1、数理统计数理统计 学习统计要在基本概念、方法原理的正确理解上学习统计要在基本概念、方法原理的正确理解上多花些时间多花些时间. 统计软件包统计软件包SAS,SPSS,MATLAB, STAT等等, 都可以快速、简便地进行数据处理和分都可以快速、简便地进行数据处理和分析析. 数理统计学数理统计学是关于数据资料收集、整理、分析、是关于数据资料收集、整理、分析、和推断的一门应用性很强的学科。利用数理统计和推断的一门应用性很强的学科。利用数理统计学可对所考察的问题作出推断和预测学可对所考察的问题作出推断和预测,直至为采取直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议一定的决策和行动提供依据和建议.数理统计学数
2、理统计学合理收集数据合理收集数据-试验设计、抽样调查试验设计、抽样调查等等整理分析数据整理分析数据-统计推断统计推断第六章第六章 样本及其抽样分布样本及其抽样分布样本与统计量样本与统计量直方图与样本分布函数直方图与样本分布函数常用统计量的分布常用统计量的分布6.1 样本与统计量样本与统计量 X 的分布函数和数字特征称为总体的的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征分布函数和数字特征.1.总体总体 研究对象全体元素组成的集合研究对象全体元素组成的集合. 数理统计关心研究对象的某个数理统计关心研究对象的某个(或某些或某些)数量数量指标指标是一个随机变量是一个随机变量(或多维随机变量或多维随
3、机变量),记为记为X 以此表示一个总体以此表示一个总体.一、总体与样本一、总体与样本对个体逐个观测来获取总体对个体逐个观测来获取总体X的分布情况的分布情况?取样本取样本!根据样本的取值情况来推断总体的情况根据样本的取值情况来推断总体的情况.2. 样本样本：来自总体的部分个体：来自总体的部分个体X1, ,Xn ,如果满足：如果满足：(1)代表性代表性: Xi(i=1,n)与总体与总体同分布同分布;(2)独立性独立性:X1, , Xn 相互独立相互独立. 则称则称X1, ,Xn为为容量为容量为n 的简的简单随机样本单随机样本,简称简称样本样本。而称。而称X1, , Xn的一次实现为样本观的一次实现
4、为样本观察值察值, 记记x1, , xn. 来自总体来自总体X的随机样本的随机样本X1， , Xn可记为可记为1,( ),( ),或iidnXXXf xF x显然，样本联合分布函数或密度函数为显然，样本联合分布函数或密度函数为 niinxFxxxF121*)(),(或或 niinxfxxxf121*)(),(3.总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合样本所有可能取值的集合. . 二、统计量二、统计量定义定义:如果样本如果样本X1, ,Xn 的函数的函数g(X1, ,Xn )不含
5、不含未知参数未知参数,则称之为总体则称之为总体X的一个的一个统计量统计量. (1) 写出样本空间与样本写出样本空间与样本X的联合密度函数的联合密度函数;X=(X1, , Xn)是一样本是一样本,为未知参数为未知参数, 2( ,),XN 例例已知，已知，2 1(,):,1, nixxxR in 解解11(,)()nniif xxf x 221()2112inxie 221()121( 2)nniixe (3)若样本观察值为若样本观察值为1,2,3, 则样本均值与样则样本均值与样本方差是多少本方差是多少?2,x 22221(12)(22)(32) 12s (2) 指出下列哪些是统计量指出下列哪些是
6、统计量?11,niiXXn 2211,1niiSXXn 22211/niiSX 是是, 称为称为样本均值样本均值 是是, 称为称为样本方差样本方差 不是不是, 含含未知参数未知参数,1.11 niiXnX样样本本均均值值221212.()1()niiSXXnSS 样样本本方方差差样样本本均均方方差差 标标准准差差3.样本样本k阶矩阶矩k阶原点矩阶原点矩11nkkiimXn k阶中心矩阶中心矩11()nkkiiMXXn 三、三、几个常用的统计量几个常用的统计量样本的数字特征样本的数字特征1mX 2221()较大nMSnSn (1)()()E XE X 2()(2)()D XD Xnn 性质性质
7、如果总体如果总体X的期望为的期望为 ，方差为方差为 2，则则22(3)()()E SD X 证明证明 (1)、(2)自证自证, 下面证明性质下面证明性质(3). 2211()1niiESEXXn 211()1niiEXXn 2211(2)1iniiEXXXXn 22111121innniiiiXXEXXn 221121niiEXXnXnXn 122(11)niiEXE Xnn 22222111()()1ninnn 22()iiiDXXEXE 2222()iiiEXDXXE 2222()( )EXDE XXn 总总 结结一、总体与样本一、总体与样本二、统计量二、统计量三、三、几个常用的统计量几个
8、常用的统计量作业：作业：P1062(1)(2), 4，5 2分布分布、t分布分布、F分布分布一、正态分布一、正态分布2(,),iiiXN 则则22111,nnniiiiiiiiia XNaa 6.3 常用统计量的分布常用统计量的分布定理定理1(样本均值的分布样本均值的分布)若若X1, X2, ,Xn相互独立相互独立,特别地特别地, ,若若211,niiXXNnn 则则. .212,( ,)i i dnX XXN 0,1XNn 标准正态分布的标准正态分布的 分位数分位数分布的分布的上上 分位数分位数. .定义定义则称则称u 为标准正态为标准正态若若 P Xu 0.050.0250.0051.64
