1、rOrLsinLrmvLvvmLrprmv 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体. （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组） 刚体刚体的运动形式：平动、转动的运动形式：平动、转动. 刚体平动 质点运动 平动平动：若刚体中所：若刚体中所有点的运动有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线于它们的初始位置间的连线. 定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 转动又分定轴转动和非定轴转动 . 刚
2、体的平面运动 . 刚体的一般运动 质心的平动绕质心的转动+zmramFiitt)(2)(iiirmMiiiiiramFrMtt)(imirOitFra t22)()(iiiiirmrmMMJM 2iirmJ 转动惯量物理转动惯量物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度. 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成正成正比比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 . 转动定律转动定律JM 2iirmJ 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何形状及转轴的位置形状及转轴的位置.注意注意单个质点单个质点 2mrJ
3、 质点系质点系 niiirmJ12质量连续分布质量连续分布dmrJm2单位单位: :千克千克米米2（kgm2）lO Ordr 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的处的质量元质量元 rrmddrrmrJddd22 讨论：讨论： 一一质量为质量为 m 、长为长为 l 的的均匀细长棒，与棒均匀细长棒，与棒垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 .rd2l2lO O20231dmlrrJl转轴过端点垂直于棒转轴过端点垂直于棒22/02121d2mlrrJl转轴过中心垂直于棒转轴过中心垂直于棒2dmrdr l232dJr dmlr d
4、r340122RJdJlr drR lRmlrdr。l2mR l212JmR则有由于OZrdrRl 2222225212121282155ORRJdm rr dz r( Rz) dzRmR225OJmRRzordzzm2cJJmd miRirid xCyiO 222112cosnni iiiiiiJm rmRddR 221112cosnnniiiiiiiiim Rm ddm R 1niiim x 0MM2a2aO22MaJ 圓圓 22cJJMa 杆杆C2243MaMa OJJJ 圓圓杆杆2296Ma ozyxzxyJJJ 对于薄板刚体，绕垂直于板面的轴Oz的转动惯量，等于位于板面内与Oz轴交于
5、一点的两相互正交轴Ox和Oy的转动惯量之和。例如：薄盘绕直径的转动惯量212zxyJJJmR214xyJJmR 若力学体系有几个部分组成，整体绕定轴转动的转动惯量,等与各部分对该轴的转动惯量之和。即iJJ1m l2mRzzJJJ杆球2221221235mlm RmlR 例如：例如：有质量为 ,长为 的均质细杆和质量为 ，半径为 的匀质球体组成的刚体，对Z轴的转动惯量为2m1mlR竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？ 例例1 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与
6、一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动. 由于此竖由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动.试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角角时的角加速度和角速度速度.lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin21ml2loPNF式中式中231mlJ ddddddddtt得得sin23lg由角加速度的定义由角加速度的定义ds
7、in23dlg代入初始条件积分代入初始条件积分 得得)cos1 (3lgJmglsin21ml2loPNF 例例2 有一半径为有一半径为R质量为质量为 m 匀质圆盘匀质圆盘, 以角速度以角速度0 0绕绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动通过圆心垂直圆盘平面的轴转动. .若有一个与圆盘大小相若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面同的粗糙平面( (俗称刹车片俗称刹车片) )挤压此转动圆盘挤压此转动圆盘, ,故而有正压故而有正压力力N N 均匀地作用在盘面上均匀地作用在盘面上, , 从而使其转速逐渐变慢从而使其转速逐渐变慢. .设正设正压力压力N N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出和刹车片与圆盘间的摩
8、擦系数均已被实验测出. .试试问经过多长时间圆盘才停止转动问经过多长时间圆盘才停止转动? ? 解解: 在圆盘上取面积微元在圆盘上取面积微元, 面积元所受对转轴的摩擦力矩面积元所受对转轴的摩擦力矩大小大小rlRNrFrfddd20rl drdfFd刹车片刹车片面积微元所受摩擦力矩面积微元所受摩擦力矩rlRNrFrfddd2圆环所受摩擦力矩圆环所受摩擦力矩22202d2ddddRrNrlRrNrFrMrf圆盘所受摩擦力矩圆盘所受摩擦力矩NRRrNrMMR32d2d022圆盘角加速度圆盘角加速度43MNJMRNmRt0043停止转动需时停止转动需时0rl drdfFdRCgmfFCaNxy* * 例
