1、 建立系统的数学模型建立系统的数学模型 已知激励，在已知激励，在时域时域直接求解系统响应直接求解系统响应系统的时域分析系统的时域分析: :根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感
2、的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。连续时间系统数学模型的建立连续时间系统数学模型的建立 电阻电阻 tvRtiR1 电感电感 d1 tLvLti电容电容 ttvCtiCdd 根据根据KCL titititiCLRS 代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。 tisRRiLLiCciab tv求并联电路的端电压求并联电路的端电压
3、与激励与激励 间的关系。间的关系。 tv tis例msFf机械位移系统，质量为机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧的刚体一端由弹簧 tv牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为擦力为 ，外加牵引力为，外加牵引力为 ，其外加牵引力，其外加牵引力 与与刚体运动速度刚体运动速度 间的关系可以推导出为间的关系可以推导出为 tFSf tFS ttFtkvttvfttvmddddddS22 k例例这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。离散时间系统数学模型的建立离散时间系统数学模型的建立 由实际问题直接得到
4、差分方程由实际问题直接得到差分方程例例 y y( (n n) )表示一个国家在第表示一个国家在第n n年的人口数年的人口数, ,a a( (常数常数) )：出：出 生率生率, ,b b( (常数常数): ): 死亡率死亡率, ,设设x x( (n n) )是国外移民的净增是国外移民的净增 数数, ,则该国在第则该国在第n n+1+1年的人口总数为：年的人口总数为：y(n+1)-(a-b+1)y(n)=x(n)离散时间系离散时间系统的统的差分方程差分方程离散时间系统数学模型的建立离散时间系统数学模型的建立 例例 设设xkxk 是混有噪声的观测值，作为系统的输入信号，是混有噪声的观测值，作为系统的
5、输入信号，采用滑动平均系统对信号进行滤波降噪处理，采用滑动平均系统对信号进行滤波降噪处理，ykyk 是经是经过系统处理后的输出。过系统处理后的输出。M1M1M2M21 1点滑动平均系统的输点滑动平均系统的输入和输出的关系为：入和输出的关系为：21121 1MnMy kx knMM 连续LTI系统用n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程描述( )(1)110( )(1)110 ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) t0nnnmmmmytayta y ta y tb xtbxtbx tb x tai 、 bj为常数。为常数。激励：激励：x(tx(t) )响应：响应：y(ty(t
6、) )系统系统 11011 11 11nnmmy ka y kay kna y knb x kb x kbx kmb x km 离散LTI系统用n阶阶常系数线性差分方程常系数线性差分方程描述00jkxbikyajmjiniai 、 bj为常数。为常数。00nmijija y kib x kj前向差分方程前向差分方程 由于由于LTI系统系统具有具有线性特性线性特性和和非时变特性非时变特性，因此具有，因此具有:1）微分特性或差分特性：）微分特性或差分特性：若 y(t) = T x(t)则d ( )d ( )ddy tx tTtt若 yk = Txk则 yk - yk-1 = T xk -xk-12
7、）积分特性或求和特性：）积分特性或求和特性：若 y(t)= Tx(t)则( )d( )d ttyTx若 Txk= yk则 kknny nTx n n证明证明LTI系统的微分特性系统的微分特性0d ( )()( )limdx tx tx tTTt 若 y(t) = T x(t)则d ( )d ( )ddy tx tTtt证明：证明：0 () ( )limT x tT x t0()( )( )limy ty tdy tdt 线性性质线性性质时不变性质时不变性质 例例 已知LTI系统在x1(t)激励下产生的响应为y1(t) ，试求系统在x2(t)激励下产生的响应 y2(t) 。从x1(t)和x2(t
8、)图形可以看得出，x2(t)与x1(t)存在以下关系 d)() 1()(11)1(12xtxtxt根据线性非时变线性非时变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系 d)()(11 2ytyt) 1()e1 (5 . 0)1(2tut 微分方程的全解由齐次解齐次解yh(t)和特解特解yp(t)组成)()()(phtytyty 齐次解齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定 特解特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定微分方程的全解即微分方程的全解即系统的完全响应系统的完全响应 例例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x