9、51.962.575uuu -2-1120.10.20.30.4u 常用常用数字数字 P Xu -2-1120.10.20.30.4 /2 -u /2=u1-( /2) /2 u /2-u /2正态分布的正态分布的双侧双侧 分位数分位数. .若若则称则称为标准为标准 2|PXu 2u 定义定义 2PXu 二、二、)(2n分布分布( n为自由度为自由度 )定义定义 设设X1, X2, ,Xn相互独立相互独立,且都服从标准正态分且都服从标准正态分布布N(0,1), 则称统计量则称统计量 (即样本二阶原点矩即样本二阶原点矩)服从服从自由度自由度为为n的的 分布分布, 记记 21niiX 注注1 n
10、= 1 时时,其密度函数为其密度函数为0, 00,21)(221xxexxfx2468100.20.40.60.811.2221( )niiXn 2 自由度自由度: 相互独立的随机变量的个数相互独立的随机变量的个数注注2 n=2时时,其密度函数为其密度函数为0, 00,21)(2xxexfx为参数为为参数为1/2的指数分布的指数分布.2468100.10.20.30.4222121,02( )( )0,0 xnnne xxf xx其中其中10( )tte dt一般一般, ,自由度为自由度为 n 的的 的密度函数为的密度函数为2( )n 5101520250.10.20.30.4n=2n = 3
11、n = 5n = 10n = 15 例如例如 22112212212121(),(),()XnXnX XXXnn 若若相相互互独独立立，则则 22( )nn 时时，正正态态分分布布23( )n 分分布布的的上上分分位位数数有有表表可可查查分布的性质分布的性质2( )n 20.05(10)51015200.020.040.060.080.1n = 1020.05(10) 可加性可加性 2(10)18.3070.05P 18.307含义含义?21,( ,),iidnXXN 222(1)(2)(1);nSn 定理定理2 (样本方差的分布样本方差的分布)2(1) XS与与相互独立；相互独立；注注:(1
12、)只有来自正态总体的样本方差和样本均值才只有来自正态总体的样本方差和样本均值才独立独立.(2)推导推导:2121(1)()1niinXXn 22(1)nS 21()niiXX 21(0,1)()niiiXXN 2( )n iiZXX 令令则则Z1,Z2,Zn并不完全自由并不完全自由, 有一个约束条件有一个约束条件:121()nXXXXXX Z1+Z2+Zn=0故自由度故自由度为为n-1.三、三、 t 分布分布 (Student 分布分布)则称统计量则称统计量 服从自由度为服从自由度为 n 的的T 分布分布,记记为为T t(n).其密度函数为其密度函数为/XTY n 12212( )12nntf
13、 tnnnt 定义定义2(0,1) ,( ),XNYn X ,Y相互独立相互独立,设设t 分布的图形分布的图形( (红色红色的是标准正态分布的是标准正态分布) )n = = 1 1n= =2020-3-2-11230.10.20.30.4t 分布的性质分布的性质1f n(t)是偶函数是偶函数,2221)()(,tnettfn2T 分布的分布的上上 分位数分位数 t 与与双侧双侧 分位数分位数 t /2 均可查表得均可查表得.-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35n = 10 1P Tttt ?0.05P T t -t ?0.05P T ?(10)1.8125t 0
14、.05(10)1.8125t 1.81250.05P T 1.81250.05P T 1.8125?P T 0.950.95(10)1.8125t /2P Tt -3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t/2-t/20.025(10)t /2/2 2.22810.025P T 2.2281含义含义? 2.2281?P T 0.0250.05 2(10)(10)2.2281tt /2()2P Tt 0.05222(1)(1)nSn 22(1)nS 与与X相互独立相互独立(0,1)XNn 定理定理3 (服从服从t分布的统计量分布的统计量)21,( ,),iidnXXN
15、则则 (1)XTt nSn 证明证明22 (1)(1)1Xnt nnSn (1)Xt nSn 即即(0,1)XNn 比较比较:则则),(1),(1221211mNYmYnNXnXmjjnii)1 , 0()()(2221NmnYX),(2221mnNYX相互独立的简单随机样本相互独立的简单随机样本. .设设nXXX,21与与mYYY,21分别是来分别是来21( ,)XN 自正态总体自正态总体22(,)YN 与与的的P115定理定理6-4(两个正态总体两个正态总体 2同同, 不同不同)的推导的推导) 1() 1() 1() 1(22222221mSmnSn222221) 1() 1(SmSn)
16、2(2mnYX 与与222221) 1() 1(SmSn相互独立相互独立1222221222()()(1)(1)2XYnmnSmSnm 122212()()11(1)(1)2XYnSmSnmnm (2)t n m 四、四、 F 分布分布则称则称F服从为服从为第一自由度为第一自由度为n , ,第二自由度第二自由度为为m的的F 分布分布. . 2221210( , , )220,0nnn mn mnntttnmmmf t n mt 其密度函数为其密度函数为定义定义22( ),( ),Xn Ym X, Y 相互独立，相互独立，设设/XnFYm 令令1234560.20.40.60.81234560.