9、例3 如图一斜面长如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角与水平面的夹角 = 5o. 有两个物体分别静止地位于斜面的顶端有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿然后由顶端沿斜面向下滚动斜面向下滚动, 一个物体是质量一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为、半径为R1 的实心圆柱体的实心圆柱体, 另一物体是质量为另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜它们分别由斜面顶端滚到斜面底部各经历多长时间面底部各经历多长时间? 解解: 物体由斜面物体由斜面顶端滚下顶端滚下, 可视为质可视为
10、质心的平动和相对质心心的平动和相对质心的滚动两种运动合成的滚动两种运动合成.CgmfFCaNxy质心运动方程质心运动方程CmaFmgfsin转动定律转动定律JRFfRaaC角量、线量关系角量、线量关系2sinRJamgmaJmRmgRa22sin3sin21ga 2sin2ga 112 alt 实心圆拄实心圆拄222 alt 空心圆筒空心圆筒。mgNfCCxhCmgNfCCxhC 解：解：1）沿光滑斜面，圆柱体仅作滑动；沿水平面达到纯滚动前作滑滚运动。动力学方程为：动力学方程为：2021212cmg hRmvmgmamgRmR由以上三式解得：由以上三式解得：022cvg hRagg R 002
11、2ccvva tg hRgttgt RcvR0233g hgtgvR22200022011232935185vvv tatgxhRggvg 例例 5 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计. 问：（问：（1） 两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？
12、 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体物体 B 从从BmCm 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力. 静止落下距离静止落下距离 时，时，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为fMyAmABCAmBmCmABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解 （1）隔离物体分）隔离物体分别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作受力分析，取坐标如图，受力分析，取坐标如
13、图，运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律 、转、转动定律列方程动定律列方程 . T2FT1FCPCF2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F （3） 考虑滑轮与轴承间的考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩摩擦力矩 ，转动定律，转动定律fM结合（结合（1）中其它方程）中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa JMRFRFfT1T
14、2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa iiiiiiirmrmL)(2v 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理122121ddJJLtMLLtt112221dJJtMtttJtLMd)(dddJL Oirimivz 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 非刚体非刚体定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界
15、的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守恒条件守恒条件0M若若 不变，不变， 不变；若不变；若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.JJLJ 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理1221dJJtMtt 若若 ，则，则 .0M常量JL讨论讨论exinMM 在在冲击冲击等问题中等问题中L常量常量三三 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 有许多现象都可以用角有许多现象都可以用角动量守恒来说明动量守恒来说明. 它是自然它是自然界的界的普遍适用普遍适用的规律的规律.花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水飞轮飞轮12航天器调姿航天器
16、调姿解解: 系统角动量守恒系统角动量守恒)(212211JJJJ)(212211JJJJ 例例1 两个转动惯量分别为两个转动惯量分别为 J1 和和 J2 的圆盘的圆盘 A和和 B. A 是机器上的飞轮是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器圆是用以改变飞轮转速的离合器圆盘盘. 开始时开始时, 他们分别以角速度他们分别以角速度1 和和2 绕水平轴转绕水平轴转动动. . 然后然后, ,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下两圆盘在沿水平轴方向力的作用下. .啮合为啮合为一体一体, , 其角速度为其角速度为 , , 求求齿轮啮合后齿轮啮合后两圆盘的角速度两圆盘的角速度. 解解: 碰撞前碰撞前 M 落
