1、第3章 阶跃与渐变折射率光纤的波动理论分析 在第2章中运用光线理论与方法分析了阶跃光纤与渐变折射率光纤的传播规律与特性。但应指出，光线光学的分析研究方法是在 条件下的一种近似处理方法，具有一定的局限性:它只适用于阶跃多模光纤，对渐变折射率多模光纤则近似程度较差，而对单模光纤则完全不适用;尤其是无法进行多模光纤中的模式理论分析，获得有关模的概念。本章将运用波动理论即求解波动方程的方法，对阶跃多模光纤进行系统的模式理论分析。0这种分析方法不仅适用于阶跃多模光纤，而且适用于单模光纤。讨论中将首先从麦克斯韦、亥姆霍兹方程出发，导出圆柱坐标系的阶跃光纤(均匀波导)波动方程，进而在设定物理模型条件下，通过
2、对纤芯与包层物理约束条件的具体分析，利用边界条件求解波动方程，获得与各特定本征值相联系的本征方程，进而进行阶跃光纤中存在的各种模式及其截止条件的系统分析。这种严格的求解方法与过程称为矢量解法。通过这一典型实例的分析，理解波动分析方法的精髓与过程;在实际分析中，由于实用光通信等应用中的阶跃光纤，其芯与包层的折射率差很小(通常 )，即所谓“弱波导光纤”(weakly guiding fiber)，因而可做适当近似，从而使求解与分析大为简化。这就是标量近似解法，所得到的 模称为标量模。1 mLP 应该指出的是，在用波动理论分析阶跃光纤时，最重要也最基本的概念就是传导模或简称为“模”。所谓“模”乃是指
3、，在求解表征光纤中光波的波动方程时，对应于能满足边界条件的各本征传输常数(或称为“本征值”)的“本征解”所得到的波动电磁场分布状态;而光纤中的场解则是各模式场的叠加。 在对阶跃折射率光纤进行深人波动理论分析的基础上，本章还对渐变折射率光纤进行了简要的标量近似理论分析，建立了传输常数的本征方程，并给出了传输模式的计算公式。3.1.6单模光纤 20世纪80年代以后，随着光通信对高速率、远距离信息传输应用的迫切需求，阶跃光纤从短工作波长(0. 85 )的多模光纤，发展到尔后的长工作波长(1. 31 1. 55 )单模光纤。如今，单模光纤已成为所有实际光通信系统的最佳选择;此外，单模光纤在各种高灵敏度
4、光纤传感器以及各种激光放大器件中也有重要应用。单模光纤之所以在现今信息传输系统中处于主导地位，是由于单模光纤避免了多模光纤严重的本征性模间(多模)色散、模噪声以及传输中的其他效应，从而使单模光纤中信号传输的速度与容量远远高于多模光纤。mm 1.单模光纤的存在条件与设计曲线 单模光纤是在给定工作波长条件下，只能传输基模 (或标量模 )单一模式，而其他高阶模均截止的光纤。 根据前述对阶跃型多模光纤的模式分析，对给定的工作波长 ，通过恰当地设计选择阶跃光纤的物理结构参数(芯径2a，纤芯与包层折射率 , )，达到调整光纤的波导常数(归一化频率)V值，使之满足如下条件:11HE01LP1n2n22121
5、22022.405aaVnnn （3.173）从而实现光纤中只有基模 (标量模 模)单一模式传输，而邻近的高次模 模、 模、 模(标量模 模)均截止。因此称(3. 173)式为单模光纤的单模传输条件。但是由于V值选取的不同，将影响光纤芯、包层中所占的光功率比不同，如V=2. 405，芯、包功率比为0. 84 : 0. 16; V=1时，芯包功率比为0.3 : 0.7。即V值越小，转移到包层中的光功率越多。因而实际的单模光纤其归一化工作频率的选择一般在2.02. 35。对满足弱波导条件的(3. 173)式稍加变形，可以得到如下单模光纤的设计方程:11HE01LP01TE01TM21HE11LP1
