与H H面投影之间的连线垂直面投影之间的连线垂直0X0X轴，轴，aaaa0X 0X ；点的；点的V V面投影与面投影与W W面投影之间的连线垂直面投影之间的连线垂直0Z0Z轴，轴，a a a a0Z0Z；点的；点的H H面面投影到投影到0X0X轴的距离及点的轴的距离及点的W W面投影到面投影到0Z 0Z 轴的距离两者相等，并轴的距离两者相等，并反映点到反映点到V V面的距离。面的距离。 长对正长对正 高平齐高平齐 宽
16、相等宽相等A上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录20工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础例例1 1 已知点已知点A A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A A的水平投影。的水平投影。ZYHXYWOa a a21工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础Haa VWXOZYWYHaxayazay4. 4. 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系 点的投影反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在点的投影反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。着对应关系。yAxAzAHVXZYW
17、OAayaxazxyzaaaa yA上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录22工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础例例2 2 已知点已知点B B的坐标为（的坐标为（25,20,30)25,20,30)，求作点，求作点B B的三面投影。的三面投影。XYWYHZO（1）在）在OX轴上截取坐标长度轴上截取坐标长度25，过截点作垂直线。过截点作垂直线。（2）在）在OZ轴上截取坐标长度轴上截取坐标长度30，过截点作水平线。过截点作水平线。（3）在）在OY轴上截取坐标长度轴上截取坐标长度20，作出投影作出投影a、a。aaa30252023工工工工工工 程程程
18、程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础a aa XOZYWaxayayb c c b b c 5. 5.特殊位置点的投影特殊位置点的投影投影面上的点投影面上的点 一个投影在投影面上，另两个投影在投影轴上。一个投影在投影面上，另两个投影在投影轴上。投影轴上的点投影轴上的点 两个投影在投影轴上，另一个投影在原点上。两个投影在投影轴上，另一个投影在原点上。与原点重合的点与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。 HVXZYWAaa a Bb Cc c c Ob 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录24工工工工工工 程程
19、程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础6. 6. 点在其他分角中的投影点在其他分角中的投影投影特点：投影特点： (1) 第二分角中的第二分角中的B点点, 其其V面投影面投影b 和和H面投影面投影b都在都在X轴上方。轴上方。 (2) 第三分角中的第三分角中的C点点, 其其V面投影面投影c 在在X轴下方轴下方, H面投影面投影c在在X轴的上方。轴的上方。 (3) 第四分角中的第四分角中的D点点, 其其V面投影面投影d 和和H面投影面投影d都在都在X轴下方。轴下方。 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录25工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基
20、基基 础础础础础础2.2.22.2.2 两点之间的相对位置关系两点之间的相对位置关系1.1. 两点相对位置的确定两点相对位置的确定 2. 2. 重影点重影点 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录26工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础XOZY1. 1. 两点相对位置的确定两点相对位置的确定a a ab b bBA 两点的相对位置是根据两点相对于同一投影面的距离两点的相对位置是根据两点相对于同一投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。远近（或坐标大小）来确定的。X X坐标值大的点在左；坐标值大的点在左；Y Y坐坐标值大的点在前；标值大的点在前；Z
21、 Z坐标值大的点在上。坐标值大的点在上。 XZYWYHOaa ab bb 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录27工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2. 2. 重影点重影点Dc(d)a(b)abAB 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。cdCOX上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录28工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础重影点可见性
22、判别重影点可见性判别XYHZYWOc(d)ba(b)acda b c d 判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。见点的投影加括号表示。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录29工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础例例3 3 已知已知A A点在点在B B点的右点的右1010毫米、前毫米、前6 6毫米、上毫米、上1212毫米，求毫米，求A A点的投影。点的投影。a a aXZYWY
23、HOb bb 12106上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录30工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2.3 2.3 直线的投影直线的投影2.3.2 2.3.2 直线对投影面的相对位置及投影特性直线对投影面的相对位置及投影特性2.3.3 2.3.3 直线上的点直线上的点 2.3.1 2.3.1 直线的三面投影直线的三面投影2.3.4 2.3.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角一般位置线段的实长及对投影面的倾角 2.3.5 2.3.5 两直线的相对位置两直线的相对位置 2.3.6 2.3.6 直角投影定理直角投影定理 上一页上一页下一页下一页返