17、在落在 A点的速度点的速度21M)2( ghv 例例2 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下处自由下落到跷板的一端落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员 N 弹了起来弹了起来.设跷板是匀质的设跷板是匀质的, 长度为长度为 l , 质量为质量为 , 跷板可绕中部跷板可绕中部支撑点支撑点 C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动, 演员的质量均为演员的质量均为 m. 假定假定演员演员 M 落在跷板上落在跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞 .问演员问演员 N 可弹起多高可弹起多高 ?mll/2CABMNh 碰撞后
18、的瞬间碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度具有相同的线速度 M、N和跷板系统和跷板系统角动量守恒角动量守恒21M)(2gh v2MNluuu22M21121222mllmlmuJlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv演员演员 N 达到的高度达到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆, 可绕过其中心可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于当细杆静止于水平位置时水平位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直
19、落在距点 O 为 l/4 处处, 并背离点并背离点O 向细杆的端点向细杆的端点 A 爬行爬行. 设小虫与细杆设小虫与细杆的质量均为的质量均为m. 问问: 欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫小虫应以多大速率向细杆端点爬行应以多大速率向细杆端点爬行?0v 解解: 碰撞前后系统角碰撞前后系统角动量守恒动量守恒220)4(1214lmmllmvl 7120vl0712 v角动量定理角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlgddddttrFsFrFWddM
20、W 21dMW力矩的功力矩的功1 力矩作功力矩作功 MtMtWPdddd2 力矩的力矩的功率功率orvFxvFoxrtFrddddWM21222121d21JJMW3 转动动能转动动能221iiikmEv4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理21dMW 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量转动动能的增量 .22221)(21Jrmiii2111ddddJtJ质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为能之和。此结论称为柯尼希定理柯尼希定理。 22211122
21、2kiiciiiiEmvMvmv特别地：特别地：作作的刚体动能的刚体动能为为221122kccEMvJ质点运动与刚体定轴转动对照质点运动与刚体定轴转动对照质点运动质点运动刚体定轴刚体定轴转动转动速度速度加速度加速度trddvtvdda角速度角速度角加速度角加速度t ddt dd质量质量 m转动惯量转动惯量动量动量角动量角动量mrJd2JL vmP 力力力矩力矩FM质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照运动定律运动定律amF转动定律转动定律JM 质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动量定理动量定理00dvvmmtFtt角动量定理角动量定理00dLLt
22、Mtt动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律恒量iiimFv, 0恒量iiJM, 0力的功力的功barFWd力矩的功力矩的功0dMW动能动能2/2kvmE 转动动能转动动能2/2kJE 质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动能定理动能定理2022121vvmmW动能定理动能定理2022121JJW重力势能重力势能mghE p重力势能重力势能CpmghE 机械能守恒机械能守恒恒量pkEE只有保守力作功时只有保守力作功时机械能守恒机械能守恒恒量pkEE只有保守力作功时只有保守力作功时vovoompTR
23、圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒 .角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒 .圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒 .讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计 例例4 一长为一长为 l , 质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转自由转动动 . 一质量为一质量为 的子弹射入竖直竿底端，使竿的偏转角的子弹射入竖直竿底端，使竿的偏转角为为90 . 问子
24、弹的初速率为多少问子弹的初速率为多少 ?mm 解解: 把子弹和竿看作一个系把子弹和竿看作一个系统统 . 子弹射入竿的过程系统角动子弹射入竿的过程系统角动量守恒量守恒ov 例例4 一长为一长为 l , 质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转自由转动动 . 一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支点为的子弹射入竿内距支点为 a 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为多少问子弹的初速率为多少 ?vmm 解解: 把子弹和竿看作一个系把子弹和竿看作一个系统统 . 子弹射入竿的过程系统角动子弹射入竿的过程系统角动量守恒量守恒)31(22malmamvoamv3