6、8.886anV（3.174）则在满足(3. 173)式条件下，根据(3. 174)式，可以画出调控光纤相对折射率差与芯径a之间关系的单模光纤设计曲线，如图3. 20所示。 例如，要求设计满足如下要求的单模光纤:V=2. 25, =1.3 , =1. 450。则根据(3. 174)式可以画出图示的单模光纤设计曲线。当调整= 0. 002时，则相应的芯半径a 5 ;若调整=0. 003，则芯半径为a 4.2 。m1nmm将(3. 173)式变换，可以导出特定波长 条件下单模光纤最大芯径 的限制条件:mD22122.4052mmDann（3.175）上式表明，阶跃光纤必须芯径足够小，才能实现基模单
7、一模式的传输。 在单模光纤的设计中，需要重点考虑的因索是光纤芯径。为了避免由于制造误差而导致光纤中传输模式的偏差，确保单模传输，通常单模光纤芯径的设计值要比由(3. 175 )式决定的最大芯径极限值 要小一些；mD但是，芯径过小对与光源祸合及光纤之间的连接祸合不利。另外，相对折射率差小对实现单模传输条件有利，但过小对制造工艺的严格控制带来困难。实际单模光纤的设计要在各相互制约因索中找到总体有利的平衡方案。一般单模光纤设计中，选取相对折射率差比0.5%略小，最广泛使用的值为0.36%，完全低于一般所说弱波导条件的1%;理论上纤芯直径的取值范围为2a=410 ，即为所传输波长的数倍。m图图3. 2
8、0单模光纤的设计曲线单模光纤的设计曲线11HE实际应用于1. 31 和1. 55 两种工作波长电信系统中的单模光纤，其纤芯直径一般为8 9 ;单模光纤包层结构的设计，应保证在光纤包层的外径处，包层中渐逝场的能量趋于零。一般包层外直径标准125 ，内包层直径为10100 ，视具体结构类型而异。mmmmm2.单模光纤的主要特征参数(1)截止波长 所谓截止波长，一般系指纤芯中 模(或精确模 、 、 模)截止，而只存在 模(精确模为 基模)时的临界波长 。11LP01TE01TM21HE01LPc由(3. 173)式，要求保持单模工作条件应为221212222.405aaVnnn 因而要求相应的工作波
9、长221212222.4052.405a nnan由此得到截止波长 为c221212222.4052.405ca nnan（3.176）11LP光纤在使用中应注意，选用光源的工作波长 必须大于光纤设计所决定的截止波长 。c若不满足截止波长的条件，则单模光纤可能变为传输多模。例如，某阶跃折射率光纤其芯径2a=9 ，芯折射率 =1. 46，相对折射率差=0.25%。若按 模截止的归一化截止频率 =2. 405，则可计算得到截止波长 =1. 21 。因此当该光纤通信系统选用光源的工作波长为1. 31 或1. 55 时，该光纤处于单模工作状态;但若使用光源的工作波长为0.85 ，则该光纤可能出现两个模
10、式( , )，处于多模工作状态，从而失去单模特征。m1ncVcmmmm01LP11LP因为这种额外增加的模式，可能会干扰基模并相互影响，从而引起系统性能下降。普通阶跃折射率单模光纤(例如工程中最常用的G652单模光纤)通常工作于1. 31 波段，对其截止波长范围，按ITU-T的G652建议，规定为 。m1.101.28cmm (2)模场直径 对阶跃多模光纤与单模光纤的研究均表明，光在纤芯与包层界面发生全反射时，尚有少部分光能量渗人到包层中，这些溢出的光能量会在包层中的某一个深度处反射回纤芯，即可视为芯中电磁场在径向有延伸。这种情况在单模光纤中更为明显，即模场直径比纤芯直径略大。因此，实际上通常
11、用“模场直径”来表示单模光纤的特征，它是单模光纤的一个重要参量。图3. 21给出了单模光纤模场直径的示意图。 对阶跃折射率单模光纤，如工作波长 距截止波长 不太远，则基模场强在光纤横截面上的分布可以近似视为高斯分布，如图3. 22所示。它表明，光纤传输单模时，光纤轴上的光强度最大，并向包层递减。c若设纤芯中央的幅值与场强为峰值强度，则可定义“模场直径”为:当模场的幅值下降到峰值的1/e(即0. 37)、相应的光强度下降到模场峰值强度的 (即0.135)时，纤芯场分布曲线对应两点之间的宽度(2 )为“模场直径”，并以MFD表示。模场直径2 。亦被确认为单模光纤的光斑尺寸。目前，国际市场上已将MF
