1、一、直角坐标系中的平面图形的面积一、直角坐标系中的平面图形的面积第六章定积分的应用第六章定积分的应用第二节平面图形的面积第二节平面图形的面积二、极坐标系中平面图形的面积二、极坐标系中平面图形的面积一、直角坐标系中的平面图形的面积一、直角坐标系中的平面图形的面积如果如果 f (x) 在在 a, b 上有正有负，上有正有负， 那么它的面积那么它的面积 A 的微元应是以的微元应是以 | f (x) | 为高，为高，dx 为底的矩形面积，为底的矩形面积，dA= | f (x) |dx .于是，总有于是，总有.d| )(|xxfAba xyf (x)aOx+ +dxAdxb即即例例 1求由曲线求由曲线
2、y = x3 与直线与直线 x = = - - 1，x = = 2 及及 x 轴所围成的平面图形的面积轴所围成的平面图形的面积解解由上述公式得由上述公式得xxAd|213 .417dd)(203013 xxxx也可以先画出也可以先画出 y = x3 与直线与直线 x = = - - 1， x = = 2 及及 x 轴所围成的平轴所围成的平面图形，如图所示，面图形，如图所示，.417dd203013 xxxxA就不必用公式了就不必用公式了.y = x3yx2O- -1则由定积分的几何意义则由定积分的几何意义知知由两条曲线由两条曲线 y = f (x)、 y = g (x) 与两条直与两条直线线
3、x = a， x = b 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积.d | )()(|xxgxfAba yxabOxy = f (x)x+ +dxy = g(x)Ad例例 2求求 y = sinx， y = = cos x，解解由上述公式知由上述公式知2, 0 xx所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积.d |cossin|20 xxxA xxxd )cos(sin40 xxxd )cos(sin24 2440sincossincos xxxx).12(2 也可以先也可以先作出该平面图作出该平面图形的草图，形的草图，xxxAd )sin(cos40 .d )cos(sin24xxx
4、如图，如图，就不必用公式了就不必用公式了.则直接可得则直接可得).12(2 y = = cos xxOy = sinx421y例例 3求出抛物线求出抛物线 y2 = 2x 与直线与直线 y = x 4 所所围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积.解解作草图，如图，作草图，如图， 求抛物线与直线的交点，求抛物线与直线的交点，即解方程组即解方程组 , 4,22xyxy得交点得交点 A (2, - - 2) 和和 B (8, 4).xAB- -2 4yy = x- -4y2 = 2x(8,4)(2,- -2),d2) 4(d)(d212yyyyxxA 于是于是 422d2)4(yyyA如果选择如果
5、选择 x 为积分变量，为积分变量， 那么它的表达式就比上式复杂那么它的表达式就比上式复杂.如果选择如果选择 y 作积分变量，作积分变量，y - 2, 4 ，.18 xyAB(8,4)(2,- -2)- -24yy = x- -4y2 = 2xy + + dy 任取一个任取一个子区间子区间 y, y + + dy - 2, 4 ， 则在则在 y, y + + dy 上上的面积微元是的面积微元是例例 4求椭圆求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，的面积，其中其中 a 0，b 0.解解因为图形关于因为图形关于 x 轴、轴、y 轴对称，轴对称， 所以椭圆面积是它在第所以椭圆面
6、积是它在第一象限部分的面积的四倍，一象限部分的面积的四倍，.d40 axyA把把 x = a cos t，y = b sin t代入上述积分式中，代入上述积分式中，上、下限也要相应地变换上、下限也要相应地变换 ( (满足满足积分变量积分变量 t ) ). 由定积由定积分的换元公式得分的换元公式得 axyA0d4ttatbd )sin(sin402 ttabdsin402 .ab 即即xy12222 byaxO二、极坐标系中平面图形的面积二、极坐标系中平面图形的面积由曲线由曲线 r = = r( ) 及两条半直线及两条半直线 = = a a， = = b b ( (a a 0) . 解解作出它的
7、草图作出它的草图. 02d)cos1( aA 022d)coscos21( a 02d2cos21cos223 a.232sin41sin223202aa r = x( (1 + cos ) )2axO得得 由上述公式，再利用图形的由上述公式，再利用图形的对称性，对称性，例例 6求由两条曲线求由两条曲线 r = 3cos 和和 r = 1+ + cos 所所围成的公共部分的面积围成的公共部分的面积.解解作出它的草图，作出它的草图， 3,23 3,23 ,cos1,cos3 rr得两曲线的交点得两曲线的交点,3,23 .3,23 考虑到图形的对称考虑到图形的对称性，得面积性，得面积再求两条曲线的交点，再求两条曲线的交点，解方程组解方程组O 2x cos3 r3 cos3 r 302d)cos1(212 A 232302d cos9d)coscos21( 23302sin49292sin41sin223 .45 232d)cos3(212