9、(t)=et u(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)( 6)(ttxtytyty0862 ss4221ss，ttKKty3221hee)(特征根特征根为齐次解齐次解yh(t)解解: (1) 求齐次方程齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解齐次解yh(t)特征方程特征方程为t0已知系统，已知激励，已知系统的初始状态，求响应已知系统，已知激励，已知系统的初始状态，求响应 例例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=et u(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)( 6)(ttxtytyty解解
10、: (2) 求非非齐次方程齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = x(t)的特解特解yp(t)由输入输入x(t)的形式，设方程的特解特解为yp(t) = Cet将特解特解代入原微分方程即可求得常数C=1/3。t0 例例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=et u(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)( 6)(ttxtytyty解解: (3) 求方程的全解解得 A=5/2，B= 11/6tttBAtytytye31ee)()()(42ph131)0(BAy23142)0( BAy245111( )eee ,02
11、63ttty tt1) 若初始条件不变，输入信号x(t) = sin t u(t)，则系统的完全响应 y(t) = ？2) 若输入信号不变，初始条件 y(0) = 0, y (0) = 1, 则系统的完全响应 y(t) = ？ 若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。求解微分方程求解微分方程系统完全响应系统完全响应 = 零输入响应零输入响应 + 零状态响应零状态响应)()()(zszitytyty)(*)()(zithtxty定义：系统的零输入响应定义：系统
12、的零输入响应是输入信号为零，仅由系是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。统的初始状态单独作用而产生的输出响应。0)()( )()( 01)1(1)(tyatyatyatynnn 数学模型: 求解方法： 根据微分方程的特征根特征根确定零输入响应零输入响应的形式：齐次解 再由初始状态初始状态确定待定系数,从而求解。( )(0 ),(0 ),(0 ),0,1,1kyyykn 初始状态:系统的三个状态：0 0时刻：定义激励加进去的时刻为时刻：定义激励加进去的时刻为0 0时刻。时刻。0 0状态：激励未加入之前的状态。状态：激励未加入之前的状态。0 0状态：激励加入之后刚开始的状态。
13、状态：激励加入之后刚开始的状态。O 0 0t微分方程的解微分方程的解y(t)的的t域空间：域空间：0t 齐次解齐次解yh(t)的形式的形式(1) (1) 特征根是不等实根特征根是不等实根 s1, s2, , sntsntstsnKKKtyeee)(2121h(2) (2) 特征根是等实根特征根是等实根 s1=s2=sn =stsnntststKtKKty 1 2 1heee)(3) (3) 特征根是成对共轭复根特征根是成对共轭复根)sincos(e)sin cos(e)(11211h1tKtKtKtKtyinintti2/,jnisiii解解: : 系统零输入响应满足的方程系统零输入响应满足的
14、方程 例例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:y (t)+5y (t) +6y (t) =4x(t), t0 系统的初始状态为y(0) = 1，y (0) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。0652 ss3221ss，ttKKty3221ziee)(0,e5e6)(32zittytt系统的特征根为 y(0)=yzi(0)=K1+K2=1 y (0)= yzi(0)= 2K13K2 =3解得 K1= 6，K2= 5系统的特征方程为y (t)+5y (t) +6y (t) =0齐次解为 例例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y (t)+4y (t) +4y (t) = 3x(t),
15、t0 系统的初始状态为y(0) = 2，y(0) = 1，求系统的零输入响应yzi(t)。解解: 系统的特征方程为0442 ss221 sstttKKty2221ziee)(0,e3e2)(22zitttytt系统的特征根为（两相等实根） y(0)=yzi(0)=K1=1;y(0)= y zi(0)= 2K1+K2 =3 解得 K1 = 2, K2= 3 例例 已知某线性时不变系统的动态方程式为： y (t)+2y (t) +5y (t) = 4x(t), t0 系统的初始状态为y(0) = 1，y(0) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。解解: 系统的特征方程为系统的特征根为0522