24、回目录返回目录31工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础OXZY2.3.1 2.3.1 直线的三面投影直线的三面投影ABbbabaaZXa a aOYHYWb bb 空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录32工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2.3.2 2.3.2 直线对投影面的相对位置及投影特性直线对投影面
25、的相对位置及投影特性1.1.一般位置直线一般位置直线 2.2.投影面平行线投影面平行线 平行于一个投影面，与其它两个投影面倾斜的直线。平行于一个投影面，与其它两个投影面倾斜的直线。 正平线正平线: : V，对，对H、W面倾斜面倾斜 水平线水平线: : H，对，对V、W倾斜倾斜 侧平线侧平线: : W对对H、V倾斜倾斜3.3.投影面垂直线投影面垂直线 垂直于一个投影面，与其它两个投影面平行的直线。垂直于一个投影面，与其它两个投影面平行的直线。 铅垂线铅垂线：H面，面，V，W 正垂线：正垂线：V面，面，H，W 侧垂线：侧垂线：W面，面，H，V 与三投影面既不平行也不垂与三投影面既不平行也不垂直，而
26、是倾斜的直线。直，而是倾斜的直线。统称特殊位置直线统称特殊位置直线上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录33工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础 水平线水平线 平行于水平投影面的直线平行于水平投影面的直线XZYOaababb Xa b ab OzYHYWbaAB投影特性：投影特性：1 1、a a b b OX ; OX ; a a b b OYW 2OYW 2、abab= =ABAB 3 3、反映反映 、 角的真实大小角的真实大小上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录34工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础
27、础础础础XZYO正平线正平线 平行于正面投影面的直线平行于正面投影面的直线Xabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性： 1. ab OX ; a b OZ 2. a b =AB 3. 反映反映 、 角的真实大小角的真实大小aababb上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录35工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础XZYO侧平线侧平线 平行于侧面投影面的直线平行于侧面投影面的直线XZOYHYWa b babaAB投影特性：投影特性： 1、a b OZ ; ab OYH 2、a b =AB 3 、反映反映 、 角的真实大小角的真实大小aa b
28、 a bb上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录36工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础1. 1. 投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性1.1.直线在所平行的投影面上的投影直线在所平行的投影面上的投影, ,反映其实长和与其它两个投影面的倾角（具有实形性）。反映其实长和与其它两个投影面的倾角（具有实形性）。2.2.直线在其它两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴直线在其它两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴, ,且小于实长（具有类似性）。且小于实长（具有类似性）。 正平线正平线 水平线水平线 侧侧 平线平线上一页上一页下一页下一页返回
29、目录返回目录37工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础OXZYZb Xa b a(b)OYHYWa 投影特性投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB铅垂线铅垂线 垂直于水平投影面的直线垂直于水平投影面的直线ABb a(b)a ab上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录38工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础正垂线正垂线 垂直于正面投影面的直线垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性投影特性： 1、 a b 积聚积聚 成一点成一点
30、2 、 ab OX ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABABzXab baOYHYWabbababa上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录39工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础侧垂线侧垂线 垂直于侧面投影面的直线垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2 、 ab OYH ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABbaababZXabbaOYHYWab上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录40工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础
31、2. 2. 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性 正垂线正垂线铅垂线铅垂线侧垂线侧垂线1.1.直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点（具有积聚性）。直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点（具有积聚性）。2.2.直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴, ,且反映其实长（具有实形性）。且反映其实长（具有实形性）。 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录41工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础OXZY3. 3. 一般位置直线投影特性一般位置直线投影特性ABbbabaaZXabaOYH
32、YWabb投影特性：投影特性：1 1、a ba b、 a a b b 、a a b b 均小于实长均小于实长 2 2 、a ba b、a a b b 、a a b b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 3 3 、不反映、不反映 、 、 实角实角上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录42工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础 从属于投影面的直线从属于V面的直线中途返回请按“ESC”键43工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础从属于投影面的直线从属于V面的铅垂线中途返回请按“ESC”键44工工工工工工 程程程程程