12、D作为单模光纤商品的一个重要指标列出。21 e0a0a图图3. 21单模光纤的模场直径单模光纤的模场直径图图3. 22单模光纤中的基模场分布单模光纤中的基模场分布(MFD是模场直径是模场直径) 模场直径与波长有关，随波长的增加而增大。阶跃折射率单模光纤的模场直径通常比芯径大10%15%。例如一种使用较广泛的单模光纤的芯径为8. 2 ，它在1 310 nm处的模场直径为9. 2 ，数值孔径为0.14;而在1 550 nm处的模场直径则为10. 4 。 (3)衰减系数 单模光纤的衰减系数在1. 31 处约为0.35 dB/km，而在1.55 处降至0.2dB/km以下。mmmmm3.单模光纤的折射
13、率分布与结构类型 理论上单模光纤的折射率分布为简单阶跃型，实际上为改善单模光纤的性能及制造的合理，单模光纤的折射率分布常为多层结构，其剖面类型有多种。图3. 23所示为常规型单模光纤的两种结构。为了降低光纤内基模的损耗，获得芯半径较大的单模光纤，通常在纤芯外加一层高纯度、低损耗的内包层，其折射率为n2;内包层之外是外包层，其折射率为n3。内外包层共同构成双包层结构，外包层折射率可能高于也可能低于内包层。常规型单模光纤的零色散波长在1310 nm附(13001322nm)在该波长上有较低的损耗和很大的带宽;但在1 550 nm处有一较高的正色散值。ITU-T建议的6652光纤即属常规型单模光纤，
14、是旱期大量敷设的实用化光纤。在常规的单模光纤中，标准阶跃型单模光纤的包层为纯石英，纤芯掺锗(GEO2)用以提高折射率n1;图3.23(a)为上凸形双包层结构，其内包层折射率n2大于外包层折射率n3,损耗略大;图3.23(b)为下凹形双包层结构，其内包层掺氟，内外包层折射率差为负值，因而纤芯掺较少的锗即可获得较大的折射率差，从而获得较小的损耗、较大的芯径与较好的性能。虽然常规型的阶跃折射率单模光纤在1. 31 m波长处有最小色散值(即零色散)，这是由于单模光纤的材料色散与波导色散在该波长附近恰相抵消，如图3. 22所示 图图 3.23 几种单模光纤折射率分布结构几种单模光纤折射率分布结构但是其性
15、能并不理想。这是因为，虽然最小色散值在1. 31 m波长处，但最小衰减值却在1. 55 m波长处;且性能最好的光放大器如掺饵光纤放大器，其工作波长范围也是1.531.61 m，但这一波段单模光纤的光谱色散值却非常大。为此人们考虑设计纤芯包层更为复杂的结构，以调整波导色散，使最低色散点移至1. 55 m波段。围绕着调整色散先后出现了一些优化的单模光纤结构，如零色散位移光纤(G. 653光纤)、非零色散位移光纤NZDSF(G. 655光纤)、小色散斜率光纤RDSF、大有效面积NZ-DSF光纤以及色散补偿光纤等，具体内容将在第5章展开。总之，单模光纤由于基本上消除了模式色散，又可以在适当波段以波导色
16、散抵消材料色散，从而获得最小色散值，因而有相当大的带宽。单模光纤的另外一个十分重要的特性即偏振特性，亦将在第生章光纤特性中介绍。图图3.24 常规最小色散单模光纤的构成原理图常规最小色散单模光纤的构成原理图3. 2渐变折射率光纤的标量近似理论分析作为非均匀光波导的渐变折射率光纤，其光线光学的分析方法相对较简单且实用，内容已如第2章第2节所述，其波动光学的求解过程则相当复杂。渐变折射率光纤的矢量理论分析(如微扰法、数值积分法、多层分割法等)虽然严密，但用它来求解光波场十分困难。为此，需采用求解标量波动方程的近似方法，诸如WKBJ法、变分法、级数展开法、多层分割法等。其中，WKBJ法是Wentze