25、02233malmamvoamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2lgm)30cos1 (mga 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统 ，机械能守恒，机械能守恒 .2233malmamv 例例5 一根长为一根长为l、质量为、质量为m的均匀细棒的均匀细棒, 棒的一端可绕通过棒的一端可绕通过O点并垂直于纸面的轴转动点并垂直于纸面的轴转动, 棒棒的另一端有质量为的另一端有质量为 m 的小球的小球. 开开始时始时, 棒静止地处于水平位置棒静止地处于水平位置A. 当棒转过当棒转过 角到达位置角到达位置 B,
26、 棒的棒的角速度为多少角速度为多少? 解解: : 取小球、细棒和地球为系统取小球、细棒和地球为系统, , 在棒转动过程中在棒转动过程中机械能守恒机械能守恒, , 设设 A A 位置为重力势能零点位置为重力势能零点. .pBkBpAkAEEEEolm,mABgmgmsin21l2kB21JE0PkAAEEpBkBpAkAEEEE2223431mlmlmlJ)sinsin2(pBmgllmgEsin23mgl21)sin(23lgolm,mABgm21JJJgmsin21l22230sin32mlmgl SA1A2Myxo： 平面运动可任意选取基点，分解为随基点的平动和平面运动可任意选取基点，分解
27、为随基点的平动和相对基点的转动，其中平动的速度和加速度与基点的选相对基点的转动，其中平动的速度和加速度与基点的选择有关，而择有关，而，或者说，或者说。 所以提平面图形的角速度，无需指明是相对哪个基所以提平面图形的角速度，无需指明是相对哪个基点的转动。点的转动。DADAvvv12()AOOvOArr12II2()ODArrvDArCACAvvvII12()BAOAvBArrvBABAvvv221222()BABAAOvvvvrrII12()CAOAvCArrv122()CCAOvvvrr定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。三 求平面图形内各点速度的瞬心法S设有一个
28、平面图形S角速度为，图形上点A的速度为vA，如图。在vA的垂线上取一点C (由vA到AC的转向与图形的转向一致)，有如果取AC vA / ，则CAvvAC0CAvvACNCvAvCA该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。 vAA图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。 三 求平面图形内各点速度的瞬心法CAvAvBBDvDC确定速度瞬心位置的方法有下列几种：(1) 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。如车轮在地面上作无滑动的滚动时。三 求平面图形内各点速度的瞬心法vC(2) 已知图形内
29、任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上。 三 求平面图形内各点速度的瞬心法ABOCvAABvB (3) 已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端点连线的交点C上。 三 求平面图形内各点速度的瞬心法ABvBvACABvBvAC (4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等,如图所示，图形的速度瞬心在无限远处。(瞬时平动：此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相等) 三 求平面图形内各点速度的瞬心法OvAABvB另外注意：瞬心的位置是随时间在不断改变的，它只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。
30、解： AB作平面运动2sin30AAAvvvACllcos303BAvBClv2MAlvMCvAvAvBB30CvMM瞬心在C点A3A2A4A1vA2vA3vA4vO解：很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即A1各点的速度方向分别为各点与A点连线的垂线方向，转向与相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零。2422AAvvrvovrv10AvO322Avrv459090O1OBAD 解：AB作平面运动，OA和O1B都作定轴转动，C点是AB杆作平面运动的速度瞬心。vAvBvDCAB32 ,23 23 5,24OAlABBClACl DCl2AvOAl2233 22AABvlAClBABv
31、BCl52DABvDCl例10 直杆AB与圆柱O相切于D点，杆的A端以 匀速向前滑动，圆柱半径 ，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，如图，求 时圆柱的角速度。scmvA60cmr1060 解一：圆柱作平面运动，其瞬心在 点，设其角速度为 。1CrDCvD31 AB圆柱作平面运动，其瞬心在 点，则2CAvABDO1CDv2CAB22ACvDCvADAB即AADvvrrv3333亦即Avr333故sradrvA2103603aAvARvBlvlvCAvAAAAB245sin AABBvCBv aAvARaBaAnBAatBAatnBABABAaaaalvlaAABnBA222 xy45sin45
