1、6.2.4向量的数量积一、教学目标 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功2.掌握向量数量积的定义及投影向量3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式二、教学重点 平面向量的数量积教学难点 投影向量的概念三、教学过程1、情境引入前面我们学习了向量的加、减运算类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？问题1：如图小车在力F的作用下移动了一段位移是S，力和位移的夹角为，从物理的角度来看力F所作的功为，如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表
2、述？答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；数量积是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积2、探索新知1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB (0) 叫做向量a与b的夹角(如图所示)当0时，a与b同向；当时，a与b反向2.垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作ab3.向量数量积的定义：非零向量a，b的夹角为，数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos 规定：零向量与任一向量的数量积等于0问题2：若a0，且ab0，是否能推出b0答案在实数中，若a0，且ab0，则b0；但是在数量积中，若a0，且ab0，不能推出
3、b0.因为其中a有可能垂直于b注意：两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积零向量与任一向量的数量积为0，即a0=0符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替当02时，cos0，从而ab0 当2时，cos0，从而ab0【例1】已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=23，求ab解：ab=|a|b|cos=54cos23 =54(-12)=-10【例2】设|a|=12，|b|=9，ab=，求a与 b的夹角q解：由ab=|a|b|cos得cos= 因为0， ，所以=方法规律：求平面向量数量积的方法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角
4、，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.4.投影：设a、b是两个非零向量，（如图）在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b过点A作直线OB的垂线，垂足为A1，我们把OA1叫做向量a在b上的投影（projection）, A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量问题3：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为， OA1与e，a，之间的关系答： (1)当为锐角时，与e方向相同，所以(2)当为直角时，=0，所以 (3)当为钝角时，与e方向相反，所以 即特别地， 当=0时，=|a|，所以 当=时，=-|a|，所以 问题4：根据数量积的概念，数量积有哪些性质？5.平面向量数
5、量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则 (1) ae= ea =|a|cos (2) ab ab=0 (3) 当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b| 特别地，aa=|a|2或|a|= (4) |ab|a|b| （由|cos|1得到）与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究一下数量积运算是否满足一些运算律问题5：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？6. 平面向量数量积的运算律： 对于向量a，b，c和实数，有 ab= ba (a)b=(ab)= a(b) (a+b)
6、c=ac + bc（与学生一起）证明向量的分配律： (a+b)c=ac + bc证明：如图，任取一点O，作 =a，=b，=c，=a+b设a，b，a+b与c的夹角分别为q1，q2，q，它们在c上的投影分别为，与c方向相同的单位向量为e，则=|a|cosq1 e=|b| cosq2 e=|a+b|cos e因为a=，所以，则即 |a+b|cos e =|a|cosq1 e +|b| cosq2 e|a+b|c| cos=|a|c| cosq1+|b|c| cosq2因此(a+b)c=ac + bc问题6：设a，b，c是向量，(ab)c=a(bc)一定成立吗？为什么？答：对于实数a，b，c，有(ab
7、)c=a(bc)；但对于向量a，b，c，(ab)c=a(bc)不一定成立因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线所以(ab)c=a(bc)不一定成立【例3】我们知道，对任意a，bR，恒有(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)(a-b)=a2-b2对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？ （1）(a+b)2=a2+2ab+b2（2）(a+b)(a-b)=a2-b2解：（1）(a+b)2 （2）(a+b)(a-b) =(a+b)(a+b) =aa-ab+ba-bb =aa+ab+ba+bb =a2-b2 =a2+2ab+b2【例4】已知|
8、a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60，求(a+2b)(a-3b) 解：(a+2b)(a-3b) =aa-3ab+2ba-6bb =|a|2-ab-6|b|2 =|a|2-|a|b|cosq-6|b|2 =62-64cos60-642 =-72【例5】已知非零向量a，b满足|a|1，且(ab)(ab)求|b|当ab时，求向量a与a2b的夹角的值解：因为(ab)(ab)，即a2b2即|a|2|b|2所以|b|2|a|21，故|b|因为|a2b|2|a|24ab|2b|21111，故|a2b|1又因为a(a2b)|a|22ab1所以cos 又0，故【例6】已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共
9、线当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？解：a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是(a+kb)(a-kb)=0 即a2-k2b2=0 因为 a2=32=9，b2=42=16，所以 9-16k2=0 因此 k= 即当k=时，a+kb与a-kb互相垂直 方法规律：(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2|a|2，即|a|，勿忘记开方(2)求向量的夹角，主要是利用公式cos 求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出ab的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，ab三者之间的关系，然后代入求解四、课堂练习P20 练习 P22 练习1、已知|a|b|2，(a2b)(a
10、b)2，求a与b的夹角解：(a2b)(ab)|a|22|b|2ab2|a|b|2，ab2设a与b的夹角为，cos 又0，2、已知|a|8，与a同向的单位向量为e，|b|4，a，b的夹角为120，则向量b在向量a方向上的投影向量为( D )A.4e B.4e C.2e D.2e解：向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cos 120e4cos 120e2e3、7.已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则_解：(3a2b)(ab)3a2(23)ab2b23a22b212180，五、课堂小结1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,0时)，也可以为负(
11、当a0，b0，时)，还可以为0(当a0或b0或时)2两非零向量a，b，abab0，求向量模时要灵活运用公式|a|3要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1) 在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0.实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab(2) 在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立这是因为|ab|a|b|cos |，而|cos |1(3) 实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由abac(a0)不能得到bc(4) 实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线六、课后作业习题6.2 10、11、18、19七、课后反思