33、程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础从属于投影轴的直线从属于OX 轴(两个投影面的交线)的直线中途返回请按“ESC”键45工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性： 1.1.从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2.2.定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其分割线段的投影之属于线段上的点
34、分割线段之比等于其分割线段的投影之比。即比。即 A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 2.3.3 2.3.3 直线上的点直线上的点Ccc c上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录46工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础47工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础b Xa abcc 例例4 已知线段已知线段AB的投影图，试将的投影图，试将AB分成分成1：2两段，求分点两段，求分点C的投影。的投影。O上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录48工工工工工工 程
35、程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础例例5 已知点已知点C在线段在线段AB上，求点上，求点C的正面投影。的正面投影。accbXOABbbaacCcHVOb Xa abcc 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录49工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础3. 3. 直线的迹点直线的迹点m mnn XO 直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。XAb aa m N n bBM mnOVHa b b
36、a上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录50工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础求直线迹点的作图过程中途返回请按“ESC”键51工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2.3.4 2.3.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角一般位置线段的实长及对投影面的倾角 ABbbaaCXO|zA-zB| 过过A A作作ACabACab得直角三角形得直角三角形ABCABC，其中，其中AC=AC=abab，BC=Bb-BC=Bb-AaAa= =z zB B-z-zA A，斜边，斜边ABAB即为实长，即为实长，ABAB与
37、与ACAC的夹角即为的夹角即为ABAB对对H H面的倾面的倾角角，这种方法称为直角三角形法。，这种方法称为直角三角形法。|zB-zA |ABXaabbAB|zB-zA|abO上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录52工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础求一般位置线段的实长及其与V面的夹角实长直角三角形ABD中：斜边AB=AB实长直角边DA=ad = Y直角边BD=ab角:ab与实长AB的夹角Y实长Y中途返回请按“ESC”键Y直角三角形53工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础求一般位置线段的实长及其与W
38、面的夹角直角三角形ABD中：斜边AB=AB实长直角边AE=ae = X直角边BE=ab角: ab与实长AB的夹角实长XX中途返回请按“ESC”键直角三角形54工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础作图要领作图要领 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。长间的夹角即为
39、线段与该投影面的夹角。 |zA-zB |ABXaabb AB|zA-zB|abO上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录55工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础直角三角形直角三角形的四个要素的四个要素 四个要素包括：实长、投影长、坐标差及直线对投影面四个要素包括：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。ABab|zA-zB|斜边斜边直角边（投影）直角边（投影）直角边（坐标差）直角边（坐标差）夹角（投影与斜边）夹角（投影与斜边）实长实长 水平投影水平投影 Z
40、 正面投影正面投影Y 侧面投影侧面投影X上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录56工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础 例例5 5 已知已知 线段的实长线段的实长ABAB以及以及abab和和a a，求它的正面投影，求它的正面投影a ab b。aXa bAOBb0bb0bb0b b 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录57工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础 若空间两直线互相平行，其各组同面投影必平行。反之，若空间两直线互相平行，其各组同面投影必平行。反之，若两直线的各组同面投影都互相平行，则空间两
41、直线必平行。若两直线的各组同面投影都互相平行，则空间两直线必平行。 1.1.平行两直线平行两直线XbaabdcdcXbaadbbccABCD2.3.5 2.3.5 两直线的相对位置两直线的相对位置上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录58工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2.2.相交两直线相交两直线 两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点符两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点符合点的投影规律。合点的投影规律。 反之若两直线在同一投影面上的投影相反之若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线相交。交，且交点