17、20.40.60.8m = 10, n = 4m = 10, n = 10m = 10, n = 15m = 4, n =10m = 10, n = 10m = 15, n = 10定理定理相互独立的简单随机样本相互独立的简单随机样本. .则则设设nXXX,21与与mYYY,21分别是来分别是来),(211NX自正态总体自正态总体),(222NY与与的的2222122212(1)(1)(1),(1)nSmSnm 22112222(1,1)SF nmS (3)21212222(1)1(1)1nSnmSm =F 分布的性质分布的性质1 ( , ),1/ ( , )FF n mFF m n 若若则则
18、1234560.10.20.30.40.50.6例如例如11( ,)( , )Fn mF m n 0.950.0511(5,4)(4,5)5.19FF 2( ,)( ,):( ,)F n mF n mP FF n m 的的上上 分分位位数数有有表表可可查查F (n,m) 0.05(4, 5)F 0.95(5,4)?F 若12, 则2122(1,1)SF nmS 5.191( ,)P FFn m 111( , )PFFnm 故故1( , )F m nF由由于于11111( , )PFFn m 11(, )( ,)F m nFn m 因因而而111( ,)PFFn m 例例1 1 证明证明11(
19、, )( , )Fn mF m n 证证的概率不小于的概率不小于90%,90%,则样本容量至少取多少则样本容量至少取多少? ?例例2 2设设(72 ,100)XN , ,为使样本均值大于为使样本均值大于7070解解 设样本容量为设样本容量为 n , , 则则)100,72(nNX故故)70(1)70(XPXPn1072701n2 . 0令令9 . 02 . 0n得得29. 12 . 0n即即6025.41n所以取所以取42n例例3 3 从正态总体),(2NX中，抽取了 n = 20的样本1220(,)X XX(1) 求22012276. 120137. 0iiXXP(2) 求22012276.
20、 120137. 0iiXP22021(19)iiXX 解解 (1)(2) 22021(20)iiX 20222110.371.7620iiPXX 故22017.435.2iiXXP 222020117.435.2iiiiXXXXPP 98. 001. 099. 0查表2(19) (2) 22021(20)iiX 22012276. 120137. 0iiXP故2 .354 . 72012iiXP2 .354 . 720122012iiiiXPXP97. 0025. 0995. 02(20) 例例4 4 设r.v. X 与Y 相互独立，X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2
21、, X9 与Y1, Y2 , Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本, 求统计量1292221216XXXZYYY所服从的分布.解解)169, 0(921NXXX)1, 0()(431921NXXX16, 2 , 1,)1 , 0(31iNYi)16(3122161iiY1292161134 (16)1316iiXXXtY2162221921YYYXXX从而 的样本的样本, ,26542321)()(XXXXXXY例例5 5 设总体设总体16(0,1),XNXX为总体为总体 X 试确定常数试确定常数 c , 使使 cY 服从服从2分布分布. .解解) 3 , 0 (, ) 3 , 0
22、(654321NXXXNXXX) 1 , 0 (31,31654321NXXXXXX265423213131XXXXXX故故因此因此1/3.c) 2(312Y例例7 7 设设12(,)nXXX 是来自是来自N ( , 2 )的的简单随机样本简单随机样本, , X是样本均值是样本均值, ,)(111221niiXXnS,)(11222niiXXnS,)(111223niiXnS,)(11224niiXnS则服从自由度为则服从自由度为n - 1的的t 分布的随机变量为分布的随机变量为1)A(1nSX1)B(2nSXnSX3)C(nSX4)D() 1 , 0(/NnX) 1()(12122nXXnii1)(1/122nXXnXnii) 1(ntniiXXXnn12)()( ) 1(故应选 (B)解解作业：作业：P11813(1)(2)(4)(5)(7)(8)15，16，17