16、ssj21j2121ss，)2sin2cose)(21zitKtKtyt（y(0)=yzi(0)=K1=1y (0)= y zi(0)= K1+2K2 =3解得 K1= 1，K2= 20),2sin22(cose)(zittttyt系统的零状态响应求解系统的零状态响应系统的零状态响应yzs (t)方法： 1) 直接求解直接求解初始状态为零的微分方程。初始状态为零的微分方程。 2) 卷积法：卷积法：利用信号分解和线性非时变系统的特性求解。利用信号分解和线性非时变系统的特性求解。定义：当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励x(t)产生的响应称为系统的零状态响应系统的零状态响应，用yzs(t)表示
17、。( )(1)110()(1)110 ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) t0nnnmmmmytayta y ta y tb xtbxtb x tb x t系统在初始状态为零的条件下，以冲激冲激信号信号d(t)激励系统所产生的输出响应，称为系统的冲激响应，以符号h(t)表示。系统的零状态响应（卷积法）H td d th卷积法求解卷积法求解系统零状态响应系统零状态响应yzs (t)推导推导dd)()()(txtx)()(thtd)()(dtht)()()()(dthxtx由非时变特性由均匀特性由积分特性dd)()()(txtxd)()( )(zsthxty)()(d)()()(
18、zsthtxthxtyH td d th卷积法求解卷积法求解系统零状态响应系统零状态响应yzs (t)的思路的思路1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合2) 求出单位冲激信号单位冲激信号作用在初始状态为零的系统上的响应 冲激响应冲激响应3) 利用线性非时变系统线性非时变系统的特性，即可求出任意信号x(t)激励下系统的零状态响应零状态响应yzs (t) 。 例例 已知某LTI系统的动态方程式为：y(t) + 3y(t) = 2x(t) 系统的冲激响应 h(t) = 2e3t u(t), x(t) = 3u(t), 试求系统的零状态响应yzs(t)。d)()()()()(zsthxthtxt
19、yd)(e2)(3=)(3tuut 0 00 d2e3=0)3(tttt 0 00 ) e1 (2=3ttt)() e12(=3tut冲激响应h(t)的求法( )(1)110()(1)110 ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) t0nnnmmmmhtahta h ta h tbtbtbtbtdddd1. 1. 冲激响应满足的方程冲激响应满足的方程( )(1)110()(1)110 ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) t0nnnmmmmytayta y ta y tb xtbxtb x tb x t令令 x(t)=d d(t) 则则y(t)=h(t)2. 2.
20、冲激响应时系统的初始状态冲激响应时系统的初始状态( )(0 )0(0,1,1)ihin冲激响应h(t)的求法(2) 由于t 0+后, 方程右端为零, 故 nm时h(t)为齐次解 )()e()(1tuKthnitsii (3) 将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定系数Ki( )(1)110()(1)110 ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) t0nnnmmmmhtahta h ta h tbtbtbtbtdddd(1) 写出系统满足的方程0),(2)(3d)(dttxtytty解解： 当x(t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即)(2)(3d)(dtthtth
21、d动态方程式的特征根s = 3, 且nm, 故h(t)的形式为)(e)( 3tuAtht)(2)( e3+ )( edd33ttuAtuAtttd两边平衡解得A=2)(e2)( 3tutht 例例 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应冲激响应。代入：(2) n m 时, 为使方程两边平衡, h(t)应含有冲激及其高阶导数，即)()()e()()(01tAtuKthjjnmjnitsiid( )(1)110()(1)110 ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) t0nnnmmmmhtahta h ta h tbtbtbtbtdddd冲激响应冲激响应h(t)的求法的
22、求法 (3) 将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定 系数Ki，Aj(1) 写出系统满足的方程 例例 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。0),( 3)(2)(6d)(dttxtxtytty解解： 当x(t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即)( 3)(2)(6d)(dttthtthdd动态方程式的特征根s = 6, 且n=m, 故h(t)的形式为)()(e)( 6tBtuAthtd解得A= 16, B =3)( 3)(2)()( e6+ )()( edd66tttBtuAtBtuAtttdddd)(e16)(3)( 6tutthtd)()()e()()(01tAtuKthjjnmjnitsiid1) 由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式。2) 由动态方程右边d (t)的最高阶导数与方程 左边h(t)的最高阶导数确定d (j)(t)项。