42、符合点的投影规律，则该两直线相交。OXBDACKbbaaccddkkObXaabkcddck上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录59工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础3.3.交叉两直线交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。 XOBDACbb aa c cdd 211 (2 )21b Xa abc d dc11 (2 )2O上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录60工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础dacboYWYHZXaacddcbb例
43、例6 6 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录61工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础bbcddcXaa3(4)34121(2)例例7 7 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性O 判断重影点的判断重影点的可见性时，需要看可见性时，需要看重影点在另一投影重影点在另一投影面上的投影，坐标面上的投影，坐标值大的点投影可见，值大的点投影可见，反之不可见，不可反之不可见，不可见点的投影加括号见点的投影加括号上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录62工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学
44、 基基基基基基 础础础础础础2.3.6 2.3.6 直角投影定理直角投影定理AHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。 反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。O上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录63工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基
45、基 础础础础础础. .垂直相交的两直线的投影垂直相交的两直线的投影BHACbcacXabcab已知：已知：ABH面，面，ABBC，求证：，求证：abc=90证明：证明： ABH面面 ABBb 又又ABBC AB平面平面BbcC 又又ABab ab平面平面BbcC abbc， 即即:abc=ABC=90 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录64工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础例例9 9 求点求点E E 到水平线到水平线AB AB 的距离。的距离。XOababeeddyD-yE所求距离所求距离上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录65工工工工
46、工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础例例10 作三角形作三角形ABC， ABC为直角，使为直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3。bbcABab|yA-yB|bc=BCnmaaXmnOc上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录66工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2.4 2.4 平面的投影平面的投影2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法2.4.2 2.4.2 平面对投影面的相对位置平面对投影面的相对位置及投影特性及投影特性2.4.3 2.4.3 平面上的点和直线平面上的点和直线上一页上一
47、页下一页下一页返回目录返回目录67工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd（1 1）不在一直线上的三个点；）不在一直线上的三个点；（2 2）一直线和直线外一点；）一直线和直线外一点；（3 3）相交两直线；）相交两直线；（4 4）平行两直线；）平行两直线；（5 5）任意平面图形。）任意平面图形。1. 1. 用几何元素表示平面用几何元素表示平面上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录68工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基
48、基基基基 础础础础础础2. 2. 用迹线表示平面用迹线表示平面PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW 迹线是平面与投影面的交线，平面迹线是平面与投影面的交线，平面P与与H、V、W面的交面的交线分别称为水平迹线、正面迹线和侧面迹线，迹线与投影轴线分别称为水平迹线、正面迹线和侧面迹线，迹线与投影轴的交点称为迹线的集合点。的交点称为迹线的集合点。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录69工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础求平面迹线的作图中途返回请按“ESC”键70工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学
49、学学学 基基基基基基 础础础础础础2.4.2 2.4.2 平面对投影面的相对位置及投影特性平面对投影面的相对位置及投影特性1. 1. 一般位置平面一般位置平面2. 2. 投影面平行面投影面平行面 （ 1 ）正平面正平面 （2）水平面）水平面 （3）侧平面）侧平面3. 3. 投影面垂直面投影面垂直面 （1）正垂面）正垂面 （2）铅垂面）铅垂面 （3）侧垂面）侧垂面上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录71工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础 正平面正平面投影特性：投影特性： （1） abc 、 a b c 积聚为直线（具有积聚性）。积聚为直线（具有
50、积聚性）。 （2） 正平面投影正平面投影a b c 反映反映 ABC实形（具有实形性实形（具有实形性）。）。 cabbacbcaVWHbacabcbcaCBA上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录72工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础正平面的迹线表示73工工工工工工 程程程程程程 图图图图图图 学学学学学学 基基基基基基 础础础础础础VWH水平面水平面投影特性：投影特性：（）（）a b c 、 a b c 积聚为积聚为直线（具有积聚性）积聚为积聚为直线（具有积聚性） （2 ）水平投影）水平投影abc反映反映 ABC实实形形 （具有实形性）（具有