17、l,Kramers,Brillouin,Jeffregs等提出的一种应用量子力学解薛定愕方程的求解标量波动方程近似方法。它的优点是适合于求解渐变折射率多模光纤的传导模问题，并可提供对传导模的深人理解，便于理解其与物理图像的对应关系。它不限于平方律分布，且能得出较简单有用的计算公式。其缺点是，对低次模和邻近截止的模式计算不准。3. 2.1渐变折射率光纤的折射率分布 渐变折射率光纤的折射率分布规律可以用幂函数表示。从有利于最佳设计考虑，一般采用如下折射率与:。成比例的表示形式，通常称为a次方分布光纤。对于不同的值纤芯的折射率分布如图3. 25所示。这种方法适用于能承载多个模式的渐变折射率多模光纤，
18、且对折射率分布在与光波长可比拟的距离内变化非常微小的光纤具有较高的精确度。)()(21 )()(21222ararnarnrn式中，为纤芯轴上与包层的相对折射率差，为幂指数，也是折射率分布函数曲线的形状参量。若 表示阶跃折射率光纤; 表示抛物线分布(平方律分布)型渐变折射率光纤; =1表示三角形分布渐变折射率光纤。此外，图中还画出了 a=4 ,10的渐变折射率分布光纤。上述讨论表明，这种表示方法十分灵活、实用。但就渐变折射率多模光纤而言，在通信系统中较广泛使用的是平方律与双曲正割分布的渐变折射率光纤。在以下讨论渐变折射率光纤的标量分析方法中，亦是以平方律分布为代表进行分析。图图3. 25 a次
19、方分布多模光纤的折射率分布次方分布多模光纤的折射率分布3. 2.2渐变折射率多模光纤的标量近似分析 1. WKBJ分析法在本章3. 1节曾得到以符号形式表示的标量波动方程(3. 55)式:0)(11222222krrrr对平方律分布的渐变折射率光纤，可以给出波动理论的标量近似解。在弱波导近似（ 1 ）和弱梯度近似( 充分小)条件下，渐变折射率光纤中LP模的概念依然有效。假定LP模为二方向偏振光的导波模，在弱波导近似条件下，电场与磁场/近似处于横截面内变化，因而可仅考虑电场的三分量，这种只考虑横向电场(或磁场)的近似称为TEM波近似，可以写出其圆柱坐标的波动方程形式为0)(1122202222x
20、xxxErnkErrErrE（3.178）)()(),(rRrEx（3.179）利用变量分离法，设0)cos()(0n其中 方向的解可以简单表示为式中n为LP模 方向的模阶数， 为初始常数。半径r方向的变量R (r)的方程可以表示为:0)()()(1)(22222022rRrnrnkrrRrrrR对于渐变折射率分布n(r)，求解上述方程是十分困难的，为使微分方程进一步简化，可采取变量置换，令3.1813.1803.182)()()(1)(rRrrFrFrrR或0)()()(22rFrUEdrrFd3.1860)(41)()(22222022rFrnrnkdrrFd（3.183）在上式中，若令2
21、2120)(rnkE2222021204/1)()(rnrnknkrU式中，n,为纤芯中心部分的折射率，式中出现的 项只是为了使它们能同以后的讨论形式一致而附加上去的。这样(3. 183)式即可改写为 在U(r)0的r范围内，即r1与r2之间，F(r)成为对于r的振荡函数，即为振荡解; 在U(r)E即E-U(r)0的r范围，即r1与r2范围外，F(r)成为对r做指数变化的函数即为衰减解。图3.26 WKBJ法的分析说明 设渐变折射率光纤按平方律分布，函数U(r)如图3.26(a)、(b)、(c)三者的上半部所示，E值是随各个模的传播常数R值而有所不同常数值。若将E值叠加在U(r)的图上，则可根