32、sin45cos45cosAtBABnBAABaaaaaa 2222,22AAtBAAABvlaavlaa 2222AAtBAABvlalla AO1OB3200=3vAvB0 OAvAAB03rOBvABB AO1OB20215ratB nAatAanBatBanAatAanBAatBAanBAtBAtAnABnBaaaaaa t200203,rraratAnA 2022rABaABnBA 201223rBOvaBnB nBAnAtAnBtBaaaaa 60cos30cos30cos60cos 飞轮质量飞轮质量60 kg,直径直径d=0.50 m闸瓦闸瓦与轮间与轮间=0.4;飞轮质量分布在外
33、层飞轮质量分布在外层圆周圆周,要求在要求在t=5 s内制动内制动,求求F力大小力大小.解解: :221000220ss6053t 1000r/min F0.50m0.75m 对飞轮对飞轮2215kg m24dJm fMJ 其中其中fN2fdMN 对制动杆对制动杆FNf0.51.25NF 52F100 NF AB质量质量为为m的均匀细杆由竖直受一微扰倒下的均匀细杆由竖直受一微扰倒下,求夹角为求夹角为时时,质心速度及杆的角速度质心速度及杆的角速度BC解解: :质心不受水平方向作用质心不受水平方向作用,做自由下落运动做自由下落运动!由机械能守恒由机械能守恒: 22111cos222lmgmvJ vv
34、Bvn由相关速度由相关速度:sinsin2nlvv 杆对质心的转动惯量杆对质心的转动惯量:212mlJ 2121cos13singl 231cossin13sinvgl 着地时着地时,两杆瞬时转轴为两杆瞬时转轴为A(B) 解解: :BA由机械能守恒由机械能守恒: 212222hmgJ 221223cvmlmghl 則則3chvg 得得vch 如图，两根等重的细杆如图，两根等重的细杆AB及及AC，在，在C点用铰链点用铰链连接，放在光滑水平面上，设两杆连接，放在光滑水平面上，设两杆由图示位置由图示位置无初速地开始运动，无初速地开始运动，求铰链求铰链C着地时的速度着地时的速度 轴心降低轴心降低h过程
35、中机械能守恒过程中机械能守恒 解解: :Bhv212PmghJ 其中圆柱体对轴其中圆柱体对轴P的转动惯量的转动惯量 222322PmrmrJmr Pvr 23vgh T由转动定律由转动定律: TrJ 22mrar mgTma 由质心运动定律由质心运动定律: 13Tmg 如图，圆柱体如图，圆柱体A的质量为的质量为m，在其中部绕以细，在其中部绕以细绳，绳的一端绳，绳的一端B固定不动，圆柱体初速为零地下落，当其轴心降固定不动，圆柱体初速为零地下落，当其轴心降低低h时，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力时，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力 纯滚动时圆柱角速度由机械能守恒纯滚动时圆柱角速度由机械能守恒: :解
36、解: :vc0c0h22220011222m rm ghJm r 0243ghr 与墙弹性碰撞与墙弹性碰撞, ,质心速度反向质心速度反向, ,角速度不变角速度不变, ,此后受摩擦力作用此后受摩擦力作用经时间经时间t 达纯滚动达纯滚动: :vc0c0vctct由动量定理由动量定理 0tf tmrr 由角动量定理由角动量定理 0ctfr tJ 2233tghr 纯滚动后机械能守恒纯滚动后机械能守恒: :221322tm rm gh 9hh 如如图，实心圆柱体图，实心圆柱体从高度为从高度为h的斜坡上从静止纯滚动地到达的斜坡上从静止纯滚动地到达水平地面上，继续纯滚动，与光滑竖直水平地面上，继续纯滚动，
37、与光滑竖直墙做完全弹性碰撞后返回，经足够长的墙做完全弹性碰撞后返回，经足够长的水平距离后重新做纯滚动，并纯滚动地水平距离后重新做纯滚动，并纯滚动地爬上斜坡，设地面与圆柱体之间的摩擦爬上斜坡，设地面与圆柱体之间的摩擦系数为系数为，试求圆柱体爬坡所能达到的高，试求圆柱体爬坡所能达到的高度度h.解解: :vvR12v2vR11v1vR12v22vR完成弹性碰撞后设两球各经完成弹性碰撞后设两球各经t1、t2达到纯滚动，质心速度为达到纯滚动，质心速度为v1、v2， 对球对球1：1121125f tmvvmRvfR tRR ， 127vv对球对球2： 2222225f tm vvvmRfR tR 257v
38、v 在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球，其一做在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球，其一做纯滚动，质心速度为纯滚动，质心速度为v，另一静止不动，两球做完全弹性碰撞，因碰，另一静止不动，两球做完全弹性碰撞，因碰撞时间很短，碰撞过程中摩擦力的影响可以不计试求碰后两球撞时间很短，碰撞过程中摩擦力的影响可以不计试求碰后两球达到纯滚动时的质心速度；全部过程中损失的机械能的百分数达到纯滚动时的质心速度；全部过程中损失的机械能的百分数 续解续解系统原机械能为系统原机械能为 222201272510m rvm vEm rr 达到纯滚动后的机械能达到纯滚动后的机械能22221 72529257770tmR
39、vvEmvRR 204149 則則% %读题读题设以某棱为轴转动历时设以某棱为轴转动历时t，角速度，角速度if，解解: :vivf3030fNa对质心由动量定理：对质心由动量定理： sin30fiN tMa 对刚体由动量矩定理：对刚体由动量矩定理： cos30fiftMa cos30sin30ftaN ta 2512fiMa1117fi 可可得得211121172 9,8srs 則則时间短，忽略重力冲量及冲量矩时间短，忽略重力冲量及冲量矩 i f 如图所示，一个直、刚性的固体正六角棱柱，形状就如图所示，一个直、刚性的固体正六角棱柱，形状就像通常的铅笔，棱柱的质量为像通常的铅笔，棱柱的质量为M，密度均匀横截面六边形每边长为，密度均匀横截面六边形每边长为a六角六角棱柱相对于它的中心轴的转动惯量棱柱相对于它的中心轴的转动惯量I为为 现令棱柱开始不均匀地滚下斜现令棱柱开始不均匀地滚下斜面假设摩擦力足以阻止任何滑动，并且一直接触斜面某一棱刚碰上斜面之面假设摩擦力足以阻止任何滑动，并且一直接触斜面某一棱刚碰上斜面之前的角速度为前的角速度为i，碰后瞬间角速度为，碰后瞬间角速度为f，在碰撞前后瞬间的动能记为，在碰撞前后瞬间的动能记为Eki和和 Ekf，试证明试证明fsi， EkfrE，并求出系数，并求出系数s和和r的值的值 2512Ma