22、据U(r)与E的大小关系，区分为图3.26(a),(b),(c)三种情况。其中，与上半图分别对应的方程解F(r)的函数曲线的大致规律，如图中下半部所示。可以看出，上半部图中绘有斜线的阴影区范围内出现振荡解，且根据(3. 186)式可推断出，斜线区越深振荡解的空间频率也越高。采用量子力学的类比方法，可以给出渐变折射率光纤中三种模形成的物理分析。 图3.26 (a)表示传导模。其参数E值范围为0EE，因而电磁场按指数函数衰减，使电磁场能量被封闭在纤芯内沿Z方向传输。这种电磁场状态即被称为“传导模”。 图3.26(b)表示泄漏模。其参数E值的范围为E U() 对应于传输常数范围k0n2k0n1 此时
23、，包层内电磁场成为振荡解。这意味着包层中存在着传输方向向外溢出的电磁波能流，导致沿Z轴方向传输。2.渐变折射率光纤传播常数的本征方程利用WKBJ法求解(3. 186)式，可以采用根据驻波场对场的相位变化要求确定本征值的简化方法。最终可以得到传输常数R必须满足的如下本征方程式:),(n)(n1, 1n), 3 , 2 , 1()21(41)()(2/12222202/12121 drrnrnkdrrUErrnrr(3.187)上式即为决定第 模的传输常数 的本征方程式，也是WKBJ法所得到的基本公对于传输模数在数百以上的渐变折射率多模光纤，可以视为整阶数 此时，低次模的影响可视为不大。因而，(3
24、.187)式可以取近似写为drrnrnknrnrn2/1)()(22222021)(3.188)上式即为任意折射率分布的渐变多模光纤的近似普遍化本征方程。式中n为辐角 方向的模阶数，亦即表示旋转方向的模序号;根序号产乃是沿半径方向的模阶数，它表征纤芯中沿半径方向出现的电磁场变化(峰、谷)周期数。 注意，此时积分的上、下限均为整阶数n的函数。利用上式研究对传输模数为数百以上的多模光纤，其影响不大。3.渐变折射率光纤中传输模式数量的计算 利用上式可以计算出渐变折射率多模光纤中传输的总模数N为：22)22(212)(2221022120VnaaaankN(3.189)(3.191)当时， 对应于阶跃
25、折射率光纤，则可得到其传输模式的数量为2222120VankN422VN上述结果与阶跃光纤一章中的分析结果是一致的。若 =2，即对平方律分布渐变折射率光纤，其模式数量为若 =1，即对三角形分布的渐变光纤其模式数量621VN(3.190)(3.192) 从上述分析还可看出，各类光纤中传输模式的数量最根本是由光纤的归一化频率v所决定的。 以上为对渐变折射率多模光纤简要初步的波动理论分析，关于渐变折射率光纤更详细的波动理论分析，本书从略。 阶跃光纤最旱产生于20世纪70年代，由于发现多模色散会限制大芯径阶跃光纤的容量，而单模光纤虽然具有更大的容量，但在旱期人们曾担心能否将更多的光能量祸合到直径很细的
26、单模光纤中。因此，作为一种折中的选择，20世纪70年代末人们研制了渐变折射率多模光纤。通过精确控制径向折射率梯度，可以基本消除直径达数十微米的光纤模式色散，从而使光纤容量大为增加。渐变折射率光纤的出现，主要是为通信需要而研制的。标准的渐变折射率光纤其芯径为50m或62.5m,包层直径为125 um。由于芯径大，因而可有效地收集光能量;包层至少要有20m厚，以防止发生光泄漏。渐变折射率光纤直到20世纪80年代中期才广泛用于电信领域，主要用在中等距离的数据通信和网络设施中传输信号，传输距离通常为几千米。由于渐变折射率光纤并不能消除模式色散之外的其他色散;不同模式间会产生相互干扰，即模噪声;另外，理想的折射率分布实际上很难实现，整个制造工艺流程必须精确控制且成本昂贵。因而，渐变折射率多模光纤的使用受到局限。但是，上述制约因索并不影响渐变光纤用于短距离通信系统，只要色散的累积没有达到限制数据率的程度，则即便高速通信系统也仍然可以使用;另外，渐变折射率光纤在自聚焦透镜等微型光学领域也有广泛应用。但是，随着应用需求与技术的快速发展，毕竟单模光纤已经成为光纤通信系统，特别是长距离、高性能光纤通信系统的主流和标准选择。
